全国各地中考数学解析汇编四十五章开放探索型问题2

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1、四十五章 开放探索型问题12. (2012山东日照，12，3分)如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3；依次作下去，则第n个正方形AnBnCnDn的边长是（ ）OA1B1C1D1ABA2B2C2D2A. B. C. D. 解析：设正方形A1B1C1D1的边长为x，则AC1= C1D1= D1 B =x,故3x=1，x=；同理，正方形A2B2C2D2的边长为，故可猜想第n个正方形AnBnCnDn的边长是.解答：选B点评：本题是规律探究性问题，解

2、题时先从较简单的特例入手，从中探究出规律，再用得到的规律解答问题即可.本题考查了等腰直角三角形的性质以及学生分析问题的能力.解题的关键是求正方形A1B1C1D1的边长.（2012河北省25,10分）25、（本小题满分10分）如图14，A（-5,0），B(-3,0)，点C在y轴的正半轴上，CBO=45，CDAB，CDA=90，点P从点Q（4,0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t秒（1）求点C的坐标；（2）当BCP= 15时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的P随点P的运动而变化，当P与四边形ABCD的边（或边所在直线）相切时，求t的值。【解析】在直角三角形BCO中，

3、CBO=45OB=3，可得OC=3，因此点C的坐标为（0,3）；（2）BCP= 15，只是提及到了角的大小，没有说明点P的位置，因此分两种情况考虑：点P在点B的左侧和右侧；（3）P与四边形ABCD的边（或边所在直线）相切，而四边形有四条边，肯定不能与AO相切，所以要分三种情况考虑。【答案】解（1）BCO=CBO=45 OC=OB=3又点C在y轴的正半轴上， 点C的坐标为（0,3）2分（2）当点P在点B右侧时，如图2.若BCP=15，得PCO=30，故OP=OCtan30=此时4分当点P在点B左侧时，如图3，由. BCP=15得PCO=60故PO=OCtan60=3， 此时t=4+3t的值为4+

4、或4+36分（3）由题意知，若P与四边形ABCD的边都相切，有以下三种情况：当P与BC相切于点C时，有BCP=90，从而OCP=45，得到OP=3，此时t=17分当P与CD相切于点C时，有PCCD，即点P与点O重合，此时t=48分当P与AD相切时，由题意，DAO=90， 点A为切点，如图4，于是，解得t=5.6t的值为1或4或5.60分【点评】本题主要是分情况讨论和解直角三角形的应用，在今后的教学中多渗透考虑问题要全面（不重不漏），培养学生优秀的学习品质。有一定难度。（2012河北省26,12分）26、（本小题满分12分）如图15-1和图15-2，在ABC中，AB=13，BC=14，。探究 如

5、图15-1，AHBC于点H，则AH=_，AC=_，ABC的面积SABC=_。拓展 如图15-2，点D在AC上（可以与点A、C重合），分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足为E、F，设BD=x，AE=m，CF=n，（当点D与点A重合时，我们认为SABC=0）（1）用含x，m或n的代数式表示SABD及SCBD；（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围。发现 请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值。【解析】探究 根据三角函数和勾股定理可以很快求出AH

6、和AC 的值，进而求出三角形的面积。拓展（1）利用所给数据，写出表示两个三角形面积的代数式；（2）利用（1）中的式子，用x表示m和n，再求（m+n）的值。点D在AC上，BD的长度可以认为是点D到AC的距离，所以当BDAC时，x最小，是三角形AC边上的高，最大值是BC的长度，容易求出的最大值和最小值；（3）根据垂线段最短和轴对称可知，点D唯一时，只能是点D是垂足时和点D在点A关于垂足的对称点的下方时两种情况。发现 满足条件的直线就是AC所在直线，A、B、C三点到这条直线的距离之和的最小值就是（m+n）的最小值。【答案】解：探究12 15 843分拓展（1）由三角形面积公式得，4分（2）由（1）得

7、， m+n=5分由于AC边上的高为 x的取值范围为（m+n）随x的增大而减小， 当x=时，（m+n）的最大值为15；7分当x=14时，（m+n）的最小值为12. 8分（3）x的取值范围是或10分发现AC所在的直线11分最小值为12分【点评】此题为探究题型，前半部分难度较小，在确定x的取值范围时，学生不容易想到；第（3）中x的取值范围也不容易想到，是本题的难点。探究就是上边知识点的一个应用，相对来说简单一些。整体来说，此题难度偏难，有一定挑战性。24. （2012湖北省恩施市，题号24 分值12）如图12，已知抛物线y-x2bx与一直线相交于A（-1,0），C（2,3）两点，与y轴交与点N。其顶

