多元表徵融入分数的乘法教学

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1、多元表徵融入分數的乘法教學國小的分數向來是較難處理的教材，原因在於分數的學習需要將具體操作轉變為抽象的思維 ，因為學童難以將現實世界中完整的東西切割成分數的型態。一般而言，數學概念可以用具體表徵、圖像表徵和符號表徵三種方式呈現。而Lesh（1987）的研究中建議 Bruner 的三個表徵模式可以延伸成五個表徵類別，如圖1：圖 1 數學學習的五種表徵（ Lesh & Behr,1987 ）（一）真實情境（ Real-worldsituations）：是由實際世界所組織的知識，可用來解釋其他的內容或問題情境，如披薩。（二）教具模型（ Manipulative）：如古氏積木、百格板、分數板。（三）圖

2、像（ Pictures ）：較為靜態的模式，也可認為是心像。（四）語言（ Spoken symbols ）：如三分之一。（五）書寫符號（ Writtensymbols）：可能涉及到特殊化的句子或1片語，如。3Bruner的建議是由具體表徵到圖畫表徵再到符號表徵的順序，但Lesh 所著重的是表徵之間的關係 ，並將這些表徵之間和之內的關係稱為轉換（translations），每一個轉換對學生而言就是一個概念的重新解釋。 Lesh, Behr 和 Post 須具有以下條件才可算是了解一個概念（引自呂玉琴，學生必須能將此概念放入各種不同的表徵系統間；認為學生必1991）：在給定的表徵系統內，必須能很有

3、彈性的處理這個概念；必須能夠很精確的將此概念從一個表徵系統轉換到另一個表徵系統。但在教學現場，學生在各種表徵之間的轉換會出現困難，必須仰賴教師使用不同的表徵，協助學生建立新概念並連結舊經驗，協助學生將具體表徵抽象化，進而推論出成人算則。迷思概念Kennedy 和 Tipps(2000) 的研究指出，分數的乘法主要有三種不同的分數乘法類型：分數整數、整數分數、分數分數。在教整數的乘法 時，結果一定比原來的數大，然而這樣的經驗會讓學生在學習分數的乘法時產生疑惑，因此教學時，教師也要打破：乘一定變大的迷思。類型 1：分數整數先從累加的概念著手，喚起整數乘法的意義，可透過算式、積木模型、數線圖解等方式

4、，強調單位量（基準量）為基礎，多幾次連加與乘法算式的連結與練習：如： 3/4+3/4+ 3/4 5=15/4，提供幾何模型板搭配說明， 探索並討論此類型乘法運算的規則，同時顯示出單位分數的重要。類型 2：整數分數此處複習分數的基本概念，強調基準量（誰代表 1）與單位分數的意義，提供學生可操作的具體物或圖形表徵，以離散量為佳，引導學生探索與討論此類型分數乘法的規則 ，並和前一類型進行比較，得出基準量、分割、單位分數的重要。類型 3：分數分數以連續量的情境為佳 ，從圖解的操作來強調再分割以及與原基準量的比較 ，分數分數已經涉及基準量、再分割、單位分數、與原基準量四種不同的概念。分數乘法中最重要的概

5、念：基準量、子分割、單位分數、合成等概念。要提供離散量或連續量的圖形表徵，能增加學生對分數概念的認識，分數的乘法除了引出分數乘法共同法則外，還要強化涉及的基本概念。Dickson, Brown, 和 Gibson （1984）將分數乘法的解題模式分成兩種類型：（一）面積的乘積模式（ product as area ）：將分數的乘法用具體圖像表徵成矩形的面積（圖 2）。例：圖 2 面積的乘積模式（ product as area）（引自 Payne, 1976 ）（二）部分整體區域面積模式（sub-area as part of a wholearea）：圖 3 部分整體區域面積模式（ sub-

6、area as part of a whole area ）（引自 Payne, 1976 ）圖 4 部分整體區域面積模式（ sub-area as part of a whole area ）（引自 Payne, 1976 ）本教學設計將依據上述二個研究，以部分整體與面積的乘積模式兩種方式的佈題來引導學習，教學重點為學生最感困難之被乘數為帶分數的類型，教學方式側重從具體情境切入，漸次引導學生進行抽象思維，最後能成功的掌握分數的概念。此外，我們也強調透過各種多元表徵的彈性運用，包括：摺紙（教具模型表徵）、學生繪圖（圖像表徵）、中秋節月餅（真實情境表徵） 、學習單（書寫符號）、問題討論與概念澄清

7、（語言表徵）的呈現，加強學生對分數概念的理解，並能掌握四、架構圖教具模型摺紙摺出 1 1 的結果44真實情境圖像能清楚 1的意義，並藉由媽媽的中秋節月餅作繪圖畫出 11為真實情境的連結分數的乘法的結果44書寫符號語言利用：分母相乘，分子相乘的說出分數相乘的算則算則完成 11 11 1以 1 1 的過程和結果為例。44441644等值分數分數整數分數( 先備經驗 )分數整數分數問題一問題二問題三問題四問題五問題六摺紙圖像摺紙圖像圖像圖像真實情境書寫符號語言參、教學活動（含學習單、老師問話）活動：媽媽的中秋月餅活動內容說明備註情境：中秋節快到了，媽媽做了很多塊好大好大的月餅。12問題一：哥哥吃了

