周炳琨激光原理习题解答

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1、周炳琨激光原理第二章习题解答(完整版)1.试利用往返矩阵证明对称共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次,证明：设从镜M1M2r0M1 ,初始坐标为0两次后坐标变为 12 =T?T020而对称共焦腔，R1=R2=L则 A=1-2L=-1B=2LR22221C -1=0D=-R1R2R11 0所以，T=01210100故，=201010而且两次往返即自行闭合。，往返一次后坐标变为r1 =T r0 ,往返1 01LR2=0212L 2L彳11=-1R1R1R2即，两次往返后自行闭合。02试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。解：共轴球面腔的稳定性条件为2=1-LR2(a对平凹腔

2、：只2 =，则g2=1,01-V ,即 0LR1R1(b)对双凹腔:0g1 ?g21,01L1 L 1R1R2R1L，R2 L或R1LR2 L 且 Ri R2 L0gl ?g21,其中 gl=1- ，gRi(c)对凹凸腔：R1 = R1 ,R 2 =- R210 1RiR21,RiL 且 Ri IR2I L3激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为 2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为，求腔长 L在什么范围内是稳定腔。1由图可见有工作物质时光的单程传播有效腔长减小为无工作物质时的Le LC L 1 -n由 o 1 L 1 鼻 1，得 1m Le 2m1 2则 1.17

3、m Lc 2.17mc4.图所示三镜环形腔，已知 I,试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形强为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7 )中的f (RCOS )/2，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，f解：透镜序列图为R/(2cos )，为光轴与球面镜法线的夹角。ri1r12.r21r22 r3132.4111122122313241RRR该三镜环形腔的往返矩阵为:1 0 1 L 11 1 L 1 1 L0 1 0 1 -f 1 0 1 -f 1 0 12A D 1 3L -1由稳定腔的条件:1 A D

4、 1,得：02f 或f L32若为子午光线，由1 Rcos302则4L3、3或R34L.3若为弧矢光线，由R，则L R3L 或 R3R2cos30J325 有一方形孔径共焦腔氦氖激光器,632.8nm，镜的反射率为r1 1 , r2 96，其他损耗以每程估计。此激光器能否作单模运转如果想在L = 30cm, d=2a=0.12cm.共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择TEM 00，小孔边长应为多大试根据图2.5.5作大略的估计、氦氖增益由公式1 3*104-L计算。 d1.92解：菲涅耳数n-a-N L2(0.06cm)30cm*632.8nm0增益为eg l1 3*104 300.121.07

5、5tem 00模衍射损耗为4.7*10tem 01模衍射损耗为106，总损耗为，增益大于损耗Tem 02模衍射损耗为5*10 6，总损耗为，增益大于损耗；0.234衍射损耗与腔镜损耗和其它损耗相比均可忽略，三横模损耗均可表示为e * eg01.051因此不能作单模运转为实现tem 00单横模运转所加小孔光阑边长为:2 0s 230*632.85.0*104m2.05,008.1* 10-106试求出方形镜共焦腔面上tem 30模的节线位置，这些节线是等距分布的吗解: H3（x）8X3 12X 0Xi 0，X2,3，由2Zx06得节线位置:23L4X10，X2,32）0得OsTEM 20模的节线

6、位置为r 0或sin2=0,即:0,8.今有一球面腔，R11.5m，R21m，L = 80cm。试证明该腔为稳定腔；求出因此节线是等间距分布的。7.求圆形镜共焦腔 TEM 20和TEM 02模在镜面上光斑的节线位置。解：TEM 02模的节线位置由缔合拉盖尔多项式:出01由 L2（ ） -（2 42又2 r2则2P r0s它的等价共焦腔的参数。解：g1=1- =0.47 g 2=1-丄=，g1 ?g2 =R1R 2即：0 g 1 ?g2 1,所以该腔为稳定腔。由公式（2.8.4）_L=-1.31mL R1 L R2Z2=旦丄=-0.15mLR1L R22 = L R1l_ R2 L R1R22

