2017年河南省信阳市息县一高高三下学期第一次段考数学试卷（理科）（解析版）

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1、2016-2017学年河南省信阳市息县一高高三（下）第一次段考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合 A=x|x+1|=x+1，B=x|x2+x0，则 AB=（）A（1，0）B1，0）C（1，0）D1，02复数z满足 z1=（z+1）i，则z的值是（）A1+iB1iCiDi3双曲线kx2y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，则此双曲线的离心率是（）ABCD4的展开式中的第三项的系数为（）A5BCD5m，n是不同的直线，是不重合的平面，下列说法正确的是（）A若，m，n，则mnB若m，n，m，n，

2、则Cm，n是异面直线，若m，m，n，n，则D若，m，则m6过点（2，3）的直线l与圆 C：x2+y2+4x+3=0交于A，B两点，当弦|AB|取最大值时，直线l的方程为（）A3x4y+6=0B3x4y6=0C4x3y+8=0D4x+3y8=07已知函数y=2sinx（0）的图象与直线y=2的相邻的两个公共点之间的距离为，则的值为（）ABC3D8已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）ABC2000cm3D4000cm39袋中有10个外形相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球，从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是（）ABCD10

3、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A133B134C135D13611在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2=，则ABC是（）A直角三角形B等腰三角形或直角三角形C正三角形D等腰直角三角形12已知函数f（x）=2x33x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，则t的取值范围为（）A（，3）B（3，1）C（1，+）D（0，1）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13函数 y=f（x）的反函数为y=log2x，则 f（1）=14已知x，y满足条件的最大值为15已知=，若OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB的面积

4、是16四棱锥PABCD的五个顶点都在半径为的半球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，则顶点P到平面ABCD距离的最大值为三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在等比数列 an中，已知 a1=3，公比 q1，等差数列bn 满足b1=a1，b4=a2，b13=a3（1）求数列an与 bn的通项公式；（2）记 cn=anbn，求数列cn的前n项和Sn18某职称考试有A，B两门课程，每年每门课程均分别有一次考试机会，只要在连续两年内两门课程均通过就能获得该职称某考生准备今年两门课程全部参加考试，预测每门课程今年通过的概率为；若两门均没有通过，则明年每门课

5、程通过的概率为；若只有一门没过，则明年这门课程通过的概率为（1）求该考生两年内可获得该职称的概率；（2）设该考生两年内参加考试的次数为随机变量X，求X的分布列与数学期望19设四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，且PA平面ABCD，PA=AB，E为PD中点（1）求证：直线PD平面AEB；（2）若直线PC交平面AEB于点F，求直线BF与平面PCD所成的角的正弦值20若AB是椭圆C： +=1（abc）垂直于x轴的动弦，F为焦点，当AB经过焦点F时|AB|=3，当AB最长时，AFB=120（）求椭圆C的方程；（）已知N（4，0），连接AN与椭圆相交于点M，证明直线BM恒过x轴定点21函

6、数y=f（x）在R内可导，导函数f（x）是增函数，且f（x）0，设y=g（x）是曲线y=f（x）在点（p，f（p）（其中pR）处的切线方程（1）证明：f（x）g（x），当且仅当x=p时等号成立；（2）若g（a）=f（x0），证明：x0a；（3）若exln（x+m）（其中xR且xm），证明：m在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22在直角坐标系xOy中，在直线l的参数方程为（t为参数），点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为=4cos（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）将曲线C上的各点的横坐标缩短为原来的，再将所得的曲线向左平

7、移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值23已知函数f（x）=|2x+1|x|2（）解不等式f（x）0（）若存在实数x，使得f（x）|x|+a，求实数a的取值范围2016-2017学年河南省信阳市息县一高高三（下）第一次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合 A=x|x+1|=x+1，B=x|x2+x0，则 AB=（）A（1，0）B1，0）C（1，0）D1，0【考点】交集及其运算【分析】由集合 A=x|x+1|=x+1=x|x1，B=x|x2+x0=x|1x

8、0，则 AB的答案可求【解答】解：由集合 A=x|x+1|=x+1=x|x1，B=x|x2+x0=x|1x0，则 AB=x|x1x|1x0=x|1x0，故选：A2复数z满足 z1=（z+1）i，则z的值是（）A1+iB1iCiDi【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可【解答】解：复数z满足 z1=（z+1）i，可得z=i故选：C3双曲线kx2y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，则此双曲线的离心率是（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】分析：已知双曲线kx2y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，可求出渐近线的斜率，由此求出k的值