8、4塊月餅，爸爸吃了8塊月餅，誰吃的多？ 理解等值分數指導重點：透過操作，讓學生先複習等值分數的意義，從操作或圖像讓學生理解：基準量相同時，內部的切割數量如果不同，也可以透過比較，取出相同大小的分量。1.1212先用摺紙做出4，再用摺紙做出8，對照4與 8。2.12藉由摺紙或切割的操作，加強體認4可擴分成為 8。3. 檢驗學生是否能明確說出等值分數的意義。4. 從圖示可觀察，當分母由 4 份切成 8 份時，分子也同時由12份切成 2 份，觀察得4可擴分成為8 。問題二：叔叔跟嬸嬸帶著堂哥來拜訪我們，他們三個人各吃了1 塊月餅，請問他們三人共吃了幾塊月餅？4指導重點：分數乘以整數，重點應放在倍數概

9、念的延伸，故此處以倍數的題型，指導學生理解分數乘以整數的概念。1分數乘以整數11111. 學生能明確知道 4 3 4 4 4 ( 分數乘以整數可視作分數的連加 )12. 指導學生列出 4 3 的算式3. 做圖表示：14. 觀察圖形可發現， 4 要變成 3 倍時，分割的份數並沒有改變，所以分母維持 4，但分子的部份已增加為 3 倍，答案可以寫成3。14131335.3 可寫做成人算則，44 =14146. 帶分數乘以整數時 ，也是先以圖示的方式表示 ( 例如 1 14 2) ，透過倍數的關係，來察覺帶分數中的整數（1）與分數（ 1）4都同時增加了2 倍，讓學生了解到帶分數乘以整數時，可以將整數與

10、分數分開計算的方式來處理，以便日後與分數算則做連結。若將帶分數化作假分數 ，則整數的部份也要做分割，並從假分數整數的圖示中，察覺單位分數（ 14）呈倍數增加的情形。問題三：媽媽想要算一算今年總共做了多少塊月餅，一個月餅整數乘以盒可以裝 8 塊，媽媽做了 63盒，總共有幾塊？分數4指導重點：此處以整數帶分數做範例說明， 整數真分數可用相同方式引導學生討論學習。1. 思考題目，先讓學生討論被乘數為整數時該怎麼辦？2.思考方向：根據過去學習乘法交換律的經驗，8 63可不可分數的乘以寫成 63 8？4法也可使4用分配律6 36 33.如果可以使用交換律，8 是不是連加八次？會不會44太麻煩？有沒有別的

11、作法？4. 本題也可使用分配律5. 作圖表示：6. 將帶分數化為假分數計算時， 8 63要先將63化作假分44數274 ，透過單位分數的意義，將基準量8 切割成 4 份，再將結果乘以 27。在過程中，讓學生察覺此類型的問題需將整數先進行單位分數的切割，再乘以分子，就可以得到結果。問題四：奶奶出來迎接叔叔他們，奶奶說： 我也想要吃月餅，分數乘以可是1塊月餅太多了，我想吃1塊月餅的一半就分數44好。，請問奶奶想吃幾塊月餅？指導重點：1. 奶奶想吃 1 的一半，首先要了解一半就是4了解一半的意義。12 ，需指導學生1112. 4 乘以 2 所得之值應要比 4 小，應對學生明確說明，值比較小的原因是：

12、因為又少了一半。3. 亦可藉由畫圖切割或是摺紙操作得到答案。4.討論問題：此處要引發學生思考，乘以1和除以 2 的意義是2否相同？5.做圖表示：6.當乘數不是單位分數時，該如何處理？1 2 為真分數真分數的算則（分母相乘、分子相乘）：以 4134例，重點是分數乘以分數時，先將被乘數切割成 3 份，再乘以 2 倍，逐漸引發學生理解算則。問題五：爸爸吃了2塊月餅，伯伯吃的是爸爸的8伯吃了幾塊，有沒有比爸爸多？指導重點：1 12倍，伯 分數乘以帶分數的值會變大11. 首先釐清題意， 1 2 是否比 1 倍還要多？若是，則做出來的答案要比2（也就是1大）。842. 伯伯的 111倍，所以學生可先計算出

13、1 倍倍是指 1 倍加上22212的 1塊，再算出倍等於塊，兩數相加得到等於88283 塊。83. 教師指導，真分數乘以帶分數時 ，可先將帶分數化為假分數，採用【真分數真分數】的算則，乘數 11化為32，先將被乘221 ，再乘以分子的2數 8乘以3 倍，亦可求出答案。4. 做圖表示：（作法一）分數乘法的意義：使用分配律（作法二）單位分數的意義：帶分數化成假分數問題六：伯伯跟叔叔要回家了，伯伯提了13盒月餅回家，叔叔體驗帶分18數相乘拿的是伯伯的倍，叔叔拿了幾盒回家？共有幾22塊？指導重點：1. 先區分盒和塊是不同的大小單位。2. 討論：帶分數帶分數的題目，如果不想化成假分數時，該怎麼使用分配律

14、？3. 作圖表示：4. 可以先把乘數的整數和分數部份分開，分別乘以乘數的整數和分數部份，依照先前學過的真分數帶分數的概念，可以順利解決帶分數帶分數的問題。5. 思考：假分數假分數，是否也可以使用真分數真分數的算則？1156. 先將被乘數與乘數都化成假分數8 2，依照先前的經驗111115578 可先乘以 2 得到 16 ，再乘以 5 就可得到答案 16 3 16。7. 3 7 8 是帶分數乘以整數的概念，可仿前述做法。能掌握單位與數量的互換16學生討論：熟悉分數算則後，統整所有的乘法問題。學生是否1.分數整數的乘法問題有那些共同的特徵？要如何處理？能表達分2.整數分數的乘法問題有那些共同的特徵？要如何處理？數的意義3.分數分數的乘法問題有那些共同的特徵？要如何處理？及算則4.上面這些分數乘法問題有那些共同的特徵？