7、l =0.25m2L R1 L R2f=0.5m9.某二氧化碳激光器采用平凹腔，L= 50cm, R= 2m, 2a= 1cm,10 6 m。试计算s1s2100200各为多少。解:91Ri1丄R2s2LsiRf(R2L(Ri L)(Ri R2L) _L)L(R2 L)f4(Ri)4431.7*10 mR2(Ri L)14LL(R2 L)(R1 R2 L) 1(_lb!)4，(RR2 L當 20*10140 2291 92 291924.0*10 芥adNef1Nef2gig2(1gig2)2Q2s12a21002s210试证明，在所有相同而R不同的对称稳定球面腔中，共焦腔的衍射损耗最低。这里

8、L表示腔长,Rir2为对称球面腔反射镜的曲率半径,a为镜的横向线度。证明：在共焦腔中，除了衍射引起的光束发散作用以外，还有腔镜对光束的会聚作用。这两种因素一起决定腔的损耗的大小。对共焦腔而言，傍轴光线的几何偏折损耗为零。只要N不太小，共焦腔模就将集中在镜面中心附近，在边缘处振幅很小，衍射损耗极低。11 今有一平面镜和一 R=1m的凹面镜，问：应如何构成一平凹稳定腔以获得最小的基模远 场角；画出光束发散角与腔长 L的关系曲线。1 42解:2 2g1gg1g2（1 gd1L（R2 L）当L”时，0最小-12.推导出平凹稳定腔基模在镜面上光斑大小的表达式，作出：(门当R= 100cm时，s1，随L而

9、变化的曲线；(2)当L = 100cm时, s2s2随R而变化的曲线。解:r2（R2 l）L（R1 L）（R1 R2 l）L（R2 L）f4，（R ）R2（& L）s2L（R2 L）（R1 R2 L）c 1(Rilr2 R2 l)(1)R2 R 100cm L 100cm13.某二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面镜的R= 2m腔长L = 1m。试给出它所产生的高斯光束的腰斑半径的大小和位置、该高斯光束的f及 的大小。0 0解：r2 L(R1 L)(R2 L)(R1 R2 L) f2(L R1) (L R2)LR L) 1*(2 1) 1m2即: f 1m14.某高斯光束腰斑大小为0 1.14mm

10、 ,10.6 m。求与束腰相距30cm、10m、z 10m :(10m)29.6mm,R(10m)10.0m1000m远处的光斑半径及波前曲率半径 R。解:2 , R(z)z其中,200.385mz 30cm:(30cm)1.45mm, R(30cm)0.79mz 1000m:(1000m)2.96m , R(1000m)1000m15.若已知某高斯光束之0.3mm ,632.8nm。求束腰处的q参数值，与束腰相距30cm处的q参数值，以及在与束腰相距无限远处的q值。解:1qoR(0),R(0)2束腰处：q。 i ifi 44.66cmq(z) q。z (2.10.8)z 30cm: q(30

11、cm)(30 44.66i)cmz ：q()16.某高斯光束01.2mm，10.6 m。今用F 2cm的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为10m、1m、10cm、0时，求焦斑大小和位置，并分析所得的结果。解:0.43m2(l F)F(l F)2 f2()1m:(FF2 ：l)2 f22.03410 210cm:2.01710 2 m,0:1.996210 m ,10m l 2.004 10 2m,02.40 10 6m2.25 10 5m5.53 10 5m5.62 10 5m020 m及2.5 m时透镜应放在什么位置。可见，透镜对束腰斑起会聚作用，位置基本不变在透镜焦点位置。17. CO?激

12、光器输出光10.6 m , 0 3mm，用一 F 2cm的凸透镜聚焦，求欲得到解:2.67m2F2 f(2.10.18 )0(FI)2 f-2(1)(FI)2F220f21.885m220I1.39m(FI)2F2 20f2568.9m220I 23.87m18如图光学系统，入射光10.6 m，求0 及 I3。解:202.67ml1Fi(I1FJFj2(I1 F1)2 f0.02ml2l211F12 02(Fi li)2.25 1013cm41.50 10 ml3F2F2）F；（I2F2)20.0812m2匚0 F0(12F2)21.411019.某高斯光束0 1.2mm，10.6。今用一望远

