高中数学北师大版选修22学案：5.2.1　复数的加法与减法2.2　复数的乘法与除法 Word版含解析

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1、2019学年北师大版数学精品资料2复数的四则运算2.1复数的加法与减法2.2复数的乘法与除法1.理解共轭复数的概念.(重点)2.掌握复数的四则运算法则与运算律.(重点、难点)基础初探教材整理1复数的加法与减法阅读教材P103“例1”以上部分，完成下列问题.1.复数的加法设abi(a，bR)和cdi(c，dR)是任意两个复数，定义复数的加法如下：(abi)(cdi)(ac)(bd)i.2.复数的减法设abi(a，bR)和cdi(c，dR)是任意两个复数，定义复数的减法如下：(abi)(cdi)(ac)(bd)i.复数z12i，z22i，则z1z2等于()A.0B.iC.iD.i【解析】z1z2i

2、i.【答案】C教材整理2复数的乘法与除法阅读教材P104“练习”以下P106，完成下列问题.1.复数的乘法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.2.复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z33.共轭复数如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这样的两个复数叫作互为共轭复数.复数z的共轭复数用z来表示，即abi，则zabi.4.复数的除法法则设z1abi，z2cdi(cdi0)，则i.(1i)2_.【解析】(

3、1i)22ii.【答案】i质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型复数的加法与减法运算(1)(2i)_.(2)已知复数z满足z13i52i，求z.(3)已知复数z满足|z|z13i，求z.【精彩点拨】(1)根据复数的加法与减法法则计算.(2)设zabi(a，bR)，根据复数相等计算或把等式看作z的方程，通过移项求解.(3)设zxyi(x，yR)，则|z|，再根据复数相等求解.【自主解答】(1)(2i)i1i.【答案】1i(2)法一：设zxyi(x，yR)，因为z13i52i，所以xyi(13i)52i，即x15且y32

4、，解得x4，y1，所以z4i.法二：因为z13i52i，所以z(52i)(13i)4i.(3)设zxyi(x，yR)，则|z|，又|z|z13i，所以xyi13i，由复数相等得解得所以z43i.1.复数加法与减法运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.(2)把i看作一个字母，类比多项式加、减法中的合并同类项.2.当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设zabi(a，bR).再练一题1.(1)复数(1i)(2i)3i等于()A.1I B.1iC.iD.i【解析】(1i)(2i)3i(12)(ii3i)1i.故选A.【答案】A(2)已知|z|3，且z3i是纯虚

5、数，则z_.【解析】设zxyi(x，yR)，3，且z3ixyi3ix(y3)i是纯虚数，则由可得y3.z3i.【答案】3i复数的乘法与除法运算已知复数z11i，z232i.试计算：(1)z1z2和z；(2)z1z2和zz1.【精彩点拨】按照复数的乘法和除法法则进行.【自主解答】(1)z1z232i3i2i25i.z(1i)22(2i)24i24.(2)z1z2i.zz1i.1.实数中的乘法公式在复数范围内仍然成立.2.复数的四则运算次序同实数的四则运算一样，都是先算乘除，再算加减.3.常用公式(1)i；(2)i；(3)i.再练一题2.(1)满足i(i为虚数单位)的复数z()A.iB.iC.iD

6、.i(2)若复数z满足z(1i)2i(i为虚数单位)，则|z|()A.1B.2C.D.【解析】(1)i，zizi，iz(i1).zi.(2)z(1i)2i，z1i，|z|.【答案】(1)B(2)C探究共研型共轭复数的应用探究1两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？【提示】若zabi(a，bR)，则abi，则z2aR.因此，和一定是实数；而z2bi.当b0时，两共轭复数的差是实数，而当b0时，两共轭复数的差是纯虚数.探究2若z1与z2是共轭复数，则|z1|与|z2|之间有什么关系？【提示】|z1|z2|.已知zC，为z的共轭复数，若z3i13i，求z.【精彩点拨】设zab

7、i(a，bR)，则abi.代入所给等式，利用复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解.【自主解答】设zabi(a，bR)，则abi，(a，bR)，由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即a2b23b3ai13i，则有解得或所以z1或z13i.再练一题3.已知复数z1(1i)(1bi)，z2，其中a，bR.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值.【解】z1(1i)(1bi)1biib(b1)(1b)i，z2i，由于z1和z2互为共轭复数，所以有解得构建体系1.设z12i，z215i，则|z1z2|为()A.B.5C.25D.【解析】|z1z2|(2i)(15i)|34i|5.【