8、点为D。（1求抛物线及直线A、C的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上任意一点，过E作EFBD，交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若点P是该抛物线上位于直线AC上方的一动点，求APC面积的最大值【解析】（1）直接将A、C两点的坐标代入y-x2bx和y=kx+b即可。（2）本题实质是在直线x=3上找一点M使MN+MD的值最小。作N关于x=3的对称点，连接D N1，求直线D N1和x=3的交点可得m的值；（3）BD、EF是平行四边形的邻

9、边，分点E在线段AC和线段AC（或CA）延长线上两种可能来考虑。BD长可求，EF=BD，点F和点E横坐标相同，点F纵坐标等于点E纵坐标加（或减）BD长度，设点E（x,y），则点F坐标（x,y+3）或(x,y-3),代入抛物线表达式可求解；（4）作CQx轴于Q，作PGx轴，交AC于H，则点H和点P横坐标相同，设二者横坐标为x，根据直线与抛物线表达式可用分别表示出相应纵坐标，进而用x表示PH的长度，根据PAC面积等于PHAQ（AQ为定值）可讨论其最值。【答案】解：设直线AC的解析式为:y=kx+n，点 A（-1,0），C（2,3）在AC上，可得： 解得:k=1,n=1AC的解析式为：y=x+1;

10、把A（-1,0），C（2,3）y-x2bx解得b=2,c=3,抛物线的解析式为y= -x22x3，N（0,3）D（1,4）.(2) 作N关于x=3的对称点N1，连接DN1，则N1（6,3）.设直线D N1的解析式为y=px+q，则有：，p=，q=,D N1的解析式y=x+，当M（3，m）在D N1上时，MN+MD的值最小，m=3+=；（3）易知B(1,2)，又D（1,4）BD=2.因为点E在AC上，设点E（x,x+1）,1当点E在线段AC上时，点F（x.x+3），代入y= -x22x3，得x+3=-x22x3，解得x=0或=1（不符合题意舍去），E；2当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F

11、（x.x-1），代入y= -x22x3，得x-1=-x22x3，解得x=，所以E（,）E(,)综上所述，当点E（0, 1）、（,）或(,)时以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形；（4）作CQx轴于Q，作PGx轴，交AC于H。设H（x,x+1），则P（x, -x22x3）,所以PH=（-x22x3）-（x+1）= -x2+ x+2，又SPAB=SPAH+ SPBH=PHAQ=（-x2+ x+2）3=（x-）2+，APC面积的最大值是。的交点可得m的值；【点评】本题是存在性探索性问题，在解决这一类存在性探索问题时主要应注意：首先假定这个数学对象已经存在，根据数形结合的思想，将其构造出来；

12、然后再根据已知条件与有关性质一步步地进行探索，如果探索出与条件相符的结果，就肯定存在，否则不存在，探索过程就是理由.本题主要考查了用待定系数法求解析式、勾股定理、解方程组等，用到的数学数学有函数思想、方程思想、数形结合思想、对称思想、分类讨论思想等，题目综合性强、难度大，但是考查的知识面较广，是一个区分度很大题目。28（2012湖南衡阳市，28，10）如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动（点P异于点O）（1）求此抛物线的解析式（2）过点P作CB所在直线

13、的垂线，垂足为点R，求证：PF=PR；是否存在点P，使得PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断RSF的形状解析：（1）根据题意能判断出点O是矩形ABCD的对角线交点，因此D、B关于原点对称，A、B关于x轴对称，得到A、D的坐标后，利用待定系数法可确定抛物线的解析式（2）首先根据抛物线的解析式，用一个未知数表示出点P的坐标，然后表示出PF、RF的长，两者进行比较即可得证；首先表示RF的长，若PFR为等边三角形，则满足PF=PR=FR，列式求解即可；根据的思路，不难看出QF=QS，若连接SF、RF，那

14、么QSF、PRF都是等腰三角形，先用SQF、RPF表示出DFS、RFP的和，用180减去这个和值即可判断出RSF的形状答案：解：（1）抛物线的顶点为坐标原点，A、D关于抛物线的对称轴对称；E是AB的中点，O是矩形ABCD对角线的交点，又B（2，1）A（2，1）、D（2，1）；由于抛物线的顶点为（0，0），可设其解析式为：y=ax2，则有：4a=1，a=抛物线的解析式为：y=x2（2）证明：由抛物线的解析式知：P（a，a2），而R（a，1）、F（0，1），则：则：PF=a2+1，PR=a2+1PF=PR由得：RF=；若PFR为等边三角形，则RF=PF=FR，得：=a2+1，即：a4a23=0，得

