高等数学上：D2习题课6

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1、习题课一、一、 导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 导数和微分的求法导数和微分的求法 导数与微分 第二章 一、一、 导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用 导数导数 :xxfxxfxfx)()(lim)(0当时,为右导数当时,为左导数0 x)(xf0 x)(xf 微分微分 :xxfxfd)()(d机动 目录 上页 下页 返回 结束 关系关系 :可导可微( 思考 P89 题1 )判定可导的方法（1，2，3） 应用应用 :(1) 利用导数定义解决的问题 (3)微分在近似计算中的应用(2)用导数定义求极限1) 推出三个最基本的导数公式及求导

2、法则xxxCxcos)(sin;)(ln;0)(1其他求导公式都可由它们及求导法则推出;2) 求分段函数在分界点处的导数 , 及某些特殊函数在特殊点处的导数;3) 由导数定义证明一些命题.机动 目录 上页 下页 返回 结束 初等函数的求导问题初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 (P70) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(

3、arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 有限次四则运算的求导法则 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数 )0( v3. 复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,uyddxudd且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例. 设,3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析: )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04l

4、im)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx206lim0 )0(fxxx2012lim0 )(xf但是,12)0( f,24)0( f)0(f 不存在 ._n2又0 x,24x0 x,12x阶数机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xf设0)(,xxf在讨论解解:)(lim0 xfx又xfxfx)0()(lim0例例.所以 )(xf0 x在处连续. 即)(xf0 x在处可导 .xxx1sinlim20)0(0fxxx1sinlim000,1sin2xxx0,0 x处的连续性及可导性. xxxx120sinlim0)0( f机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(x

5、f在 0 x处连续, 且xxfx)(lim0存在， 证明:)(xf在0 x处可导.证证：因为xxfx)(lim0存在， 则有0)(lim0 xfx又)(xf在0 x处连续,0)0(f所以xxfx)(lim0即)(xf在0 x处可导.例例. 设xfxfx)0()(lim0)0(f 故机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1.设)(0 xf 存在,求.)()(lim0200 xxfxxxfx解解: : 原式=xxfxxxfx )()(lim02002)( xx2)( xx)(0 xf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.2.若0) 1 (f且) 1 (f 存在 , 求.tan) 1(

6、)cos(sinlim20 xexxfxx解解: 1)cos(sinlim20 xxx原式 =220)cos(sinlimxxxfx且0) 1 (f联想到凑导数的定义式220) 1cossin1 (limxxxfx1cossin2xx1cossin2xx) 1 (f) 1 (f )211 ( ) 1 (21f 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.3.设)(xf在2x处连续,且, 32)(lim2xxfx求. )2(f 解解:)2(f)(lim2xfx)2()()2(lim2xxfxx02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx3机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例

7、4.4.设1lim)() 1() 1(2xnxnnebaxexxf试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导,并求. )(xf 解解: :)(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x,1时x;)(axf时，1x.2)(xxf) 1 ()1 ()1 (fff) 1 () 1 (ff得处可导，在利用1)(xxf即ba1) 1(21ba2a机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 1,2ba2) 1 ( f1,21,2)(xxxxf)(xf 是否为连续函数 ?判别判别:机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x,1时x,)(axf时，

8、1xxxf2)(又继续可导吗？二、二、 导数和微分的求法导数和微分的求法1. 正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧(1) 求分段函数的导数注意讨论界点界点处左右导数是否存在和相等(2) 隐函数求导法对数微分法(3) 参数方程求导法极坐标方程求导(4) 复合函数求导法(可利用微分形式不变性)转化转化(5) 高阶导数的求法逐次求导归纳 ;间接求导法;利用莱布尼兹公式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.6.设, )(arctansin1sinxxxfeey其中)(xf可微 ,.y求解解:yd)d(sinsin xxee)d(sinsinxxee)d(arctan)(a

9、rctan11xxf )d(sinsinsinxeexx)d(cossinxxxeee)d(11)(arctan1112xxxfxexexxd) sin(cossinxfxxd)(arctan1112xyyddxxee cos机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.7.设由方程) 10(1sin 222yytttx确定函数, )(xyy 求.dd22xy解解: :方程组两边对 t 求导,得txddt 2txddyttycos12dd故xydd)cos1)(1(ytt22 ttyddycostydd0) 1(2ttyddtxdd机动 目录 上页 下页 返回 结束 22ddxy)(ddddxy

10、ttxdd )()cos1)(1(ddyttt) 1(2t yttysin) 1()cos1 (23)cos1 () 1(2yttydd yttysin) 1(2)cos1 (2233)cos1 () 1(2yt机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8.8.，有定义时设)(0 xgx 且)(xg 存在, 问怎样选择cba,可使下述函数在0 x处有二阶导数.)(xf解解: 由题设)0(f 存在, 因此1) 利用)(xf在0 x连续, 即, )0()0()0(fff得)0(gc 2) 利用, )0()0(ff0)0()(lim)0(0 xgxgfx)0( g0)0()(lim)0(20 xgcb

11、xxafxb而)0( gb得0,2xcbxax0, )(xxg机动 目录 上页 下页 返回 结束 )0( gb3) 利用, )0()0( ff0)0()(lim)0(0 xgxgfx)0( g0)2(lim)0(0 xbbxafxa2而得)0(21 ga)0(gc )(xf0,2xcbxax0, )(xxg机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1., )1(ln2xey求 .dy解解:211dxey)1(d2xe211xe)(d2xxxeexxd21122xeexxxd12222xe机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设,0)cos(sinyxxy求 .dy解解: 利用一阶微分形式

12、不变性 , 有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:xxd) d() 1 (tt dcos) d()2(221xtsin1说明说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.CC注意 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.)(22 44)(22)(4sin22)sin(k2224数学中的反问题往往出现多值性 , 例如注意 目录 上页 下页 返回 结束 1. 设函数)(xfy 的图形如下, 试在图中标出的点

13、0 x处的yy ,d及,dyy 并说明其正负 .yd0 xx00 xxyoy00yyd机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.xxeed )d(arctanxe211xd xxee21xxsindtand. 3x3secxxd2sin) (d. 4Cx2cos21机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. 设)(xyy 由方程063sin33yxyx确定,.d0 xy解解: 方程两边求微分, 得xx d32当0 x时,0y由上式得xyxd21d0求yy d32xxd3cos30d6y6. 设 ,0a且,nab 则nnba1nanba机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 已知, )1sinarcsin(2xy 求.d y解解：因为 y所以yd备用题备用题22)1(sin11xx1sin2x1cos)1(2xxy dxxxxd2sin)1(sin11222机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程两边求微分, 得已知,yxexy求.d y解解：xyyxddyd2.)d(dyxeyxxexeyyxyxd习题课 目录 上页 下页 返回 结束