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1、北师大版数学精品教学资料2 超几何分布自主整理 一般地，设有N件产品，其中有M(MN)件次品.从中任取n(nN)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的个数，那么P(X=k)=_(其中k为非负整数). 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为_的超几何分布.高手笔记1.超几何分布，实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M(MN)件，从所有物品中任取n件，这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率为P(X=k)=(kl，l是n和M中较小的一个).2.在超几何分布中，只要知道N、M和n，就可以根据公式求出X取不同值时的概率P，从而列出X的分布列.名师解惑1
2、.如何判断随机变量X是否服从超几何分布？剖析：判断超几何分布时必须满足以下两条：(1)总数为N件的物品只分为两类：M(MN)件甲类(或次品)，其余的N-M件为乙类(或正品).(2)随机变量X表示从N件物品中任取n(nN)件物品，其中所含甲类物品的件数.2.当随机变量X服从参数为N、M、n(MN，nN)的超几何分布时，X的所有可能取值有哪些？剖析：当N-Mn时，X的所有可能取值为：0,1,2，l(l为M与n中较小的一个)，例如(1)从10件产品(含有4件次品)中取3件，其中含有的次品数X的所有可能取值为0，1,2，3.(2)从10件产品(含有2件次品)中取3件，其中含有的次品数X的所有可能取值为
3、0，1,2.当N-M1”的概率.解：(1)X可能取的值为0，1,2，3，P(X=k)=，k=0,1，2,3.所以X的分布列为：X0123P(2)由(1)，“所选3人中女生人数X1”的概率为P(X1)=P(X=2)+P(X=3)=.【例2】在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率.分析：由题意知，摸到红球个数X为离散型随机变量，且X服从参数为N=30，M=10，n=5的超几何分布.解：X服从超几何分布，且X的可能取值为0，1,2，3,4，5，则至少摸到3个红球的概率为：P(X3)
4、=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=0.191 2.故中奖的概率约为0.191 2.绿色通道:由超几何分布的概念、公式以及上述两例我们知道：第一，当研究的事物涉及二维离散型随机变量(比如：次品、两类颜色等问题)时的概率分布可视为一个超几何分布；第二，在超几何分布中，只要知道参数N、M、n就可以根据公式求出X取不同值时的概率，进而列出X的分布列.变式训练2.从一批有13个正品和2个次品的产品中任意取3个，求抽得次品数X的分布列，并求P(X).分析：先弄清楚随机变量X的取值，符合超几何分布，运用超几何分布的概率计算.解：X的可能取值为0，1,2.P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)
5、=所以X的分布列为：X012P P(X)=P(X=1)+P(X=2)=.【例3】某商场庆“五一”举行促销活动，活动期间凡在商场购物满88元的顾客，凭发票都有一次摸奖机会，摸奖规则如下：准备了10个相同的球，其中有5个球上印有“奖”字，另外5个球上无任何标志，摸奖前在盒子里摇匀，然后由摸奖者随机地从中摸出5个球，奖品按摸出的球中含有带“奖”字球个数规定如下表：摸出的5个球中带“奖”字球的个数奖品0无1无2肥皂一块3洗衣粉一袋4雨伞一把5自行车一辆(1)若某人凭发票摸奖一次，求中奖的概率；(2)若某人凭发票摸奖一次，求奖品为自行车的概率.分析：可以将10个球看作10件“产品”，5个印有“奖”字的球
6、可以看作5件“次品”，任意取5个球中印有“奖”字的球数可以看作是任取5件“产品”中所含“次品”数.解：(1)设X为摸取5个球中印有“奖”字的球的个数，则X服从参数为N=10，M=5，n=5的超几何分布.X的可能取值为0，1,2，3,4，5，则X的分布列为：P(X=k)=(k=0,1，2,3，4,5)，若要获得奖品，只需X2，则P(X2)=1-P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-(2)若要获得自行车，必须X=5，则P(X=5)=.绿色通道:由上面的计算可以看出，顾客获得奖品的概率为0.896 8，希望很大.但获得自行车的概率为0.004 0，希望不大.变式训练3已知某社区的10位选民代表中有5位支持候选人A，现随机采访他们中间的4位，求其中至少有2名支持候选人A的概率.解：P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-教材链接P40思考交流下列随机变量X是否服从超几何分布，如果服从，那么各分布的参数分别是多少？(1)一个班级共有45名同学，其中女生20人，现从中任选7人，其中女生的人数为X；(2)从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中取出n张牌，取出的黑桃的张数为X.答：(1)X服从参数为N=45，M=20，n=7的超几何分布.(2)X服从参数为N=52，M=13，n(n52)的超几何分布.
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