15、：a2=4（舍去），a2=12；a=2，a2=3；存在符合条件的P点，坐标为（2，3）、（2，3）同可证得：QF=QS；在等腰SQF中，1=（180SQF）；同理，在等腰RPF中，2=（180RPF）；QSBC、PRBC，QSPR，SQP+RPF=1801+2=（360SQFRPF）=90SFR=18012=90，即SFR是直角三角形点评：该题考查了二次函数的性质及解析式的确定、矩形的性质、特殊三角形的判定等知识，综合性较强在答案题目时，要注意数形结合，并灵活应用前面小题中证得的结论27. （2012贵州省毕节市，27，16分）如图，直线1经过点A（-1，0），直线2经过点B(3,0), 1、

16、2均为与轴交于点C(0,),抛物线经过A、B、C三点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴依次与轴交于点D、与2交于点E、与抛物线交于点F、与1交于点G。求证：DE=EF=FG;(3)若12于轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使PCG为等腰三角形，请写出符合条件的点P的坐标，并简述理由。解析：（1）已知A、B、C三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）D、E、F、G四点均在对称轴x=1上，只要分别求出其坐标，就可以得到线段DE、EF、FG的长度D是对称轴与x轴交点，F是抛物线顶点，其坐标易求；E是对称轴与直线l2交点，需要求出l2的解析式，G是对称轴与l1的交点，需要

17、求出l1的解析式，而A、B、C三点坐标已知，所以l1、l2的解析式可以用待定系数法求出至此本问解决；（3）PCG为等腰三角形，需要分三种情况讨论如解答图所示，在解答过程中，充分注意到ECG为含30度角的直角三角形，P1CG为等边三角形，分别利用其几何性质，则本问不难解决解答：解（1）依题意，得. ， 解得抛物线的函数表达式是y=x2-x-;（2）直线l1经过点A（-1，0），C（0，-），直线l1的函数表达式为y1=-x-.直线l2经过点B（3，0），C（0-），直线l2的函数表达式为y2=x-.又抛物线的对称轴是x=1，点D的坐标为（1，0），点E的坐标为（1，-），点F的坐标为（1，-），

18、点G的坐标为（1，-2）.DE=EF=FG=；（3）P点的坐标为：P1（2，-），P2（1，）.理由：分三种情况：以G点为圆心，GC长为半径作弧，交抛物线于点C和点P1，连结CP1、GP1，所以GC=GP1.由等腰三角形的三线合一性质（或抛物线的对称性）可知点P1与点C关于直线x=1对称，所以点P1的坐标为（2，-）；以点C为圆心，CG长为半径作弧，因为CGF=30，所以CGP1=60，即CGP1是等边三角形，又因为AC=CG=2，所以作出的弧与抛物线交于点A和点P1，但A、C、G在同一条直线上，不能组成三角形.作线段CG的垂直平分线，因为CGP1是等边三角形，所以P1点在线段CG的垂直平分线

19、上；连接CF，由于l1l2于点C，F是EG的中点，所以FC=FG，即F点也在线段CG的垂直平分线上，所以P2点与F点重合，即P2点的坐标是（1，-）.综上所述，点P的坐标是P1（2，-），P2（1，-）.点评：作为中考压轴题，本题考查的知识点比较多，包括二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数、一次函数）解析式、等腰三角形、等边三角形以及勾股定理等难点在于第（3）问，需要针对等腰三角形PCG的三种可能情况分别进行讨论，在解题过程中，需要充分挖掘并利用题意隐含的条件（例如直角三角形、等边三角形），这样可以简化解答过程29(2012江苏苏州，29，12分)如图，已知抛物线y=x2（b+1）

20、x+（b是实数且b2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C（1）点B的坐标为（b，0），点C的坐标为（0，）（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由分析：（1）令y=0，即y=x2（b+1）x+=0，解关于x的一元二次方程即可求出A，B

21、横坐标，令x=0，求出y的值即C的纵坐标；（2）存在，先假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形设点P的坐标为（x，y），连接OP，过P作PDx轴，PEy轴，垂足分别为D、E，利用已知条件证明PECPDB，进而求出x和y的值，从而求出P的坐标；（3）存在，假设存在这样的点Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意两个三角形均相似，有条件可知：要使QOA与QAB相似，只能QAO=BAQ=90，即QAx轴；要使QOA与OQC相似，只能QCO=90或OQC=90；再分别讨论求出满足题意Q的坐标即可解答：解：（1）令y=0，即y=x2（b+1）x+=

