物理小组赛前集训复赛模拟试卷四

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1、物理小组赛前集训复赛模拟试卷（四） 1试用物理方法讨论以下两个数学问题（1）试用力学方法求解光滑曲线的曲率半径（a）在平面直角坐标系中，双曲线方程可表示为 =1此双曲线与x轴的交点称为顶点试利用小行星绕太阳运动可能采取的双曲线轨道，计算双曲线顶点处的曲率半径 ，结果用A和B表示（b）旋转半径为r 、螺距为h的等距螺旋线，曲率半径处处相同试用质点运动学方法求解值（2）光滑弯曲液面上任意某点内、外压强差的拉普拉斯公式为P内P外 = ( + ) ，其中为液体表面张力系数，1和2为曲面上该点任意一对正交正截面两截线的曲率半径由于P内 和P外 的值与一对正交正截面的选取无关，拉普拉斯公式的数学前提是，在

2、光滑曲面上每一位置Q点处任意一对正交正截面两截线的曲率半径的倒数之和只是Q点位置的函数，而与这一对正交正截面的选取无关取一个圆柱面，在面上任选一点Q ，试自行设计一对通过Q点的正交正截面，并用物理方法验证这两对正截面各自对应的两条截线在Q点的曲率半径倒数之和相同2类比是物理学的重要研究方法之一，对物理学的发展起过积极的促进作用早在1697年，J伯努利在研究均匀重力场中最快下降路线时，想起了光在行进中所采取的路线是经历时间最短的路线（费马原理），他发现这两个问题在数学上是相似的于是，伯努利把待求的重力场中的最快下降路线与光在折射率沿某方向连续变化介质中所采取的行进路线相类比，后者运用光的折射定律

3、容易求解，从而前者也被求解现在请遵循J伯努利的类比方法，试求解简单情形的重力场中最快下降路线问题xOgyP (a , b)如图所示，在均匀重力场g中，在竖直平面建立水平向右的x轴和竖直向下的y轴（g沿y轴）在此平面内任取P点，其坐标为xP = a 0 ，yP = b 0 试找出一条从坐标原点O点到P点的光滑曲线轨道，使得质点从O点静止出发无摩擦地沿此轨道滑到P点所需时间最短3将自由长度为L0 ，质量为m ，劲度系数为K（常量）的匀质圆柱形弹性体垂直悬挂，设悬挂过程中柱体的圆面积保持不变，且已达到平衡伸长的静止状态（1）试求弹性体的总伸长量（2）取弹性体的悬挂处为坐标圆点，取竖直向下的x坐标，设

4、K = 试按弹性体伸长平衡时的位形，求出其质量线密度的分布4在如图所示的交流电路中，三个电源的电动势分别为 E1 = E0cos ( t + 30 ) ，E2 = E0cos ( t + 45 ) ，E3 = E0cos ( 2t + 60 ) ，且有 L = =R 试求通过电阻R的电流 i 以及在电阻R上消耗的平均功率5如图所示，在p -V平面上用实线画出了CV为常量的某理想气体的几条准静态过程线，其中两条实曲线是绝热过程，三条实直线是直线过程，其延长线交于原点O （1）试比较12431（循环过程12431的效率，下同）与12651的大小（2）设p1*p2*p3* = 123 ，试比较124

5、31与34651的大小绝绝线绝绝线VpOp3* p2* p1*6如图所示，汽车B沿公路由东向西做匀速运动，路南房子H中有一电视机正在接收从西南远方传来的频率为f = 60 MHz的电磁波，房子H到公路的垂直距离L =100m 汽车驶过房子所在地区时，电视机接收到的信号强度将发生起伏当汽车处于正对房子的位置时，测得强度起伏频率为2 Hz ；当汽车到达距正中位置200m处时，起伏频率突然降为0 据此，试求电磁波的发射方位及汽车行驶的速度（提示：需考虑车厢侧面因不平滑而出现的散射）无线电波东西vBLHBkpx+7如图所示，在一次粒子碰撞实验中，观察到一个低速k 介子与一个静止质子p发生相互作用，生成

6、一个+ 介子和一个未知的x粒子，在匀强磁场B中+ 介子和x粒子的径迹已在图中画出已知磁场的磁感应强度大小为B = 1.70T ，测得+ 介子径迹的曲率半径为R1 = 34.0 m 1试确定x粒子径迹的曲率半径R2 2请参考下表确认x为何种粒子粒子名称符号静质量 / MeV*电荷（e）正电子，电子e+ ，e0.5111介子+ ，105.71介子+ ，139.61k介子k+ ，k493.81质子p938.31中子n939.60粒子01115.40正粒子+1189.41中性粒子*1192.30负粒子1197.21中性粒子01314.30负料子1320.81粒子16751*此处静质量是指静能量m0c2

