2017年河南省天一大联考高三上学期段测一数学（文）试题（解析版）

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1、2017届河南省天一大联考高三上学期段测一数学（文）试题一、选择题1已知集合，则（ ）A1,2,3 B1,2 C1 D3【答案】B【解析】试题分析：，故.【考点】集合交集【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.2已知复数，则复数的模为（ ）A4 B5 C6 D7【答案】B【解析】试题分析：.【考点】复数概

2、念及运算3半径为的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为（ ）A44 B54 C88 D108【答案】C【解析】试题分析：球的体积为，长方体的高为，故表面积为.【考点】球与长方体4设抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为.若的面积为2，则点的坐标为（ ）A（1,2）或（1，-2） B（1,4）或（1，-4）C（1,2） D（1,4）【答案】A【解析】试题分析：依题意，设，则，面积为，故选A.【考点】直线与圆锥曲线位置关系5函数的图象如图所示，则（ ）A BC D【答案】D【解析】试题分析：由图可知.，选D.【考点】三角函数图象与性质

3、6以为圆心，且与两条直线与同时相切的圆的标准方程为（ ）A BC D【答案】A【解析】试题分析：圆心到这两条直线的距离相等，解得.【考点】直线与圆的位置关系7满足不等式的实数使关于的一元二次方程有实数根的概率是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：由解得，一元二次方程有实数根，故概率为.【考点】几何概型8如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B C D 【答案】C【解析】试题分析：相当于一个圆锥和一个长方体，故体积为.【考点】三视图9执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的等于（ ）A19 B24 C30 D37【答案】B【解析】

4、试题分析：，循环，循环，循环，退出循环，输出.【考点】算法与程序框图10已知直线与函数的图象交于，两点，若点是线段的中点，则实数的值为（ ）A2 B1 C D【答案】C【解析】试题分析：注意到，经计算得，故函数关于点对称，故.【考点】函数图象与性质11已知函数，.若是使不等式恒成立的的最小值，则（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：，故最大值为，.【考点】三角函数恒等变形【思路点晴】对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键应熟悉公式

5、的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用12函数在点处的切线与函数的图象也相切，则满足条件的切点的个数有（ ）A0个 B1个 C2个 D3个【答案】C【解析】试题分析：依题意函数在点处的切线方程为，化简得，斜率为，令，切线方程为，化简得，是同一条切线，故，画出的图象，由图可知，有两个交点.【考点】函数导数与切线【思路点晴】两个函数的切线相同，我们就可以这样来操作，先在第一个函数中求得其切线方程，如本题中的，得到斜率为，利用这个斜率，可以求

6、得第二个函数的切点，从而求得其切线方程为，这两个切线方程应该是相等的，故它们的截距相等，根据两个截距相等，可以得到关于切点横坐标的一个方程，我们根据图象就可以知道这个切点的横坐标可以有两个.二、填空题13已知，且，则向量与的夹角为_.【答案】【解析】试题分析：依题意有，解得.【考点】向量运算14若，满足约束条件，则的最大值为_.【答案】【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点取得最大值为.【考点】线性规划15在中，边的垂直平分线交边于，若，则的面积为_.【答案】或【解析】试题分析：在中，由余弦定理有，解得，当时，当，.【考点】解三角形【思路点晴】已知两角一边可求第三角，解这

7、样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意要学会熟练运用几何性质，如本题中，线段垂直平分线上的点，到两段的距离相等.利用余弦定理求边长，要注意有两个解的情况.166月23日15时前后，江苏盐城阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击，风力达12级.灾害发生后，有甲、乙、丙、丁4个轻型教授队从，四个不同的方向前往灾区.已知下面四种说法都是正确的.（1）甲轻型教授队所在方向不是方向，也不是方向（2）乙轻型教授队所在方向不是方向，也不是方向（3）丙轻型教授队所在方向不是方向，也不是方向（4）丁轻型

8、教授队所在方向不是方向，也不是方向此外还可确定：如果丙所在方向不是方向，那么甲所在方向就不是方向.有下列判断：甲所在方向是方向；乙所在方向是方向；丙所在方向是方向；丁所在方向是方向.其中判断正确的序号是_.【答案】【解析】试题分析：由（1）知，甲选或；由（2）知，乙选或；由（3）知，丙选或；由（4）知，丁选或；由于：如果丙所在方向不是方向，那么甲所在方向就不是方向，故丙所在方向是方向【考点】合情推理与演绎推理【思路点晴】类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类

9、比对象的性质.类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则会犯机械类比的错误演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完备性.三、解答题17已知各项都为正数的等比数列满足，且.（）求数列的通项公式；（）设，且为数列的前项和，求数列的的前项和.【答案】（I）；（II）【解析】试题分析：（I）利用基本元的思想，将已知条件化为，列方程组求得，故；（II）化简，故，利用裂项求和法求得.试题解析：（）设等比数列的公比为，由题意知，解得，故.（）由（），得，所以.，故

10、数列的前项和为.【考点】数列的基本概念，裂项求和法18某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数为5组：，得到如图所示的频率分布直方图：（）写出的值；（）求在抽取的40名学生中月上网次数不少于15次的学生人数；（）在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率.【答案】（I）；（II）；（III）【解析】试题分析：（I）利用频率分布直方图小长方形面积等于，列式计算得；（II）女生的频率为，抽取人，男生频率也是，抽取人，共

11、人；（III）上网超过次的男生有人，女生有人，用列举法列举出可能性一共有种，其中符合题意要求的有种，故概率为.试题解析：（）.（）在所抽取的女生中，月上网次数不少于15次的学生频率为（0.05+0.02）5=0.35，所以，在所抽取的女生中，月上网次数不少于15次的学生有0.0320=7人.在所抽取的男生中，月上网次数不少于15次的学生频率为（0.04+0.03）5=0.35，所以，在所抽取的男生中，月上网次数不少于15次的学生有0.0320=7人.故抽取的40名学生中月上网次数不少于15次的学生人数有7+7=14人.（）记“在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人，