22、0，解得：x=1或b，b是实数且b2，点A位于点B的左侧，点B的坐标为（b，0），令x=0，解得：y=，点C的坐标为（0，），故答案为：（b，0），（0，）；（2）存在，假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形设点P的坐标为（x，y），连接OP则S四边形POCB=SPCO+SPOB=x+by=2b，x+4y=16过P作PDx轴，PEy轴，垂足分别为D、E，PEO=EOD=ODP=90四边形PEOD是矩形EPO=90EPC=DPBPECPDB，PE=PD，即x=y由解得由PECPDB得EC=DB，即=b，解得b=2符合题意P的坐标为（，）；

23、（3）假设存在这样的点Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意两个三角形均相似QAB=AOQ+AQO，QABAOQ，QABAQO要使QOA与QAB相似，只能QAO=BAQ=90，即QAx轴b2，ABOA，Q0AABQ只能AOQ=AQB此时OQB=90，由QAx轴知QAy轴COQ=OQA要使QOA与OQC相似，只能QCO=90或OQC=90（I）当OCQ=90时，CQOQOAAQ=CO=由AQ=AQ2=OAAB得：（）2=b1解得：b=84b2，b=8+4点Q的坐标是（1，2+）（II）当OQC=90时，QCOQOA，=，即OQ2=OCAQ又OQ2=OAOB，OCAQ=OAOB即AQ=1b解得：A

24、Q=4，此时b=172符合题意，点Q的坐标是（1，4）综上可知，存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得QCO，QOA和QAB中的任意两个三角形均相似专项十一 开放探索型问题27.（2012连云港，27，12分）（本题满分12分）已知梯形ABCD,ADBC，ABBC，AD=1，AB=2，BC=3.问题1：如图1，P为AB边上一点，以PD、PC为边做平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？如图2，P为AB边上任意一点，以PD、PC为边做平行四边形PCQD，请问对角线PQ，的长是否存在最小值？若果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由。 问题3：P为AB边上任意一点，延长

25、PD到E，使DE=PD，以PE、PC为边做平行四边形PCQE，请探究对角线PQ，的长是否也存在最小值？若果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由。问题4：如图3，P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA,(n为常数)以PE、PB为边做平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？若果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由。【解析】（1）只要看DPC能否为90，在在RtDPC中，由勾股定理列出方程，根据方程是否有解确定对角线PQ与DC能不能相等。（2）、（3）（4）可找PQ最小时点P的位置，利用全等三角形、相似三角形列方程求线段PQ的长。【答案】（1） 问题1：

26、因为四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形。所以DPC=90，因为AD=1，AB=2，BC=3.所以DC=2，设PB=x,则AP=2x,在RtDPC中，PD2+PC2=DC2，即x2+32+ (2x)2+1=8,化简得x22x+3=0,因为=（2）2413=80，方程无解，所以对角线PQ与DC不可能相等。问题2：如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，所以点G是的中点，作QHBC，交BC的延长线于H。因为ADBC，所以ADC=DCH，即ADP+PDG=DCQ+QCH，因为PDCQ，所以PDC=DCQ，所以ADP=QCH，又PD=CQ，所

27、以RtADPRtHCQ,所以AD=HC。因为AD=1，BC=3，所以BH=4，所以当PQAB时，PQ的长最小，即为4.问题3：如图3，设PQ与DC相较于点G。因为PECQ，PD=DE,所以，所以G是DC上一定点。作QHBC，交BC的延长线于H，同理可证ADP=QCH，所以RtADPRtHCQ即，所以CH=2.所以BH=BC+CH=3+2=5，所以当PQAB时，PQ的长最小，即为5.问题4：存在最小值，最小值为（n+4）。（注：各题如有其它解法，只要正确，均可参照给分）【点评】本题是一个动态几何题，此题是一道综合性较强的题目，主要考查学生的图感，利用点P的运动过程，确定PQ最小时，P所在线段的位

28、置，考察到的到的知识点比较多，需要同学们利用全等三角形和相似三角形的性质确定PQ的最小值是否存在本题的亮点是由有三角形全等到三角形相似而引出一般情况28.（2012江苏泰州市，28，本题满分12分）如图，已知一次函数y1=kx+b的图像与x轴相交于点A，与反比例函数y2=的图像相交于B（-1,5）、C（）两点.点P（m，n）是一次函数y1=kx+b的图像上的动点.（1）求k、b的值；（2）设-1m，过点P作x轴的平行线与函数y2=的图像相交于点D，试问PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设m=1-a，如果在两个实数m与n之间（不包

