高考数学理一轮复习精品资料 专题14 导数在函数研究中的应用教学案 Word版含解析

《高考数学理一轮复习精品资料 专题14 导数在函数研究中的应用教学案 Word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学理一轮复习精品资料 专题14 导数在函数研究中的应用教学案 Word版含解析（30页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、专题14 导数在函数研究中的应用（教学案）2017年高考数学（理）一轮复习精品资料1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次) 1函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程f(x)0的根

2、附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值3函数的最值(1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值高频考点一不含参数的函数的单调性例1、

3、求函数f(x)的单调区间思维升华确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0)(1)若函数yf(x)的导函数是奇函数，求a的值；(2)求函数yf(x)的单调区间解(1)函数f(x)的定义域为R.由已知得f(x)a.函数yf(x)的导函数是奇函数，f(x)f(x)，即aa，解得a.(2)由(1)知f(x)a1a.当a1时，f(x)0时，随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，0)0(0，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)极大值f(0)1，f(x)极小值f

4、1.当a0，f(x)在区间(0，e上单调递增，此时函数f(x)无最小值若0ae，当x(0，a)时，f(x)0，函数f(x)在区间(a，e上单调递增，所以当xa时，函数f(x)取得最小值lna.若ae，则当x(0，e时，f(x)0，函数f(x)在区间(0，e上单调递减，所以当xe时，函数f(x)取得最小值.综上可知，当a0时，函数f(x)在区间(0，e上无最小值；当0a)，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于()A. B. C. D1答案D解析由题意知，当x(0,2)时，f(x)的最大值为1.令f(x)a0，得x，当0x0；当x时，f(x)0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0

5、.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间，则f(m)f(n)的最小值是()A13B15C10D15答案A解析对函数f(x)求导得f(x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在上单调递增，当m时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，当n时，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.1.【2016年高考四川理数】设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于

6、点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是( )（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+) （D）(1,+)【答案】A【解析】设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即.分别令得又与的交点为，故选A2.【2016高考新课标2理数】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 【答案】【解析】对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.3.【2016高考新课标3理数】已知为偶函数，当时，则曲线在点处的切线方程是_【答案】【

7、解析】当时，则又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即4.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）已知函数有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设x1,x2是的两个零点,证明：.【答案】【解析】（）（i）设,则,只有一个零点（ii）设,则当时,；当时,所以在上单调递减,在上单调递增又,取满足且,则,故存在两个零点（iii）设,由得或若,则,故当时,因此在上单调递增又当时,所以不存在两个零点若,则,故当时,；当时,因此在单调递减,在单调递增又当时,所以不存在两个零点综上,的取值范围为 5.【2016高考山东理数】(本小题满分13分)已知.（I）讨论的单调性；（II）

8、当时，证明对于任意的成立.【答案】（）见解析；（）见解析【解析】（）的定义域为；.当， 时，单调递增；，单调递减.当时，.（1），当或时，单调递增；当时，单调递减；（2）时，在内，单调递增；（3）时，当或时，单调递增；当时，单调递减.综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在 内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（）由（）知，时，令，.则，由可得，当且仅当时取得等号.又，设，则在单调递减，因为，所以在上存在使得 时，时，所以函数在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以，即对于任意的恒成立。

9、6.【2015高考江苏，19】（本小题满分16分）已知函数.（1）试讨论的单调性；（2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值.【答案】（1）当时， 在上单调递增；当时， 在，上单调递增，在上单调递减；当时， 在，上单调递增，在上单调递减（2）【解析】（1），令，解得，当时，因为（），所以函数在上单调递增；当时，时，时，所以函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，时，时，所以函数在，上单调递增，在上单调递减设，因为函数有三个零点时，的取值范围恰好是，则在上，且在上均恒成立，从而，且，因此此时，因函数有三个零点，则有两个异于的不等实根，所以，且，解得

10、综上7.【2015高考四川，理21】已知函数，其中.（1）设是的导函数，评论的单调性； （2）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.【答案】（1）当时，在区间上单调递增， 在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.（2）详见解析.（2）由，解得.令.则，.故存在，使得.令，.由知，函数在区间上单调递增.所以.即.当时，有，.由（1）知，函数在区间上单调递增.故当时，有，从而；当时，有，从而；所以，当时，.综上所述，存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.8.【2015高考广东，理19】设，函数 (1) 求的单调区间 ； (2) 证明：在上仅有一个零点； (3) 若曲线在点处的切线与

