高中数学人教A版必修四教学案：1.6 三角函数模型的简单应用 含答案

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1、20192019 届数学人教版精品资料届数学人教版精品资料讲一讲1单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离 s(单位：cm)和时间 t(单位：s)的函数关系式为 s6sin2t6 .(1)作出函数的图象；(2)当单摆开始摆动(t0)时，离开平衡位置的距离是多少？(3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？(4)单摆来回摆动一次需多长时间？尝试解答(1)利用“五点法”可作出其图象(2)因为当 t0 时，s6sin63，所以此时离开平衡位置 3 cm.(3)离开平衡位置 6 cm.(4)因为 T221，所以单摆来回摆动一次所需的时间为 1 s.三角函数在物理中的应用三角函数模型在物理中

2、的应用主要体现在简谐运动中， 其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，解决这类问题时尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法练一练1交流电的电压 E(单位：V)与时间 t(单位：s)的关系可用 E220 3sin100t6 来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间解：(1)当 t0 时，E110 3(V)，即开始时的电压为 110 3 V.(2)T2100150(s)，即时间间隔为 0.02 s.(3)电压的最大值为 220 3 V，当 100t62，即 t1300s 时第一次取得最大值讲一讲2心脏

3、跳动时，血压在增加或减少血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数 120/80 mmHg 为标准值设某人的血压满足函数式 p(t)11525sin 160t，其中 p(t)为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数 p(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)画出函数 p(t)的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数尝试解答(1)由于160，代入周期公式 T2|，可得 T2160180(min)，所以函数 p(t)的周期为180min.(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率 f1T80(次)(3)列表：t01320

4、11603320180p(t)11514011590115描点、连线并向左右扩展得到函数 p(t)的简图如图所示：(4)由图可知此人的收缩压为 140 mmHg，舒张压为 90 mmHg.(1)在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程(2)在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题，常见形式有：求出三角函数的解析式，画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题练一练2如图为一个缆车示意图，缆车半径为 4.8 m，圆上最低点与地面的距离为 0.8 m，60s 转动一圈，图中 OA 与地面垂直，以 OA 为始边，逆时针转动角到 OB，设 B 点与地面距离

5、是 h.+(1)求 h 与间的函数解析式；(2)设从 OA 开始转动，经过 t s 后到达 OB，求 h 与 t 之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解：(1)以圆心 O 为原点，建立如图所示的坐标系，则以 Ox 为始边，OB 为终边的角为2，故 B 点坐标为 4.8cos2 ，4.8sin2.h5.64.8sin2 .(2)点 A 在圆上转动的角速度是30， 故 t s 转过的弧度数为t30.h5.64.8sin30t2 ，t0，)到达最高点时，h10.4 m.由 sin30t2 1，得30t222k，kN，tmin30(s)即缆车到达最高点时，用的时间最少为 30 秒

6、讲一讲3已知某海滨浴场海浪的高度 y(米)是时间 t(0t24，单位：时)的函数，记作：yf(t)下表是某日各时的浪高数据t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根据以上数据，求函数 yf(t)的函数解析式；(2)依据规定，当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内上午 8：00 至晚上 20：00 之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动？尝试解答(1)由表中数据描出各点，并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图)，由图知，可设 f(t)Acostb，并且周期 T12，2T2126.由 t0，y1.5

7、，得 Ab1.5；由 t3，y1.0，得 b1.0.A0.5，b1.y12cos6t1.(2)由题知，当 y1 时才可对冲浪爱好者开放，12cos6t11.cos6t0.2k26t2k2(kZ)，即 12k3t12k3(kZ)0t24，故可令中 k 分别为 0，1，2，得 0t3 或 9t15 或 210，0)，则Ab700，Ab900，解得 A100，b800.又周期 T2(60)12，2T6，y100sin6t800.又当 t6 时，y900，900100sin66800，sin()1，sin1，取2，y100sin6t2 800.(2)当 t2 时，y100sin622 800750，即

8、当年 3 月 1 日动物种群数量约是 750.题组 3建立三角函数模型解决实际问题7设 yf(t)是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数，其中 0t24.下表是该港口某一天从 0 时至 24 时的时间 t 与水深 y 的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察， 函数 yf(t)的图象可近似地看成函数 ykAsin(t)的图象 下列函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的是()Ay123sin6t，t0，24By123sin6t，t0，24Cy123sin12t，t0，24Dy123sin12t2 ，t0，24

9、解析：选 Ayf(t)的关系对应的“散点图”如下：由“散点图”可知，k12，A3.周期 T12，所以6.又 t0 时，y12，t3 时，y15.所以0.因此，y123sin6t，故选 A.能力提升综合练1如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至()A甲B乙C丙D丁解析：选 C该题目考查了最值与周期间的关系：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，故选 C.2如图是函数 ysin x(0 x)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点 A 作 x 轴的平行线，交其图象于另一点 B(A，B 可重合)设线段 AB 的长为 f(x)，则函数 f(x)的

10、图象是()解析：选 A当 x0，2 时，f(x)2x；当 x2，时，f(x)2x，故选A.3如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0( 2， 2)，角速度为 1，那么点 P 到 x 轴的距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为()解析：选 CP0( 2， 2)，P0Ox4.按逆时针转时间 t 后得POP0t，POxt4.此时 P 点纵坐标为 2sint4 ，d2|sint4|.当 t0 时，d 2，排除 A、D；当 t4时，d0，排除 B.4如图，设点 A 是单位圆上的一定点，动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点 P 所旋转过的弧AP的长为 l，弦

11、 AP 的长为 d，则函数 df(l)的图象大致是()解析：选 C令 AP 所对圆心角为，由|OA|1，则 l，sin2d2，d2sin22sinl2，即 df(l)2sinl2(0l2)，它的图象为 C.5一根长 a cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移 s(cm)和时间 t(s)的函数关系式是 s3cosgat3 ， t0，)， 则小球摆动的周期为_解析：T2ga2 ag.答案：2 ag6 据市场调查， 某种商品一年内每件的出厂价在 7 千元的基础上， 按月呈 f(x)Asin(x)BA0，0，|0，0)，x0，4的图象，且图象的最高点为 S(3， 2

12、3)； 赛道的后一部分为折线段 MNP.为保证参赛运动员的安全， 限定MNP120.求 A，的值和 M，P 两点间的距离解：依题意，有 A2 3，T43，即 T12.又 T2，6.y2 3sin6x，x0，4当 x4 时，y2 3sin233.M(4，3)又 P(8，0)，MP （84）2（03）2 42325(km)即 M、P 两点间的距离为 5 km.8在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距 12 h，低潮时水的深度为 8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在 10 月 10 日 4：00.每天涨潮落潮时，水的深度 d(m)与时间 t(h)近似满足关系式 dAsin(t)h.(1)若从

13、10 月 10 日 0：00 开始计算时间，试用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间 t(h)之间的函数关系；(2)10 月 10 日 17：00 该港口水深约为多少？(精确到 0.1 m)(3)10 月 10 日这一天该港口共有多少时间水深低于 10.3 m?解：(1)依题意知 T212，故6，h8.416212.2，A1612.23.8，所以 d3.8sin6t12.2；又因为 t4 时，d16，所以 sin461，所以6，所以 d3.8sin6t6 12.2.(2)t17 时，d3.8sin1766 12.23.8sin2312.215.5(m)(3)令 3.8sin6t6 12.210.3，有 sin6t6 12，因此 2k766t62k116(kZ)，所以 2k436t2k2，kZ，所以 12k8t12k12.令 k0，得 t(8，12)；令 k1，得 t(20，24)故这一天共有 8 h 水深低于 10.3 m.