29、括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围. （第28题图）【解析】（1）先将B点坐标代入y2，求出c，从而确定y2的解析式，然后再将C点代入求出d，最后将B、C代入y1即可（2）先确定PAD的面积的解析式，如何再利用二次函数的最值解决，从而得到P点坐标（3）分情况讨论列出不等式解决即可【答案】（1）将B点坐标代入y2，得：c=5，将点C横坐标代入，得d=-2，将B、C代入直线解析式，求得：k=-2，b=3；（2）令y1=0，x=，A（，0），由题意得，点P在线段AB上运动（不含A、B），设点P（，n），因为DP平行于x轴，所以yD=yP=n，所以D（-，n），所以S=PD yP=（+）5

30、=-（n-）2+，而-2m+3=n，得：0n5，所以由S关于n的函数解析式所对应的抛物线开口方向决定，当n=，即P（，），S最大=.（3）由已知P（1-a，2a+1），易知， mn，1-a2a+1，a0；若a0，m1n，由题意m0，n2，解出不等式组的解集：0a；若a0，n1m，由题意n0，m2，解出：a0；综上，A的取值范围是a0或0a.【点评】本题主要考查反比例函数、一次函数的知识，求函数的解析式通常采用“待定系数法”，此题的关键在于分清顺序逐步求解，做题过程中要特别注意线段长度与坐标之间的转换，尤其是符号的变化，还考查了数形结合、分类讨论等数学思想方法以及分析问题、解决问题的综合能力.2

31、3. （2012浙江丽水10分，23题）（本题10分）在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OBOA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC.（1）如图1，当点A的横坐标为_时，矩形AOBC是正方形；（2）如图2，当点A的横坐标为-时，求点B的坐标；将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=-x2，试判断抛物线y=-x2经过平移变换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由.【解析】：（1）若矩形AOBC是正方形，则AOC=BOC=45，即点A在象限角平分线上，设点A坐标为（x，-x），则有-x=x2，x=

32、0（舍去）或x=-1.（2）过点A作AEx轴于点E，过点B作BFx轴于点F.求出OE，AE的长，再由AEOOFB得，进而借助方程求出B点坐标；过点C作CGGF于点G，先求出C点坐标，再利用待定系数法求出经过A、B两点的抛物线的解析式，判断出点C在过A、B两点的抛物线上.先将抛物线化成顶点式，进而根据抛物线平移规律说出变换过程.【解】：（1）-1.（2）过点A作AEx轴于点E，过点B作BFx轴于点F.当x=-时，y=（-）2=，即OE=，AE=，由AEOOFB，得：.设OF=t，则BF=2t，t2=2t，解得t1=0（舍去），t2=2.B（2，4）.过点C作CGGF于点G，AEOBGC，CG=O

33、E=，BG=AE=.xc=2-=，yc=4+=，点C（，）.设过A、B两点的抛物线解析式为y=-x2+bx+c，由题意得解得经过A、B两点的抛物线解析式为y=-x2+3x+2.当x=时，y=-（）2+3+2=，所以点C也在抛物线上.故经过A、B、C三点的抛物线解析式为y=x2+3x+2=-（x-）2+.平移方案：先将抛物线y=-x2向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线y=-（x-）2+.【点评】：本题是一道几何与代数的综合题，综合考查正方形、矩形、全等三角形、相似三角形、抛物线、一元二次方程等知识，是一道综合性较强的试题，题目有一定的难度.26（2012四川内江，26，12分）已知ABC

34、为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使DAF60，连接CF（1）如图131，当点D在边BC上时，求证：BDCF，ACCFCD；（2）如图132，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论ACCFCD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图133，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系ABCDEF图131ABCDEF图132ABCD图133【解析】（1）根据等边三角形和菱形的性质发现等线段、等角，证明ABDACF

35、解决（2）图形直观，CF最长，显然（1）中结论不再成立，这时模仿（1）中全等三角形的证明思路，看同样字母的两个三角形是否仍然全等，进而解决问题（3）总结（1）（2）发现那三条线段之间就是最长的一条等于较短的两条线段之和，可以画出图形直观感受或证明发现【答案】解：（1）ABC是等边三角形，A BAC，BAC60四边形ADEF为菱形，ADAFBACDAF60，BACDACDAFDAC，即BADCAFABDACFBDCFACBCBDCD，且由BDCF，ACCFCD（2）不成立存在的数量关系为：CFACCD理由：由（1）同理可得ABDACF，BDCFBDBCCDACCD，CFACCD（3）CDACCF

