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1、苏 北 四 市 数 学 试 题数学 必做题部分 （本部分满分160分，时间120分钟）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1本试卷共4页，均为非选择题（第1题第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。4如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等加黑、加粗。参考公式：锥体的体积公式：，其中是锥体的底面面积，是高一、填空题：本题共
2、14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上1设复数为虚数单位,若为实数,则的值为 2已知集合，且，则实数的值是 3某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为 开始结束输出SYN（第6题图）4在的边上随机取一点, 记和的面积分别为和，则的概率是 5已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 6右图是一个算法流程图，则输出的值是 7函数的定义域为 8若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为 9在中，已知，且的面积为，则边长为 10已知函数，则不等式的解集为 11已知函数的最大
3、值与最小正周期相同，则函数在上的单调增区间为 12设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，其中，则的值为 13在平面四边形中，已知，点分别在边上，且，若向量与的夹角为，则的值为 14在平面直角坐标系中，若动点到两直线：和：的距离之和为，则的最大值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分14分)已知向量， (1)若，求的值； (2)若，求的值16(本小题满分14分)如图，在三棱锥中，点分别是棱的中点(1)求证：/平面； (2)若平面平面，求证：PABCFE（第16题图）17(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环
4、面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）（1）求关于的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？ (第17题图)18(本小题满分16分)已知的三个顶点，其外接圆为(1)若直线过点，且被截得的弦长为2，求直线的方程；(2)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段
5、的中点，求的半径的取值范围19(本小题满分16分)已知函数（为常数），其图象是曲线（1）当时，求函数的单调减区间；（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由20（本小题满分16分）已知数列满足，是数列 的前项和(1)若数列为等差数列（）求数列的通项；（）若数列满足，数列满足，试比较数列 前项和与前项和的大小；(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围数 学 试 题 数学 附加题部分注意事项1 本试卷共
6、2页，均为非选择题（第21题第23题，共4题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2 作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤(第21(A)图)A(选修41：几何证明选讲)（本小题满分10分）如图，点为锐角的内切圆圆心，过点作直线的垂线，垂足为，圆与边相切于点若，求的度数B(选修42：矩阵与变换)（本小题满分10分）设矩阵（其中），若曲线在矩阵所对
7、应的变换作用下得到曲线，求的值C(选修44：坐标系与参数方程)（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以 为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值D(选修45：不等式证明选讲)（本小题满分10分）已知均为正数,证明：【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）某品牌汽车4店经销三种排量的汽车，其中三种排量的汽车依次有，4，3款不同车型某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能 (1)求该单位购买的3辆汽
8、车均为种排量汽车的概率； (2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为，求的分布列及数学期望23（本小题满分10分）已知点，动点满足 (1)求动点的轨迹的方程； (2)在直线：上取一点，过点作轨迹的两条切线，切点分别为问：是否存在点，使得直线/？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由参考答案数学部分一、填空题：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、解答题：15（1）由可知，所以，2分所以 6分（2）由可得，即， 10分又，且 ，由可解得，12分PABCFED所以 14分16（1）在中，、分别是、的中点，所以，又平面，平面，所以平面6分（2）在平面内过点作，垂足为
9、因为平面平面，平面平面，平面，所以平面,8分又平面，所以，10分又，平面，平面，所以平面，12分又平面，所以14分17(1)设扇环的圆心角为q，则，所以，4分 (2) 花坛的面积为7分装饰总费用为， 9分所以花坛的面积与装饰总费用的比， 11分令，则，当且仅当t=18时取等号，此时答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大14分(注：对也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)18(1)线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，所以外接圆圆心，半径，圆的方程为 4分设圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得的弦长为2，所以当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求；6分当直线不垂直于轴时，设直
10、线方程为，则，解得，综上，直线的方程为或 8分(2)直线的方程为，设，因为点是线段的中点，所以，又都在半径为的圆上，所以即10分因为该关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，所以,12分又，所以对成立而在0，1上的值域为，10，所以且15分又线段与圆无公共点，所以对成立，即.故圆的半径的取值范围为 16分19(1)当时， . 2分令f (x)0，解得，所以f(x)的单调减区间为 4分 (2) ，由题意知消去，得有唯一解6分令，则，所以在区间，上是增函数，在上是减函数，8分又，故实数的取值范围是 10分(3)设，则点处切线方程为，与曲线：联立方程组，得，即，所以点
11、的横坐标 12分由题意知，若存在常数，使得，则，即存在常数，使得，所以解得， 15分故时，存在常数，使；时，不存在常数，使16分20(1)（）因为，所以，即，又，所以， 2分又因为数列成等差数列，所以，即，解得，所以； 4分（）因为，所以，其前项和，又因为，5分所以其前项和，所以，7分当或时，；当或时，；当时，9分（2）由知，两式作差，得，10分所以,作差得， 11分所以，当时，；当时，；当时，；当时，；14分因为对任意，恒成立，所以且，所以，解得，故实数的取值范围为16分数学部分21【选做题】A(选修41：几何证明选讲)由圆与边相切于点，得，因为，得，所以四点共圆,所以 5分又， 所以，由，
12、得10分B（选修4-2：矩阵与变换）设曲线上任意一点，在矩阵所对应的变换作用下得到点，则，即 5分又点在曲线上，所以，则为曲线的方程又曲线的方程为，故，因为，所以 10分C（选修4-4：坐标系与参数方程）因为圆的极坐标方程为，所以，所以圆的直角坐标方程为，圆心为,半径为1,4分因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C 引切线长是，所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 10分D（选修4-5：不等式选讲）证法一：因为均为正数，由均值不等式得，2分因为，所以 5分故 又3，所以原不等式成立10分证法二：因为均为正数，由基本不等式得，所以2分同理，5分所以所以原不等式成立10分22. (1)设该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车为事件，则所以该单位购买的3辆汽车均为种排量汽车的概率为 4分(2)随机变量的所有可能取值为1，2，3.则，所以的分布列为8分数学期望10分23(1)设，则，由，得，化简得.故动点的轨迹的方程. 5分(2)直线方程为，设， ，过点的切线方程设为，代入，得，由，得，所以过点的切线方程为，7分同理过点的切线方程为所以直线MN的方程为，9分又/，所以，得，而，故点的坐标为 10分
江苏省苏北四市高三期末统考数学试题含答案