11、轴平行，且在点处的切线与直线平行（是坐标原点）,证明：【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）依题， 在上是单调增函数；（2）证明：由（1）问可知函数在（，+）上为增函数又f（0）=1a，a11a0f（0）0当x+时，f（x）0成立f（x）在（，+）上有且只有一个零点（3）证明：f（x）=ex（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f（x）=ex0（x0+1）2，y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，f（x0）=0，即：ex0（x0+1）2=0，x0=1将x0=1代入y=f（x）得y0=，10分令；g（m）=em（m+1）g（m）=em（m+1），则g（m）=em1，由g（m）=

12、0得m=0当m（0，+）时，g（m）0当m（，0）时，g（m）0g（m）的最小值为g（0）=012分g（m）=em（m+1）0emm+1em（m+1）2（m+1）3即：m14分9.（2014安徽卷） 设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x时 ，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值【解析】 (1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x1，x2，x1x2，所以f(x)3(xx1)(xx2)当xx2时，f(x)0；当x1x0.故f(x)在和 内单调递减，在内单调递增(2)因为a0，所以x10，当a4时，x21.

13、由(1)知，f(x)在上单调递增，所以f(x)在x0和x1处分别取得最小值和最大值10.（2014安徽卷） 设实数c0，整数p1，nN*.(1)证明：当x1且x0时，(1x)p1px；(2)数列an满足a1c，an1ana，证明：anan1c.【解析】证明：(1)用数学归纳法证明如下当p2时，(1x)212xx212x，原不等式成立假设pk(k2，kN*)时，不等式(1x)k1kx成立当pk1时，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以当pk1时，原不等式也成立综合可得，当x1，x0时，对一切整数p1，不等式(1x)p1px均成立(2)方法一：先用数

14、学归纳法证明anc.当n1时，由题设知a1c成立假设nk(k1，kN*)时，不等式akc成立由an1ana易知an0，nN*.当nk1时，a1.由akc0得11p .因此ac，即ak1c，所以当nk1时，不等式anc也成立综合可得，对一切正整数n，不等式anc均成立再由1可得1，即an1an1c，nN*.假设nk(k1，kN*)时，不等式akak1c成立，则当nk1时，f(ak)f(ak1)f(c)，即有ak1ak2c，所以当nk1时，原不等式也成立综合可得，对一切正整数n，不等式anan1c均成立11.（2014广东卷） 曲线ye5x2在点(0，3)处的切线方程为_【答案】y5x3【解析】

15、本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法因为y5e5x，所以切线的斜率k5e05，所以切线方程是：y35(x0)，即y5x3.12.（2014江西卷） 若曲线yex上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_【答案】(ln 2，2)【解析】 设点P的坐标为(x0，y0)，yex.又切线平行于直线2xy10，所以ex02，可得x0ln 2，此时y2，所以点P的坐标为(ln 2，2)13.（2014江西卷） 已知函数f(x)(x2bxb)(bR)(1)当b4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间上单调递增，求b的取值范围14.（2014全国卷） 曲线yxex1在点(1，1)处切线

16、的斜率等于()A2e Be C2 D1【答案】C【解析】 因为y(xex1)ex1xex1，所以yxex1在点(1，1)处的导数是y|x1e11e112，故曲线yxex1在点(1，1)处的切线斜率是2.15.（2014新课标全国卷）设曲线yaxln(x1)在点(0，0)处的切线方程为y2x，则a()A0 B1 C2 D3【答案】D【解析】 ya，根据已知得，当x0时，y2，代入解得a3.16.（2014陕西卷） 设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)

17、ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设nN，比较g(1)g(2)g(n)与nf(n)的大小，并加以证明【解析】由题设得，g(x)(x0)(1)由已知，g1(x)，g2(x)g(g1(x)，g3(x)，可得gn(x).下面用数学归纳法证明当n1时，g1(x)，结论成立假设nk时结论成立，即gk(x).那么，当nk1时，gk1(x)g(gk(x)，即结论成立由可知，结论对nN成立(2)已知f(x)ag(x)恒成立，即ln(1x)恒成立设(x)ln(1x)(x0)，则(x)，当a1时，(x)0(仅当x0，a1时等号成立)，(x)在有(x)0，(x)在(0，a1上单调递减，(a1)1时，存在x

18、0，使(x)nln(n1)证明如下：方法一：上述不等式等价于，x0.令x，nN，则ln.下面用数学归纳法证明当n1时，ln 2，结论成立假设当nk时结论成立，即ln(k1)那么，当nk1时，ln(k1)ln(k1)lnln(k2)，即结论成立由可知，结论对nN成立方法二：上述不等式等价于，x0.令x，nN，则ln.故有ln 2ln 1，ln 3ln 2，ln(n1)ln n，上述各式相加可得ln(n1)，结论得证方法三：如图，dx是由曲线y，xn及x轴所围成的曲边梯形的面积，而是图中所示各矩形的面积和，dxdxnln(n1)，结论得证17.（2013新课标全国卷）已知函数f(x)若|f(x)|