36、补全图形133ABCD图133FE【点评】此题属于几何中的结论开放题，并具有探究性，让学生在图形变化过程中感受恒不变的数学现象，渗透了运动与变化的数学思想，体现了几何图形的直观性解答此类题的关键是顺着题目铺设好的台阶一步一步走，顺着前题提供的思考方向“顺藤摸瓜”，求同存异，大胆猜想、探究26. (2012山东省临沂市，26，13分）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转1200至OB位置，（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由。

37、【解析】（1）作BCx轴，垂足为C ，由旋转的定义，可得BCO=900，BOC=600，OB=4，应用三角函数可直接求得点B 的坐标；（2）根据（1）的结论，结合图形，可得点O（0,0），点A（4,0），由待定系数法可求得抛物线解析式；（3）以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形,存在三种形式，即OP=OB,PO=PB,BO=BP,分别讨论三种情况，成立的就存在点P；解：（1）如图，过点B作BCx轴，垂足为C ，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转1200至OB位置，BOC=600，OB=4，BC=4sin600=4=,OC=4cos600=4=2,点B在第三象限，点B（-2，-）；（2）由

38、函数图象得，抛物线通过（-2，-），（0,0），（4,0）三点，设抛物线解析式为y=ax2+bx,由待定系数法得，解得，此抛物线解析式为y=.(3)存在。理由：如图，抛物线的对称轴是x=,解得，直线与x轴的交点为D。设点P（2，y），若OP=OB,则22+|y|2=42,解得y=,即P点坐标为（2，）或（2，-），又点B（-2，-），当P点为（2，）时，点P、O、B共线，不合题意，舍去，故点P坐标为（2，-）；若BO=BP,则42+|y+|2=42,解得y=,点P坐标为（2，-）；若PO=PB,则22+|y|2=42+|y+|2，解得y=,点P坐标为（2，-）；综上所述，符合条件的点P只有一个

39、，其坐标为（2，-）。【点评】：本题考查了二次函数的综合运用，本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法、勾股定理的应用、等腰三角形的判定等知识点主要考查学生数形结合的数学思想方法24（2012浙江省义乌市，24，12分）如图1,已知直线y=kx与抛物线 交于点A（3，6）.（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM, 交x轴于点M（点M、O不重合）,交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是,求出这个定值,如果不是,说明理由；（3）如图2,若点B为抛物线上

40、对称轴右侧的点,点E在线段OA上（与点O、A不重合）,点D（m，0）是x轴正半轴上的动点,且满足BAE=BED=AOD.继续探究：m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个？OxyABED图2图1AxyPQMNO24【解析】（1）将点A代入y=kx可求出k的值。再由勾股定理求出OA的长。（2）首先讨论QH与QM重合时易知=2；当QH与QM不重合时，易知QHMQGN， （3）延长AB交x轴于点F，过点F作FCOA于点C，过点A作ARx轴于点R，易知AORFOC，即，可求得OF的长即可求出F的坐标。设点B（x，），过点B作BKAR于点K，则AKBARF，可求B的坐标，易求得AB的长。也可

41、设出直线AF，将A、F代入求其解析式，然后将其与抛物线联立，求出B的坐标，进而求AB的长。再易得ABEOED，可求抛物线的顶点坐标，再画出几何关系图，根据不同情况求出E的个数解：（1）把点A（3,6）代入y=kx 得6=3k ， k=2 ，y=2x 2分图1AxyPQMNOGHOA= 3分（2）是一个定值 ，理由如下：过点Q作QGy轴于点G，QHx轴于点H .当QH与QM重合时，显然QG与QN重合,此时；当QH与QM不重合时，QNQM,QGQH不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上MQH =GQN 又QHM=QGN=90QHMQGN 5分当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得 7分（3

42、）延长AB交x轴于点F，过点F作FCOA于点C，过点A作ARx轴于点RAOD=BAE AF=OF OC=AC=OA= ARO=FCO=90 AOR=FOCOxyABEDFRCKAORFOC OF= 点F（，0）设点B（x，），过点B作BKAR于点K，则AKBARF 即 解得x1=6 ,x2=3（舍去）点B(6,2) BK=63=3 AK=62=4 AB=5 8分(求AB也可采用下面的方法)设直线AF为y=kxb（k0） 把点A（3,6），点F（，0）代入得k=，b=10 （舍去） B（6,2）AB=5 8分(其它方法求出AB的长酌情给分)在ABE与OED中BAE=BED ABEAEB=DEOA