12、至少抽到1名女生”为事件，在抽取的女生中，月上网次数不少于20次的学生频率为0.025=0.1，人数为0.120=2人，在抽取的男生中，月上网次数不少于20次的学生频率为0.035=0.15，人数为0.1520=3人，记这2名女生为，这3名男生为，则在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人，所有可能结果有10种，即，而事件包含的结果有7种，它们是，所以.【考点】频率分布直方图，古典概型19如图，已知等边中，分别为，边的中点，为的中点，为边上一点，且，将沿折到的位置，使平面平面.（）求证：平面平面；（）设，求三棱锥的体积.【答案】（I）证明见解析；（II）【解析】试题分

13、析：（I）依题意可知是等边三角形，且且,所以平面,所以，而，所以平面，所以平面平面；（II）由（）知平面，所以为三棱锥底面上的高. ，所以.试题解析：（）因为，为等边的，边的中点，所以是等边三角形，且.因为是的中点，所以.又由于平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.因为，所以，所以.在正中知，所以.而，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（）由（）知平面，所以为三棱锥底面上的高.根据正三角形的边长为4，知是边长为2的等边三角形，所以.易知，.又由（）知，所以，所以，所以.【考点】立体几何证明面面垂直与求体积20已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为4.（）求椭圆

14、的方程；（）若是椭圆的左顶点，经过左焦点的直线与椭圆交于，两点，求与的面积之差的绝对值的最大值.（为坐标原点）【答案】（I）；（II）【解析】试题分析：（I）依题意，.根据等边三角形，求得，故椭圆的方程为；（II）设的面积为，的面积为.当直线斜率不存在时，直线方程为，面积相等，.当直线斜率存在时，设直线方程为联立直线的方程和椭圆的方程，写出根与系数关系，由此求得，利用基本不等式可求得其最大值为.试题解析：（）由题意得，又，则，所以.又，故椭圆的方程为.（）解法一：设的面积为，的面积为.当直线斜率不存在时，直线方程为，此时不妨设，且，面积相等，.当直线斜率存在时，设直线方程为，设，和椭圆方程联立

15、得，消掉得.显然，方程有根，且.此时.因为，所以上式（时等号成立）.所以的最大值为.解法二：设直线的方程为，与椭圆方程联立得：.，当时，.当时，（当且仅当时等号成立）.所以的最大值为.【考点】直线与圆锥曲线位置关系【方法点晴】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、分析与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想.长轴长是，焦点和短轴端点构成等边三角形，这个已知条件我们需要用到等边三角形的几何性质来做，也就是角度为，并且，第一问就可以求出来了.第二问要先讨论斜率是否存在.21设函数，.（）当，时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，若对任意，不等

16、式恒成立.求实数的取值范围.【答案】（I）；（II）【解析】试题分析：（I）当，时，所以，所以，由此求得切线方程为；（II）当时，要证明的不等式等价于，利用导数求得左边函数的最小值为.试题解析：（）当，时，则，曲线在点处的切线方程为，即（）当时，所以不等式等价于.方法一：令，则.当时，则函数在上单调递增，所以，所以根据题意，知有，.当时，由，知函数在上单调增减；由，知函数在上单调递增.所以.由条件知，即.设，则，所以在上单调递减.又，所以与条件矛盾.综上可知，实数的取值范围为.方法二：令，则在上恒成立，所以，所以.又，显然当时，则函数在上单调递增，所以，所以.综上可知的取值范围为.【考点】函数

17、导数与不等式【方法点晴】本题考查导致与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.22如图所示，为的切线，切点为，割线过圆心，且.（）求证：；（）若，求的长.【答案】（I）证明见解析；（II）【解析】试题分析：（I）如果已知条件中出现切线，那么通常可联系切线的性质、弦切角定理、切割线定理；只需证明，即有，即；（II）如果在圆

18、中出现等腰三角形，通常可得角相等与垂直关系，再联系圆周角定理、弦切角定理以及三角形相似来处理相关的问题.先求得，有余弦定理可求得.试题解析：（）因为为圆的切线，所以.又因为，所以.所以，所以，所以，即.（）因为，所以.又，所以，由余弦定理，得.【考点】几何证明选讲23已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.若直线与圆相交于不同的两点，.（）写出圆的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；（）若弦长，求直线的斜率.【答案】（I）；（II）或【解析】试题分析：（I）化极坐标方程为直角坐标方程主要是利用公式，来完成代入可得，配方得，所以圆心为，半径为；（II）在极坐标方程与参数方程的条件下求解

19、直线与圆的位置关系问题，通常将极坐标方程与参数方程均化为直角坐标方程来解决. 由直线的参数方程知直线过定点，直线的方程为.利用弦长等于可求得斜率或.试题解析：（）由，得.将，代入可得配方，得，所以圆心为，半径为（）由直线的参数方程知直线过定点，则由题意，知直线的斜率一定存在，因此不妨设直线的方程为.因为，所以，解得或.【考点】坐标系与参数方程24设.（）求的解集；（）当时，求证.【答案】（I）；（II）证明见解析.【解析】试题分析：（I）零点分段法是求绝对值不等式解集的常用方法；利用零点分段法去掉绝对值，可求解不等式的解为；（II）一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法，比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法.要证，即证利用差比较法，可证得.试题解析：（）由得：或或解得，所以的解集为.（）当，即，时，要证，即证.，即.【考点】不等式选讲第 16 页 共 16 页