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1、专题 24 相交线与平行线阅读与思考在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行 .当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公共顶点，而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上，这是识图的关键两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据1 平行线的判定(1) 同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行；(2) 平行于同一直线的两条直线平行；(3) 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行2 平行线的性质(1) 过直线外一点
2、，有且只有一条直线和这条直线平行；(2) 两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；(3) 如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直 .熟悉以下基本图形：例题与求解【例 1】 (1) 如图， ABD E，ABC080 ，CDE0140 ，则 BCD_.（安徽省中考试题）0(2) 如图，已知直线 ABC D，C115 ，A025 ，则 E_.（浙江省杭州市中考试题） BAEAD EFBC图 1CD图解题思路： 作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解 .【例 2】 如图，平行直线 AB，C D与相交 直线 EF，GH相交，图中的同旁内角共有 ( ) A 4 对 B
3、8 对C 12 对 D 16 对（“希望杯”邀请赛试题）解题思路 ：每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手AE GE A BC D FHFB CD例 2 题图 例 3 题图【例 3】 如图，在 ABC中，C EA B于 E，D FAB于 F，AC/ ED，CE是ACB的平分线，求证：EDFBDF.（天津市竞赛试题）解题思路 ：综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质，由于图形复杂，因此，证明前注意分解图形【例 4】 如图，已知 ABC D， EAF14EAB，FCF14ECD. 求证： AFC34AEC.（湖北省武汉市竞赛试题）2解题思路： 分别过点 E，F 作
4、平行线，利用平行线的性质找角之间的关系 .A BD E2FE F 1C DA B C例 4 题图 例 5 题图【例 5】 如图，已知 1 2，C D，求证： A F.解题思路 ：从角出发，导出两直线的位置关系，再推出新的角的关系，新的两直线的位置关系，是解这类问题的基本思路 .【例 6】(1) 已知平面内有 4 条直线 a，b，c 和 d，直线 a，b和 c 相交于一点，直线 b，c 和 d 也相交于一点，试确定这 4 条直线共有多少个交点？并说明你的理由(2) 作第 5 条直线 e 与(1) 中的直线 d 平行. 说明：以这 5 条直线的交点为端点的线段有多少条？（“希望杯”邀请赛试题）解题
5、思路 ：(1) 先设直线 a，b，c 的交点为 P，直线 b，c，d 的交点为 Q，证得 P与 Q实为同一点，得出结论(2) 绘出图形，帮助解答，注意平行线的性质 .3能力训练A级1 在同一平面内有 a1， a2 ， a3 ， a10 十条直线， 如果 a1/ a2 ，a2 a3 ，a3/ a4 ，a4 a5 ，a /5a ，6a 6a ， ，那么7a 与 a10 的位置关系是 _.102如图，已知 AEBD， 1130 ， 2030 ，则 C_（湖南省常德市中考试题）3如图，直线a，b 都与直线c 相交，下列命题中，能判断 ab 的条件是 _（把你认为正确的序号填在横线上） 1 2； 3 6
6、； 1 8； 5 80180 （陕西省中考试题）5 1A E a12D67231Bb 82 4C第2题图 第4题图 第3题图4. 将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一边上，则 1 2_.（山东省烟台市中考试题）5下面四个命题中正确的是 ( ) 4A相等的两个角是对顶角 B 和等于0180 的两个角互为邻补角C连结两点的最短线是过这两点的直线D两条直线相交所成 的四个角都相等，则这两条直线互相垂直（“希望杯”邀请赛试题）6下列命题两条相交直线组成的四个角相等，则这两直线垂直两条相交直线组成的四个角中，若有一个直角，则四角都相等两条直线相交，一角的两邻
7、补角相等，则这两直 线垂直两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两直线垂直其中正确的有 ( ) A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个7 如图，D HEGBC，且 D CE F，那么图中与 BFE相等的角 ( 不包括 BFE) 的个数是 ( ) A.2 B 4 C 5 D 6（山东省菏泽地区中考试题）8 如图， ABC DE FGH，AED G，点 C在 AE上，点 F 在 DG上，设与 相等的角的个数为m（不包括 a 本身），与 互补的角的个数为 n若 a ，则 mn 的值是 ( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11A D HBE D G CAB CFEF GH第7题图 第
8、8题图9 如图，已知 ABED，NCB030 ，CM平分 BCE，C NC M，求 B的度数510. 如图，已知 E是 AB，CD外一点， D BE，求证： ABC D.CE DN MA B11. 平面上有 10 条直线，无任何 3 条交于一点，要使它们出现 31 个交点，怎样安排才能办到？（吉林省竞赛试题）EA BC D12. 如图，已知 C DEF， 12ABC，求证： AB/ GF.（重庆市竞赛试题）6B 级1. 如图， A060 ，12，则 ADC的度数是 _.2如图，直线 ab，那么 x的度数是 _.（五城市联赛试题）120AaEA DxB12D3048DC第1题图B CF30b C