43、EB ABE=DEOBAE=EOD ABEOED 9分设OE=x，则AE=x （） 由ABEOED得 （）10分顶点为（，），xmO如图，当时，OE=x=,此时E点有1个；当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个.当时，E点只有1个 11分当时，E点有2个 12分【点评】本题综合考查了反比例函数的性质、相似三角形的性质，抛物线的性质、一次函数的性质，是一道对学生能力要求较高的题26(2012重庆，26，12分)已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC，B=90,AD=2,BC=6,AB=3。E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧

44、(l）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；(2）将（l）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形BEFG，当点E与点C重合时停止平移设平移的距离为t，正方形BEFG的边EF与AC交于点M，连接BD,BM，DM，是否存在这样的t，使BDM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(3）在（2）问的平移过程中，设正方形BEFG与ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围解析：用t表示有关线段的长度，是解决本题的关键。答案：（1）如答图1所示，设BE长为x，AGFABC ，x=2,即BE=2 (2)如图2

45、，由题意知，BB=t,DH=3,BH=2,CE=4-t, CEMABC, ME=2-，根据勾股定理得：BM=，BD=t-4t+13,DM=+t+1分三种情况讨论：若DBM=90,则有BM+ BD= DM，求得t=,若BMD=90,则有BM+ DM= BD，求得t=-3,若BDM=90则有BD+ DM= BM，无解 （3）当0t时,s=t 当t2时,s=-t+t-当2t时,s=-t+2t-当t4时,s=-t+点评：解决本题的关键是会用t表示出各个线段的长度，然后用勾股定理就可求出答案。24. （2012浙江丽水12分，24题）（本题12分）在ABC中，ABC=45，tanACB=，如图，把ABC

46、的一边放置在x轴上，有OB=14，OC=，AC与y轴交于点E.（1）求AC所在直线的函数解析式；（2）过点O作OGAC，垂足为G，求OEG的面积；（3）已知点F（10，0），在ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】：（1）解直角OCE求出E点坐标，再利用待定系数法求直线的解析式.（2）解直角三角形OCE，求出EG，OG，利用三角形面积公式即可求面积；（3）应分类加以讨论.解：（1）在RtOCE中，OE=OCtanOCE=，点E（0，2）.设直线AC的函数解析式为

47、y=kx+2，有k+2=0，解得k=-，直线AC的函数解析式为y=-x+2.（2）方法1：在RtOGE中，tanEOG=tanOCE=，设EG=3t，OG=5t，OE=t，2=t，得t=2.故EG=6，OG=10.SOEG=OGEG=106=30.方法2：在RtOCE中，tanOCE=，sinOCE=.OG=OCsinOCE=10.在RtOEG中，EG=OGtanOCE=10=6，SOEG=OGEG=106=30.（3）当点Q在AC上时，点Q即为点G，如图1，作FOQ的平分线交CE于点P1，由OP1FOP1Q，则有P1Fx轴，由于点P1在直线AC上，当x=10时，y=-10+2=2-6.点P1

48、（10，2-6）.当点Q在AB上时，如图2，有OQ=OF，作FOQ的角平分线交CE于点P2，过点Q作QHOB于点H，设OH=a，则BH=QH=14-a，在RtOQH中，a2+（14-a）2=100，解得a1=6，a2=8.Q（-6,8）或Q（-8,6），当Q（-6,8）时，连接QF交OP2于点M，则点M（2,4）.此时直线OM的函数解析式y=2x.解得点P2（，）.当Q（-8,6）时，同理可求得P3（，）.如图3，有QP4OF，QP4=OF=10，设点P4的横坐标为x，则点Q的横坐标为（x-10）.yQ=yP，直线AB的函数解析式y=x+14.（x-10）+14=-x+2.解得x=，可得y=.

49、点P4（，）.当Q在BC边上时，如图4，OQ=OF=10，点P5在E点，点P5（0，2）.综上所述，满足条件的点P的坐标为：P1（10，2-6），点P2（，），P3（，），P4（，），P5（0，2）.【点评】：本题是一道综合性大题，要注意灵活应用所有的知识点，另外在考虑问题时要全面，不要丢解.第（3）小题中，共四种情况，易出现丢解现象.25. （2012广州市，16， 3分）（本小题满分10分）如图10，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CEAB于E，设ABC=（）（1）当=60时，求CE的长；（2）当时，是否存在正整数k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；