7、物理小组赛前集训复赛模拟试卷（四）参考答案1（1）（a）过焦点F作渐近线的垂线交于E点，如图所示，= B 图由面积定律：V B = VD ( C A )能量守恒定律：mV = mV得V = ， = = （b）设质点沿螺线匀速率运动，可分解为匀速圆周运动 ( vr ) 和匀速直线运动 ( vh ) ， v = ，a = 图2rhvhvrv = = ( )2 r 将螺线展开如图所示vr = v cos = v = r （2）S1在Q点的曲率半径相当于倾角为1的螺线的曲率半径，如图所示S2图S1 1 = r ，h1 = 2r tan1同理 2 = r ，h2 = 2r tan2 + = + = (

8、+ ) 1 + 2 = ， tan1 = ， + = 光线切线图2在折射率随y坐标分层连续变化的情况下，光因连续折射，其行进路线如图所示的弯曲光线在光线上任一点S作光线的切线由折射定律 n ( y ) sin = 常量，即 n ( y ) cos = 常量，u ( y ) = ，其中u ( y )为光在y处的速度图yy = 常量本题所求的从O点到P点的最快下降路线如图所示，则曲线在y处的速率 u ( y ) = 根据类比的方法应有： = 常量或 = 常量y = tan = ，cos = ，y ( 1 + y 2 ) = A（常量）设y = R ( 1cos ) = 2Rsin2 y 2 = 1

9、 = 1令2R = Ay = cot y = = = 2Rsin cos = cot 即： = dx = 2Rsin d两边积分得：x = R ( sin ) 得出质点在重力场中下降最快的路线的参量表达式可见最快下降路线是一条滚轮线，参量R可由P点的坐标a 和b通过以下两式确定 ，的取值范围在0到p之间，p也由以上两式确定3在弹性体未伸长时，在弹性体上刻制与x坐标完全一致的x 坐标，当弹性体伸长时，x 坐标尺随弹性体一起伸长但x 的读数不变弹性体伸长后，在x 坐标尺上取x 到x + dx 的小段弹性体，如图所示dG = 0dx gdGF(x )F(x+dx )dxF ( x + dx ) F

10、( x ) = 0g dx 两边积分：F ( L0 ) F ( x ) = F ( L0 ) = 0故F ( x ) = 0g ( L0 x ) ，F ( x ) = dl由以上两式得：dl = ( L0 x ) dx两边积分：Lx = = ( L0 ) x当x = L0时：L = ( L0 ) L0 = 因为 0 = 所以 L = （2）dm = 0dx伸长后，dx小段的实际长度 dx + dl = dx + ( L0 x ) dx故伸长后dx小段的质量线密度为 = = 将kL0 = mg ， 0 = 代入，得 = x = x +Lx = x + ( L0 ) x = x + ( L0 )

11、x即x 2 4L0x + 2L0x = 0 x = 2L0 （因为x = 0对应x = 0 ，所以只能取负） = 图4提供答案采用复数解法，也可用L 、C 、R相位关系求，请认真复习高一暑期所讲这部分基本知识，以防万一（1）当E1单独存在时，如图所示= j ，= j2R = R += R + = R + ( 1 + j )10 = arctan = 33.7i1 = I10cos ( t + 3033.7 ) = cos ( t 3.7 ) = cos ( t 3.7 )图E2Lii2（2）当E2单独存在时，如图所示= jR ，= jR =+= jR + = ( 1 + j )20 = 45i

12、 = I20cos (t + 4545 ) = cos ( t )图E3i3RLC= ( 1 j ) 2 = 45（是否有误 ？）i20 = cos (t 45 )（3）当E3单独存在时，如图所示= j2R ，= j ，=+= j + = ( 8 j )= = = 3 = arctan = 33.7 ，| = i3 = cos ( 2t + 93.7 ) i = i1 + i2 + i3= cos ( 3.7 ) + cos (t 45 ) + cos ( 2t + 93.7 ) 电阻R上消耗的瞬时功率为P = i 2R = cos ( 3.7 ) + cos (t 45 ) + cos (