9、，得到双曲线的方程，再求离心率【解答】解：设双曲线kx2y2=1为，它的一条渐近线方程为 直线2x+y+1=0的斜率为2直线与直线2x+y+1=0垂直即a=2故选A4的展开式中的第三项的系数为（）A5BCD【考点】二项式系数的性质【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令r=2得到展开式的第三项的系数【解答】解：（1+x）5展开式的通项Tr+1=C5r15r（x）r，所以展开式的第三项的系数是=C5213（）2=故选：B5m，n是不同的直线，是不重合的平面，下列说法正确的是（）A若，m，n，则mnB若m，n，m，n，则Cm，n是异面直线，若m，m，n，n，则D若，m，则m【考点】空间中直线与

10、平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；平面与平面平行的判定【分析】利用反例判断A，B，D的正误，利用平面平行的判定定理判断C的正误即可【解答】解：对于A，若，m，n，则mn，也可能m，n是异面直线，所以A不正确；对于B，若m，n，m，n，则，当mn时，可能有=l所以B不正确；对于C，过A作am，bn，直线a，b是相交直线，确定平面，由题意可得，所以C正确；对于D，若，m，则m，也可能m，所以D不正确；故选：C6过点（2，3）的直线l与圆 C：x2+y2+4x+3=0交于A，B两点，当弦|AB|取最大值时，直线l的方程为（）A3x4y+6=0B3x4y6=0C4x3y+8=0D4x+3y

11、8=0【考点】直线与圆的位置关系【分析】化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标，再由直线方程的两点式得答案【解答】解：圆 C：x2+y2+4x+3=0化为（x+2）2+y2=1，圆心坐标C（2，0），要使过点（2，3）的直线l被圆C所截得的弦|AB|取最大值，则直线过圆心，由直线方程的两点式得：，即3x4y+6=0故选：A7已知函数y=2sinx（0）的图象与直线y=2的相邻的两个公共点之间的距离为，则的值为（）ABC3D【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】利用正弦函数的最值和周期性，求得的值【解答】解：函数y=2sinx（0）的图象与直线y=2的相邻的两个公共点之间的距离为，=，=3，故

12、选：C8已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）ABC2000cm3D4000cm3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知，几何体是四棱锥，一个侧面垂直底面，底面是正方形，根据数据计算其体积【解答】解：如图，几何体是四棱锥，一个侧面PBC底面ABCD，底面ABCD是正方形，故选B9袋中有10个外形相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球，从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是（）ABCD【考点】等可能事件的概率【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5种结果，满足条件的

13、事件是取出的球是一个黑球，共有3种结果，得到概率【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有3种结果，根据等可能事件的概率得到P=故选：D10阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A133B134C135D136【考点】程序框图【分析】根据程序框图可知15（n1）2015，解得即可【解答】解：由程序框图可知15（n1）2015，解得n1135，则n136，故选：D11在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2=，则ABC是（）A直角三角形B等腰三角形或

14、直角三角形C正三角形D等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断；同角三角函数基本关系的运用【分析】把利用二倍角公式可知2cos21=cosA代入题设等式求得cosA的值，进而判断出三角形的形状【解答】解：cos2=，2cos21=cosA，cosA=，ABC是直角三角形故选A12已知函数f（x）=2x33x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，则t的取值范围为（）A（，3）B（3，1）C（1，+）D（0，1）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设出切点，由斜率的两种表示得到等式，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，得解【解答】解：设过点P（1，t）的直线与曲

15、线y=f（x）相切于点（x，2x33x），则=6x23，化简得，4x36x2+3+t=0，令g（x）=4x36x2+3+t，则令g（x）=12x（x1）=0，则x=0，x=1g（0）=3+t，g（1）=t+1，又过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，则（t+3）（t+1）0，解得，3t1故选：B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13函数 y=f（x）的反函数为y=log2x，则 f（1）=【考点】反函数【分析】由题意，令log2x=1，求出x，即可得出结论【解答】解：由题意，令log2x=1，x=，f（1）=故答案为：14已知x，y满足条件的最大值为5【考点】