8、答案】B2.已知i是虚数单位，则(1i)(2i)()A.3iB.13iC.33iD.1i【解析】(1i)(2i)13i.【答案】B3.设复数z11i，z2x2i(xR)，若z1z2R，则x_.【解析】z11i，z2x2i(xR)，z1z2(1i)(x2i)(x2)(x2)i.z1z2R，x20，即x2.【答案】24.若abi(i为虚数单位，a，bR)，则ab_. 【导学号：94210084】【解析】因为1i，所以1iabi，所以a1，b1，所以ab2.【答案】25.已知复数z满足|z|，且(12i)z是实数，求z.【解】设zabi(a，bR)，则(12i)z(12i)(abi)(a2b)(b2

9、a)i，又因为(12i)z是实数，所以b2a0，即b2a，又|z|，所以a2b25，解得a1，b2，z12i或12i，12i或12i，(12i).我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.实数x，y满足z1yxi，z2yix，且z1z22，则xy的值是()A.1B.2C.2D.1【解析】z1z2yxi(yix)xy(xy)i2，xy1.xy1.【答案】A2.已知复数z3i333i，则z()A.0B.6iC.6D.66i【解析】z3i333i，z(33i)(3i3)66i.【答案】D3.复数zai，aR，且z2i，则

10、a的值为() 【导学号：94210085】A.1B.2C.D.【解析】由zai，aR，得z22ai(ai)2a2ai，因为z2i，所以解得a.【答案】C4.A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1z2|z1z2|，则三角形AOB一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】复数z1对应向量，复数z2对应向量.则|z1z2|，|z1z2|，依题意有|.以，为邻边所作的平行四边形是矩形.AOB是直角三角形.【答案】B5.已知复数z，是z的共轭复数，则zz等于()A.B.C.1D.2【解析】z，z.【答案】A二、填空题6.复数的值是_ .【解析

11、】1.【答案】17.已知bi(a，bR)，其中i为虚数单位，则ab_.【解析】bi，a2i(bi)i1bi，a1，b2，ab1.【答案】18.已知复数z满足z|z|28i，则复数z_.【解】法一：设zabi(a，bR).则|z|，代入方程得abi28i.解得z158i.法二：原式可化为z2|z|8i，|z|R，2|z|是z的实部，于是|z|，即|z|2684|z|z|2，|z|17.代入z2|z|8i，得z158i.【答案】158i三、解答题9.在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1，2i，12i.(1)求，对应的复数；(2)判断ABC的形状；(3)求ABC的面积.【解】(1)对应的复数为

12、2i11i，对应的复数为12i(2i)3i，对应的复数为12i122i.(2)|，|，|2，|2|2|2，ABC为直角三角形.(3)SABC22.10.已知复数z满足z(13i)(1i)4.(1)求复数z的共轭复数；(2)若wzai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围.【解】(1)z1i3i3424i，所以复数z的共轭复数为24i.(2)w2(4a)i，复数w对应向量为(2，4a)，其模为.又复数z所对应向量为(2，4)，其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得208aa220，a28a0，a(a8)0，所以实数a的取值范围是8a0.能力提升

13、1.(2016宁夏高二检测)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A.若|z1z2|0，则B.若z1z2，则z2C.若|z1|z2|，则z1z2D.若|z1|z2|，则zz【解析】A，|z1z2|0z1z20z1z2，真命题；B，z1z2，真命题；C，|z1|z2|z1|2|z2|2z1z2，真命题；D，当|z1|z2|时，可取z11，z2i，显然z1，z1，即zz，假命题.【答案】D2.复数zxyi(x，yR)满足条件|z4i|z2|，则2x4y的最小值为()A.2 B.4C.4D.16【解析】由|z4i|z2|，得|x(y4)i|x2yi|，x2(y4)2(x2)2y2，即x2y3，2x4y2x22y224，当且仅当x2y时，2x4y取得最小值4.【答案】C3.若复数z的实部为3，则z的虚部为_.【解析】zi.由题意知3，a1，z3i.z的虚部为1.【答案】14.已知z为复数，为实数，为纯虚数，求复数z. 【导学号：94210086】【解】设zabi(a，bR)，则(a1bi)(i)b(a1)i.因为为实数，所以a10，即a1.又因为为纯虚数，所以ab0，且ab0，所以b1.故复数z1i.