13、2t + 93.7 ) 2把上式平方中的交叉项展开，其中随t变化的部分的平均值是0 因为只包含平方项的平均值，也就相当于电流i1 ，i2 ，i3各自单独通过R时消耗的平均功率之和即= + + ，= ，= ，= = 5（1）将12 ，34 ，56吸热分别记为Q1 、Q2 、Q3 循环12431中吸热Q1 ，放热Q2 12431 = 1 同理：34653 = 1 ，12651 = 1 因34653 1 ，Q2 Q3 ，1 1 ，12431 12651（2）因为 p = kV ，所以 dp = kdV ，pdV + Vdp = nRdT pdV + kVdV = nRdT 2pdV = nRdT热力

14、学第一定律：dQ = dV + pdV 摩尔热容量c = = = = = 三个过程c相同1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6温度分别记为T1 ，T2 ，T3 ，T4 ，T5 ，T6设p = k3V（12过程），p = k2V（34过程），p = k1V（56过程）Q1 = c ( T2T1 ) ，Q2 = c ( T4T3 ) ，Q3 = c ( T6T5 )Q1Q2Q3 = ( T2T1 ) ( T4T3 ) ( T6T5 )T2T1 = = T4T3 = T6T5 = Q1Q2Q3 = k3 ( V V )k2 ( V V )k1 ( V V )绝热过程有 pvr = 常数即 p1V = p3

15、V = p5V ，p2V = p4V = p6V 或 k3V = k2V = k1V ，k3V = k2V = k1V 记 = = = Q1Q2Q3 = k3 ( 2 1 ) V k2 ( 2 1 )V k1 ( 2 1 )V = k3V k2V k1V 令 k3V = k2V = k1V = r + 1V1 =，V3 =，V5 =Q1Q2Q3 = = 12431 = 1= 1，34653 = 1= 1因为 0 ， 12431 34653 西东Bx无线电波6解：如图所示，设汽车位于x处，电磁波的传播方位用角表示，散射方位用表示在H处叠加的两波的波程差为 = +=cos ( ) = cos (

16、+ ) = 得： = + Lsin波程差每变化（变大或变小均可）一个波长，接收到的讯号强度变化（起伏）一次d t 时间内波程变化量记为 d ，dt 时间内接收讯号强度起伏次数便为 ，故 即为单位时间内接收讯号强度起伏次数，也就是强度起伏频率f起伏 考虑到取正取负效果相同，即有：f起伏 = | ， = ， = + ，x = L / tan = = v带入得：f起伏 = | cos cos | 由于 x = 200 m 时，f起伏 = 0= 此时 tan = tan= = 故电磁波的发射方位角为： = arctan = 22.6又当汽车在房子正对位置，即当 = 90 时，f起伏 = 2 Hz ，即

17、有：2 = cos = cos将 c = 3.0108 m / s ，f = 60 MHz ， = 22.6带入得：v = 11.2 m / s 7（1）由电荷守恒可知，x粒子应带电e ，考虑到系统碰撞前动量为零（近似），碰撞后产生的+ 介子和x粒子的动量之和也必为零设+ 介子的速度为v1 ，质量为m1 ，设x粒子的速度为v2 ，质量为m2 ，则m1v1 = m2v2 这两个粒子在磁场中都要受洛仑兹力的作用，但洛仑兹力都不做功，两粒子速度大小和质量都保持不变由相对论形式的牛顿第二定律 F = ( mv )在m不变的情况下，可简化为 F = m = ma上式与经典形式相同，但注意式中的m并非静质

18、量+介子和x粒子在洛仑兹力作用下，做匀速圆周运动，所需向心力由洛仑兹力提供，即有evB = 旋转半径为 R = 因 m1v1 = m2v2 ，且两粒子的电量（绝对值）相同，故x粒子圆形径迹的半径R2与+ 介子圆形径迹的半径R1相同，即得R2 = R1 = 34.0 cm （2）对于+ 介子，有 eB = = 式中+ 介子的静质量m10为 m10 = 139.6 MeV / c2由以上两式，解出v1 = = = 2.34108 m / s+ 介子的能量为 m1c2 = = 223 MeV因系统能量守恒，故x粒子的能量为 m2c2 = ( mk 0c2 + mp 0c2 ) m1c2由表可知，k 介子和质子p的静能量分别为 mk 0c2 = 493.8 MeV ，mp 0c2 = 938.3 MeV代入，得 m2c2 = 1209.1 MeV故x粒子速子的大小为 v2 = = v1 = 4.32107 m / sx粒子的静质量为 m20 = m2 x粒子的静能量为 m20c2 = m2c2 = 1196 MeV查表可知，x粒子为粒子11