16、简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x+y过可行域内的点A时，从而得到z值即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距，由得A（2，3）当直线z=x+y经过点A（2，3）时，z最大，数形结合，将点A的坐标代入z=x+y得z最大值为：5，故答案为：515已知=，若OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB的面积是2【考点】向量在几何中的应用【分析】根据OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，得到向量垂直和向量模长相等的条件，利用向量数量积的定义进行求解即可【解答】解：若OAB是以O为直角

17、顶点的等腰直角三角形，则，即=0，则（）（+）=0，即|2|2=0，则|=|=，又|=|，即|=|+|，平方得|2+|22=|2+|2+2，得=0，则|2=|2+|22=|2+|2=2+2=4，则|=2，则OAB的面积S=|=2故答案为：216四棱锥PABCD的五个顶点都在半径为的半球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，则顶点P到平面ABCD距离的最大值为1【考点】球内接多面体【分析】求出球心到平面的距离，然后判断底面ABCD的中心与顶点P之间的距离即可【解答】解：四棱锥ABCD的底面是边长为2的正方形，点P，A，B，C，D均在半径为的同一半球面上，则当顶点P到平面ABCD距离最大时，顶点P

18、与底面ABCD的中心的连线经过球的中心，四棱锥是正四棱锥，底面中心与顶点P之间的距离，就是球的半径和球心与底面中心连线的长度之差球心到底面中心的距离为： =1所求距离为：1故答案为：1三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在等比数列 an中，已知 a1=3，公比 q1，等差数列bn 满足b1=a1，b4=a2，b13=a3（1）求数列an与 bn的通项公式；（2）记 cn=anbn，求数列cn的前n项和Sn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出（2）cn=anbn=（2n+1）3n，利用“错位相减法”与

19、等比数列的求和公式即可得出【解答】解：（1）设等差数列bn 的公差为d，b1=a1=3，b4=a2，b13=a33+3d=3q，3+12d=3q2，解得q=3，d=2an=3n，bn=3+2（n1）=2n+1（2）cn=anbn=（2n+1）3n，数列cn的前n项和Sn=33+532+733+（2n+1）3n，3Sn=332+533+（2n1）3n+（2n+1）3n+1，2Sn=33+2（32+33+3n）（2n+1）3n+1=3+2（2n+1）3n+1=2n3n+1，Sn=n3n+118某职称考试有A，B两门课程，每年每门课程均分别有一次考试机会，只要在连续两年内两门课程均通过就能获得该职称

20、某考生准备今年两门课程全部参加考试，预测每门课程今年通过的概率为；若两门均没有通过，则明年每门课程通过的概率为；若只有一门没过，则明年这门课程通过的概率为（1）求该考生两年内可获得该职称的概率；（2）设该考生两年内参加考试的次数为随机变量X，求X的分布列与数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）根据条件，利用互斥事件的概率公式，求该考生两年内可获得该职称的概率；（2）确定X的取值，求出相应的概率，即可求X的分布列与数学期望【解答】解：（1）设该考生两年内可获得该职称为事件A，则P（A）=+2=；（2）X的取值为2，3，4，则P（X=2）=，P（X=3）

21、=，P（X=4）=，X的分布列为 X 2 3 4 PEX=2+3+4=319设四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，且PA平面ABCD，PA=AB，E为PD中点（1）求证：直线PD平面AEB；（2）若直线PC交平面AEB于点F，求直线BF与平面PCD所成的角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（1）证明PDAE，PDAB，推出直线PD平面AEB（2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面PCD的法向量，设直线BF与平面PCD所成的角为，利用空间向量的数量积求解，直线BF与平面PCD所成的角的正弦值【解答】（1）证明：PA=

22、AB=AD，E为PD中点，PDAE，又PA平面ABCD，底面ABCD是正方形，AB面PAD，则PDAB，且ABAE=A，直线PD平面AEB（2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，CD面PAD，AECD，且AEPD，则AE平面PCD，即为平面PCD的法向量，ABCD，AB平面PCD，平面AEB平面AEFB=EF，EFABCD，又E为PD中点，F为PC中点，B（1，0，0），设直线BF与平面PCD所成的角为，则直线BF与平面PCD所成的角的正弦值为20若AB是椭圆C： +=1（abc）垂直于x轴的动弦，F为焦点，当AB经过焦点F时|AB|=3，当AB最长时，AFB=120（）求椭圆C的