9、第2题图 第3题图3如图，把一个长方形纸片沿 EF折叠后，点 D，C分别落在 D ，C 的位置，若 EFB065 ，则AED _.（山东省中考试题）4如图，已知 D EBC， 2070 ，1040 ，那 EBA的度数是 _.1EC12k4A23BD l第 4 题图 第 5 题图5. 如图，直线 k l ，433 22 一3d0其中 3090 ， 1050 ，则4 最大可能的整数值是 ( ) A. 1070 B 10807 0 D 110C10906. 如图， ABC D EF，EHCD于 H，则 BAC ACE CEH等于 ( ) 0 B 270A 18000C3600D 450( 北京市竞赛
10、试题）7 如图，两直线AB，C D平行，则 1 2 3 4 5 6 ( ) 0 B. 720A 63000 D. 900C 8000（“希望杯”邀请赛试题）ABA1E23FBCHEDFC654HGD第 6题图 第 7题图8 两条直线a，b 互相平行，直线a 上顺次有 10 个点 A1，A2 ，A10，直线b 上顺次有 9 个点 B1，B2， ， B3，将 a 上每一个点与 b 上每一个点相连可得线段若没有三条线段相交于同一点，则这些线段的交点个数是 ( )A. 90 B.1620 C.6480 D.20069 如图，已知两条平行线AB，C D被直线EF所截，交点分别为G，H，P为H D上任意一
11、点，过P点的直线交 HF于 O点，求证： HOP AGF HPO.EA BC D POF810如图，在 ABC中，AB7，AC11，点 M是 BC的中点， AD是BAC的平分线， MFAD. 求 FC的长(2013 年“ 数学周报”杯竞赛试题 )A FB C D M011平面上有七条两两不平行的直线，试证：其中必有直线的交角小于 26（莫斯科八年级竞赛试题）912如图， MA1N A2，则 A1A2_.如图， MA1N A3，则 A1 A2A3_.如图， MA1N A4，则 A1 A2A3A4_.如图， MA1N A5，则 A1 A2A3A4A5_.从上述结论中你发现了什么规律？请在图，图，图
12、中选一个证明你的结论 .M A1 M MA1A1（2）如图 5，MA 1 | NA ，则 A1 A 2 A 3 A n .nA2A2A3（3）利用上述结论解决问题：如图已知 AB | CD ， ABE 和 CDE 的平分线相交于 F，A4N A3 N A2N图图 图 E 140 ，求 BFD 的度 数.MA1A2MA1AA2A3FBA3EA4N图A5A4（第 21 题）N图AnA6C DA5图10专题 24 相交线与平行线例 1 （1）40 过点 C 作 C FAB，则 BCFABC80 DCF180 140 40 ，BCD80 40 =40 .（2）90 过点 E 作 EMAB， ABC D
13、，EMC D，AEM=180 25 =155 . CEM=180 115 =65 ， E=AECEM=155 - 65 =90 .例 2 D 提示：原图可分解为 8 个基本图形 .例 3 提示：由 D FCE得， BDF=BCE，FDE=DEC，ACD E，得 DEC=ECA.例 4 过 E作 EMAB. AB于 C D，EMC D. AEC=AEM+CEM=EAB+ECD. 同理： AFC=FAB+FCD. AEC=FAB+FCD+EAF+ECF=AFC+?EAB+14+ECD=AFC+?AEC. 故AFC=?AEC.例 5 提示：先证 BDC E，再证 D FBC.例 6 （1）直线 a，
14、b，c，d 共有 1 个交点，理由如下：设直线 a，b，c 的交点为 P，直线 b，c，d 的交点为 Q. 这意味着点 P 和点 Q都是直线 b 和 c 的交点 . 而两条不同直线至多有一个交点 . 因此 P和 Q必为同一个点 . 即 4 条直线 a，b，c 和 d 相交于同一个点 . 因此这 4 条直线只有一个交点 .(2) 不妨设（ 1）中交点为 O. 因为作的第 5 条直线 e 与（1）中的直线 d 平行，所以直线 e 和直线 d没有公共点，因此这些 e 不过点 O. 而直线 a，b，c 与直线 e 必然都相交 .如图所示 .设直线 e 与直线 a，b，c 分别相交于点 A，B，C. 这
15、时有 A，B，C，O共四个不同的点 . 可以连出 OA，OB，OC，AB，AC，BC共 6 条不同的线段 .A级1.a / a10 2.20 3. 4.90 5.D 6.B 7.C 8.D1提示： m=5，n=6，m+n=5+6=11. 9.60 10. 提示：过点 E作 E FAB. 11 如图所示 .12. 作 C KFG，延长 GF，CD交于 H点，则1+2=ABC，故 ABC+BCK=180 ，即C KAB，ABGF.11B级1.1202.72 3.50 4.30 5.C 提 示 ： 2=50+ d ， 3=50+2d ， 4=50+3d ， 又 3=50+2 d90， d20， 4=
16、50+3 d110. 故 4 的最大整数值为109.6.B 7.D8.B 提示：由题意知每一个交点由 a 上两点和 b 上两点所确定 . 在 a 上取两点有 种情况，在 b 上取两点有 种情况，故交点个数为45*36=1620 个.9. 提示：过点 O作 CD的平行线.10. 如图，设N是 AC的中点，连接 MN，则MNAB.又 M FAD， FMN=BAD=DAC=MFN.FN=MN=?AB.因此 FC=FN+N C=?AB+12AC=?( AB+AC）=?（7+11）=9.11. 提示：在平面上任取一点 O，将已知的七条直线平移过点 O，它们把以 O为圆心的圆周角分成 14个彼此相邻的角 a?,a ?, ， 。其中的每一个都和原来某两条直线交角中的一个相等，假设12.(1)180 360 540 720 证明略 . （2）（ n-1 ）180（3）过F作 FGAB，则ABFGC D.则 BFD=?（ ABE+CDE），又 ABE+CDE+E=360，得 ABE+CDE=220，故 BFD=11012
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