高等数学中值定理的题型及解题方法

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1、-高等数学中值定理的题型与解题方法高数中值定理包含：1.罗尔中值定理(rolle); 2.拉格朗日中值定理(lagrange); 3.柯西中值定理(cauchy); 还有经常用到的泰勒展开式(taylor), 其中，一定是开区间.全国考研的学生都害怕中值定理，看到题目的求解过程看得懂，但是自己不会做，这里往往是在构造函数不会处理，这里给总结一下中值定理所涵盖的题型，保证拿到题目就会做。题型一：证明： 根本思路，首先考虑的就是罗尔定理(rolle)，还要考虑极值的问题。例1. 在可导，证明：存在，使得.分析：由，容易想到零点定理。证明：，存在，使得， 又，同号，存在，使得，所以根据罗尔中值定理：

2、存在，使得.例2. 在可导，证明：存在，使得证明：1，在使得上有最大值和最小值，根据介值性定理，即存在，使得，2，所以根据罗尔中值定理：存在，使得.例3. 在三阶可导，证明：存在，使得证明：1，存在，使得，2，所以，存在，使得，3，所以，存在，使得，例3. 在可导，证明：存在，使得证明：，存在，使得，又在可导，存在，使得题型二：证明：含，无其它字母根本思路，有三种方法：1复原法。能够化成这种形式例1. 在可导，证明：存在，使得.分析：由，证明：令，存在，使得，而存在，使得例2. 在可导，证明：存在，使得.分析：由，证明：令，存在，使得，而即存在，使得例3. 在上二阶可导，证明：存在，使得.分析

3、：由，证明：令，使得，所以，又因为由罗尔定理知，存在，使得.记：2分组构造法。复原法行不通例1. ，在可导，证明：存在，使得，存在，使得.证明： 令，使得，即 分析 令，存在，使得.题型三：证明：含.分几种情形：情形1：结论中只有例1. ，在可导，证明：存在，使得，存在，使得. 证明： 令，使得,使得，所以存在，使得例2. ，在可导，证明：存在，使得，存在，使得. 证明： 令，使得,使得， ，所以存在，使得情形2：结论中含有，但是两者复杂度不同。例1. ，在可导证明：存在，使得. 证明： 令，由柯西中值定理使得，所以使得，得证。例2. ，在可导证明：存在，使得. 证明： 令，由柯西中值定理使得

4、，所以使得，得证。例3. ，在可导,证明：存在，使得. (分析：“留复杂)证明： 令，由拉格朗日中值定理使得，即.题型四：证明：拉格朗日中值定理的两惯性思维。可导见到3点两次使用拉格朗日中值定理。例1. ，且则 解：，. 又因为例2. ，且，则的大小关系。解：由拉格朗日中值定理知，单调递增又又因为例3. 在可导，且，在至少有一个零点。证明：证明：1因为在至少有一个零点，所以2下边用两次拉格朗日中值定理， 所以，例4. 在二阶可导，有一条曲线，如图证明：，使得证明：1使得因为共线，所以，所以由罗尔定理知，使得题型五：Taylor公式的常规证明。例1. ，证明：存在，使得. 题外分析：考虑什么时候该用泰勒公式什么时候不用！时考虑，但是为题型一，考虑罗尔定理时比拟为难，有时候用拉格朗日中值定理，有时候不用，该怎么考虑呢，分情况：证明： ，两个式子相减得：，在上有，则，所以根据介值定理得：存在，使得例2. ，在二阶可导，证明：存在，使得. 证明：由知，存在，使得且 由泰勒公式：，例3. 在上二阶可导，在取最大值。证明：存在.证明：由在取最大值知，存在，使得所以存在. z