23、方程；（）已知N（4，0），连接AN与椭圆相交于点M，证明直线BM恒过x轴定点【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）通过计算即得结论；（）通过设BM直线方程并与椭圆方程联立，利用A、N、M三点共线，通过韦达定理代入计算、整理即得结论【解答】（）解：由题可知，解得，椭圆C的方程为：；（）证明：设B（x1，y1），M（x2，y2），定点（x0，0），则A（x1，y1），BM直线方程为：y=k（xx0），联立BM与椭圆C的方程，消去y得：（3+4k2）2x28k2x0x+4k212=0，x1+x2=，x1x2=，=（4x1，y1），=（4x2，y2），A、N、M三点共线，y2（4x1）+y1（

24、4x2）=0，4（y1+y2）x1y2x2y1=0，4k（x1+x22x0）2kx1x2+kx0（x1+x2）=0，4（2x0）2+x0=0，整理得：32k232k2x08k2+8k2x0=0，即（1x0）（x0+4）=0，解得：x0=1或x0=4（舍），直线BM恒过x轴定点（1，0）21函数y=f（x）在R内可导，导函数f（x）是增函数，且f（x）0，设y=g（x）是曲线y=f（x）在点（p，f（p）（其中pR）处的切线方程（1）证明：f（x）g（x），当且仅当x=p时等号成立；（2）若g（a）=f（x0），证明：x0a；（3）若exln（x+m）（其中xR且xm），证明：m【考点】利用导数

25、研究曲线上某点切线方程；不等式的证明【分析】（1）先利用点斜式表示出切线方程，比较g（x）与f（x）的大小可利用作差比较，构造函数h（x）=g（x）f（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，求出函数h（x）的最大值，即可证得结论；（2）运用反证法，结合函数的单调性和（1）的结论，即可得到；（3）分离参数得，mx，所以mxmin，构造函数，F（x）=x，求最小值，从而结论得证【解答】证明：（1）yf（p）=f（p）（xp）g（x）=f（p）x+f（p）pf（p），令h（x）=g（x）f（x），则h（x）=f（p）f（x），h（p）=0因为f（x）递增，所以h（x）递减，因此，当xp时，h（

26、x）0；当xp时，h（x）0所以p是h（x）唯一的极值点，且是极大值点，可知h（x）的最大值为0，因此h（x）0，即f（x）g（x），当且仅当x=p时等号成立；（2）由（1）可得f（x）g（x），当且仅当x=p时等号成立，由f（x）0，f（x）为递增函数，假设x0a，则f（x0）f（a），又f（a）g（a），即为g（a）f（x0），矛盾故x0a；（3）因为exln（x+m）恒成立，分离参数得，mx，所以mxmin，构造函数，F（x）=x，令F（x）=ex1=0得，ex+x=0，记g（x）=ex+x，单调递增，设该函数的零点为x0，因为g（1）0，g（）0，所以x0（1，），因此F（x）min=

27、F（x）极小值=F（x0）=（x0+）（2）=，上式化简用到：x0满足方程ex+x=0，x0（1，），双勾函数单调性所以m在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22在直角坐标系xOy中，在直线l的参数方程为（t为参数），点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为=4cos（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）将曲线C上的各点的横坐标缩短为原来的，再将所得的曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（I）消参数得出l的普通方程，根据极坐标与直角坐

28、标的对应关系得出曲线C的普通方程；（II）求出C1的方程，在C1上任意取一点M（cos，2sin），代入点到直线的距离公式求出距离的最大值【解答】解：（）直线l的普通方程为；曲线C的极坐标方程为=4cos，2=4cos，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x2）2+y2=4（）设P（x0，y0）为曲线C上任意一点，则P（1，y0）为曲线C1上的点，设P（x，y），则x0=2x+2，y0=y，4x2+y2=4，即曲线C1的方程为：设M（cos，2sin）为曲线C1上任意一点，则M到直线l：的距离为当cos（）=1时，d取得最大值=23已知函数f（x）=|2x+1|x|2（）解不等式f（x

29、）0（）若存在实数x，使得f（x）|x|+a，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集（）不等式即|x+|x|+1，由题意可得，不等式有解根据绝对值的意义可得|x+|x|，故有+1，由此求得a的范围【解答】解：（）函数f（x）=|2x+1|x|2=，当x时，由x30，可得x3当x0时，由3x10，求得 x当x0时，由x10，求得 x1综上可得，不等式的解集为x|x3 或x1（）f（x）|x|+a，即|x+|x|+1，由题意可得，不等式有解由于|x+|x|表示数轴上的x对应点到对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|x|，故有+1，求得a32017年4月15日