19、ax，则a的取值范围是()A(，0 B(，1C D【答案】D【解析】 方法一：若x0，|f(x)|x22x|x22x，x0时，不等式恒成立，x0时，不等式可变为ax2，而x20，|f(x)|ln(x1)|ln(x1)，由ln(x1)ax，可得a恒成立，令h(x)，则h(x)，再令g(x)ln(x1)，则g(x)0，故g(x)在(0，)上单调递减，所以g(x)g(0)0，可得h(x)0，a0.综上可知，2a0，故选D.方法二：数形结合：画出函数|f(x)|与直线yax的图像，如下图，要使|f(x)|ax恒成立，只要使直线yax的斜率最小时与函数yx22x，x0在原点处的切线斜率相等即可，最大时与

20、x轴的斜率相等即可，因为y2x2，所以y|x02，所以2a0.18.（2013广东卷） 若曲线ykxln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k_【答案】1【解析】 yk，y|x1k10，故k1.19.（2013江西卷） 设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_【答案】2【解析】 f(ex)xex，利用换元法可得f(x)ln xx，f(x)1，所以f(1)2.20.（2013北京卷） 设L为曲线C：y在点(1，0)处的切线(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方【解析】(1)设f(x)，则f(x).所以f(1)1.所以L的方程为yx1.

21、(2)令g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)0(x0，x1)g(x)满足g(1)0，且g(x)1f(x).当0x1时，x210，ln x0，所以g(x)1时，x210，ln x0，所以g(x)0，故g(x)单调递增所以g(x)g(1)0(x0，x1)所以除切点之外，曲线C在直线L的下方21.（2013全国卷） 若函数f(x)x2ax在是增函数，则a的取值范围是()A B D上单调递减，则实数a的取值范围是()A1a2Ba4Ca2D00)，当x0时，有00且a13，解得1a2.2已知f(x)是可导的函数，且f(x)f(x)对于xR恒成立，则()Af(1)e201

22、6f(0)Bf(1)ef(0)，f(2016)e2016f(0)Cf(1)ef(0)，f(2016)e2016f(0)Df(1)ef(0)，f(2016)0，解得a.所以a的取值范围是(，)4已知函数f(x)x24x3lnx在区间上不单调，则t的取值范围是_答案(0,1)(2,3)解析由题意知f(x)x4，由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间上就不单调，由t1t1或t3t1，得0t1或2t0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，)；当a0时，f(x)的增区间为(1，)，减区间为(0,1)；当a0时，f(x)不

23、是单调函数(2)由(1)及题意得f(2)1，即a2，f(x)2lnx2x3，f(x).g(x)x3(2)x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，即g(x)0在区间(t,3)上有变号零点由于g(0)2，当g(t)0，即3t2(m4)t20对任意t恒成立，由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0，即m5且m9，即m0，即m.所以m1，则不等式exf(x)ex1的解集是()Ax|x0Bx|x0Cx|x1Dx|x1或0x1，可得到g(x)0，所以g(x)为R上的增函数；又g(0)e0f(0)e010，所以exf(x)ex1，即g(x)0的解集为x|x07.若

24、函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能为()答案C解析根据f(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A、D；从适合f(x)0的点可以排除B.8函数f(x)x33axb(a0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是_答案(1,1)解析令f(x)3x23a0，得x，则f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值从而解得所以f(x)的单调递减区间是(1,1)9若函数f(x)x33x在(a,6a2)上有最小值，则实数a的取值范围是_答案2,1) 10设f(x)，其中a为正实数(1)当a时，

25、求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围解对f(x)求导得f(x)ex.(1)当a时，若f(x)0，则4x28x30，解得x1，x2.结合，可知xf(x)00f(x)极大值极小值所以x1是极小值点，x2是极大值点(2)若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号，结合与条件a0，知ax22ax10在R上恒成立，即4a24a4a(a1)0，由此并结合a0，知0a1.所以a的取值范围为a|0a111已知函数f(x)ae2xbe2xcx(a，b，cR)的导函数f(x)为偶函数，且曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为4c.(1)确定a，b的值；(2)若c3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围 (3)由(1)知f(x)2e2x2e2xc，而2e2x2e2x24，当x0时等号成立下面分三种情况进行讨论：当c0，此时f(x)无极值；当c4时，对任意x0，f(x)2e2x2e2x40，此时f(x)无极值；当c4时，令e2xt，注意到方程2tc0有两根t10，t20，即f(x)0有两个根x1lnt1，x2lnt2.当x1xx2时，f(x)x2时，f(x)0，当x0，从而f(x)在xx1处取得极大值，在xx2处取得极小值综上，若f(x)有极值，则c的取值范围为(4，)