50、若不存在，请说明理由。连接CF，当取最大时，求tanDCF的值。【解析】（2）可以按照k等于1、2、3等正整数时，把EFD分为几等分，从而确定k的值是否存在。（3）找出变量BE，找出的关于自变量的函数关系式，计算出取得最大值时，得到自变量BE的值，计算tanDCF的值。【答案】解：（1）如果ABC=60，在RtABC中，CE=BCsin60=10=5（2）取BC的中点G，连接FG，CF，则AF=BG=DF=CGAFBG,FDCG四边形ABGF，四边形FGCD都是平行四边形又AB=5，BC=10，AB=BG=FG=CG=5，四边形ABGF，四边形FGCD都是菱形3=4，ABFGABFG1=2设G

51、F交CE于M则MGBEEM=MCBECEGMCEFM垂直平分CEFE=FC2=3=4=1EFD=3AEFk=3设BE=x，则AE=5-x过点F作AB的垂线，垂足为N，则N=BEC=90AFBGNAF=BNAFEBCAN=，FN=CEEN=AE+AN=5-x+=在RtEBC中，在RtNEF中，=y=+ =-10当时，取最大值。FN=，NE=tanDCF=tanNEF=。【点评】第（2）问转化为把EFD分为k等分，证明其中的一份等于AEF的问题。确定k的值。第（3）关键是列出二次函数，计算当取得最大值时，确定BE的长，也就是确定点E的位置，把DCF放在直角三角形中求其正切值。25（2012江苏盐城

52、，25，10分）如图所示，已知A、B为直线上两点，点C为直线上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1于点D1，过点E作EE1于点E1（1）如图，当点E恰好在直线的上方时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB（2）在图中，当D、E两点都在直线的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由（3）如图，当点E在直线的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系（不需证明）第25题图【解析】本题考查了正方形和全等三角形的判定和性质利用两三角形全等后的对应边相等与对应角相等,是解决本题的关键（1）

53、图是特殊位置，直接证明三角形全等解决；（2）先猜想三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，然后根据图启示，构造两对全等三角形证明.（3）类比归纳、猜想出结论.【答案】（1）四边形CADF和四边形CBEG都是正方形，且DD1，DAC=ABC=DD1A=900，又ADD1+DAD1=900，而DAD1+ABC=900，ADD1=ABC，在RtDD1A和在RtBEE1中，ABC=DD1A，ADD1=BAC，AD=AC，DD1ABEE1，DD1=AB(2)AB=DD1+EE1理由如下：过C作CMAB于M，易得：DD1AACM，DD1=AM，同理：BCMEBE1，EE1=BM，AB=AM+BM= D

54、D1+EE1(3)AB=DD1-EE1 【点评】本题是对平面几何推理证明的考查，证明两条线段相等或两角相等，常用的方法就是先证得三角形全等，利用全等形的性质，推出结论，考查了同学们从特殊到一般的推理过程.（2012四川成都，28，l2分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 (为常数)的图象与x轴交于点A(，0)，与y轴交于点C以直线x=1为对称轴的抛物线 ( 为常数，且0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B （1）求的值及抛物线的函数表达式； （2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？

55、若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由； （3）若P是抛物线对称轴上使ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于，两点，试探究 是否为定值，并写出探究过程解析：第（1）小题可用待定系数法进行解决；对于第（2）小题“存在”问题，若存在要指出，若不存在要说明原因。答案：(1)一次函数经过点A(，0)，则C的坐标为（0，）二次函数经过点A（-3,0）、点C（0，），且以直线x=1为对称轴则点B的坐标为（5,0）解，得二次函数为（2）存在根据题意，FEAC要使ACEF为平行四边形则CEAFE在抛物线上E是C关于直线x=1的对称点，则E点的坐标

56、为（2，）EF（3）要使ACP的周长取得最小值，即为AP+CP最小E是C关于直线x=1对称点，连接AE交对称轴于点P，则PE=CP此时，ACP的周长取得最小值。如图所示，CE交x=1于点G，x=1交x轴于H则点P的坐标为（1,3）设过点P的直线的直线的解析式为则则=不是定值。EPM1M2点评：在本题中，第一小题考查了是知识的灵活应用能力和运算能力，第二小题是探究题，需要同学们进行细心地观察、大胆地猜测、灵活地验证。28（2012四川内江，28，12分）如图14，已知点A（1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且ACB90，抛物线yax2bxc经过A、B、C三点，其顶点为M.（1）求抛物线yax2bxc的解析式；（2）试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；（3）在抛物线上是否存在点N，使得SBCN4？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由xMyOABC图14【解析】（1）根据ACB90及坐标系中的横、纵轴垂直关系，可证得AOCCOB，进而得到OC2OAOB，求出OC长得到点C的坐标（2）猜测是相切的位置关系以AB为直径的圆的圆心是AB的中点，不妨设为点E，连接EC，EM，证得EM2CE2CM2即可