13、镜将其准直。主镜用镀金反射镜R 1m，口径为20cm ;副镜为一锗透镜，F1 2.5cm，口径为1.5cm；高斯束腰与透镜相距I 1m，如图所示。求该望远系统对高斯束的准直倍率。解：M M .1 （；）2 ；2 ；1 （；）2 f 0 0.427m , F2 R 0.5mM 50.9520.激光器的谐振腔由两个相同的凹面镜组成， 它出射波长为 的基模高斯光束，今给定功 率计，卷尺以及半径为 a的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束共焦参数f的实验原理及步骤。1 L(2R L)；，束腰半径:0R时，束腰半径最大。所以，对称共焦腔有解：由两个相同的凹面镜组成的谐振腔所对应共焦腔的焦距为:最大的束腰半径。

14、实验步骤：1，对某一腔长，测得束腰光斑的位置，此位置单位面积内具有该腔内光 束的最大光功率。2，改变腔长，同1测量束腰光斑处小孔后的光功率。在束腰光斑光功率最小时，用卷尺测得两腔镜间距L。1则有，L R, f 1L。221已知一二氧化碳激光谐振腔由两个凹面镜构成，R1 1m，r2 2m，L 0.5m。如何选择高斯光束腰斑0的大小和位置才能使它成为该谐振腔中的自再现光束解：由式(2.12.3)及球面反射镜等价焦距F 1R，有：22.( 1)用焦距为F的薄透镜对波长为、束腰半径为的高斯光束进行变换，并使变换后的高斯光束的束腰半径0 (此称为高斯光束的聚焦)，在F f和F f2222R1l110和

15、R2I2 10I1I2又l1l2 L,取10.6 m。得：h0.375m, l20.125m,01.28*10 3m解：2F2 00 (F I)2 f2，I 2(1)当F f时，须1-F如果薄透镜到高斯光束束腰的距离01220.1 IfFF21 f解得：1F 、F2f 2或IFI不能改变，如何选择透镜的焦距FF当F f时，总满足1，并在I F时，最小。I不变:F2I2 2I23.试由自再现变换的定义式（2.12.2）用q参数法来推导出自再现变换条件式（）。解:qcI) q(0)(2.12.2)i(F2F2)2(TI)2F22l1(F2(F I)2 )220 2-)(2.12.3)IF2 o02

16、一(2.10.18)I)2 )2F2得：1(F I)2 (T24.试证明在一般稳定腔（RR2，L）中，其高斯模在腔镜面处的两个等相位面的曲率半径分别等于各该镜面的曲率半径。解:R1R212LR224L2R1R R2R24L由（2.12.10）,参考平面上的曲率半径为4I2L4L1 R 2B/(D A), 2R2R2R14L4LL1R1R2R1R-i R2R25.试从式（2.14.12 ）导出式（）,并证明对双凸腔B24C0。解:(2.14.12a)R2 12R2 (11L)2/1 L)R1I1 L I2R22L2L2R24L2 2LR1R2R2l2R2(h L)R22(li L)ilTL(2.

17、i4.i2b)RiRiliRi(l2L) 2|i(|2L)将( 1)代入得:L) 22R2U1L)2(li L) L)li22L(L R2)2LRiR2liRL(L R2)2L Ri R20 (2413)li2Bli C2L(LR2)2LLRi(L R2)2LRiR2B24C4L2(L R2)24LRi(LR2)对于双凸腔B2 4C26.试计算Ri(2L Ri4L2(LR2)2R2(2L Ri R2)22L Ri R,R24LR(L |R2)02L Ri| R2im , L 0.25m, ai2.5cm，a2 icm的虚共焦腔的单程和往返。若想保持印不变并从凹面镜 M i端单端输出，应如何选择

18、 a2反之，若想保持a2不变并从凸面镜M2端单端输出，应如何选择 ai在这两种单端输出的条件下，单程和往返 各为多大题中ai为镜M i的横截面半径,Ri为其曲率半径,a2、R2的意义类似。解：对于虚共焦腔：Riim， L 0.25m。由 R,R2 2L 得 R20.5m，m2ai 2.5cm, a2RiR22,叶 i。icm，2a20.i6，mii 0.i6 ；(a)(b)aia22m21.5625,单程 i V i 20.6 ，往返 i i保持ai不变，从凹面镜i i,a2 ai，此时 2单程保持M i端单端输出,a 2i i 2 i 2aia2不变，从凸面镜2a20.25，ai20.84要求M 2能接收从Mi传输的光线，则须:2aia22m20.25.5，往返a2ai0.75M2单端输出须:a2ai0.5，往返 i i 2a20.75ai2