高中数学立体几何建系设点专题

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1、.2009-2010学年高三立几建系设点专题引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。一、建立空间直角坐标系的三条途径途径一、利用图形中的对称关系建立坐标系:图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系例1（湖南卷理科第18题）已知两个正四棱锥PABCD与QABCD的高都为2，AB4（1）证明：PQ平面ABCD；（2）求异面直线AQ与PB所成的角

2、；（3）求点P到平面QAD的距离简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD是正方形，且ACBD由（1），PQ平面ABCD，故可分别以直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图1），易得，所求异面直线所成的角是（3）由（2）知，点设n=（x，y，z）是平面QAD的一个法向量，则得取x1，得点P到平面QAD的距离途径二、利用面面垂直的性质建立坐标系:图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系例2（全国卷理科第19题）在直三棱柱中，ABBC，D、E分别为的中点（1）证明：ED为异面直线与的公垂线；（2）设，求二面角的大小解：（1）如图2，建立直

3、角坐标系，其中原点O为AC的中点，设则，则，即同理因此ED为异面直线与的公垂线（2）不妨令，则，即BCAB，BC，又，BC面又，即ECAE，ECED，又AEEDE，EC面，即得和的夹角为所以，二面角为练2：如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点，（I）设是的中点，证明：平面；（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离途径三、利用图形中现成的垂直关系建立坐标系:当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系例3如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形， ， ，为的中点。（）求异面直线AB与MD所成角的大小；（）求点B到平面OCD的距离。方法1：

4、作于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为轴建立坐标系.ABOCDA1B1C1方法2：（利用菱形对角线互相垂直）连结BD，设交AC于E，取OC中点为F，以E为原点，EB、EC、EF所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系. ABOCDA1B1C1xzy练3：在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为的正三角形，点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点（）求证：A1ABC；（）当侧棱AA1和底面成45角时，求二面角A1ACB的大小余弦值；二、求点的坐标的两条途径途径一、作该点在xOy面上的投影，转化成求该投影的横、纵坐标和该点到它投影的距离（即竖坐标）。途径二、过该点和z轴作xOy面

5、的垂面，把空间的距离问题转化平面的距离问题。例4.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长为a,侧棱长为a建立适当的坐标系，写出A，B，A1，B1的坐标；求AC1与侧面ABB1A1所成的角分析：（1）所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算；（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量与直线所成的角，然后再求之解：（1）建系如图，则A（0，0，0） B（0，a,0）A1（0，0，a),C1（-a,)(2)解法一：在所建的坐标系中，取A1B1的中点M，于是M（0，），连结AM，MC1则有，所以，MC1平面ABB1A1因此，AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所

6、成的角，,而|由cos=,=30解法二：， 平面ABB1A1的一个法向量AC1与侧面ABB1A1所成的角的正弦为：=AC1与侧面ABB1A1所成的角为30练4：请在下列图形中建立适当的坐标系，并标明图中所有点的坐标。（1）如图，在四棱锥中，底面是的中点.APEBCDABCD（2）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点2009-2010学年高三立几建系设点专向练习1. 在正方体AC1中，E、F分别为D1C1与AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角的正弦值为（）Asin Bsin Csin D都不对解：（向量法）建立以D为原点，DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的坐标系，设棱长为1设平面A

7、1FCE的法向量=（x，y，z）, 则 =0， =0 =（1，0），=（0，1）,令y=2 , =（1，2，1）又 =（0，1，0） cos=A1B1与平面A1FCE成的角的正弦为sin 答案：A2.如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（ ）ABCDC 方法：建立如图2所示的空间直角坐标系，设AB=2，则，平面BB1C1C的一个法向量为，所以AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为。3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线BD与B1C的距离。解：建立空间直角坐标系（如图），则B（0，0，0），C（1，0，0），D

8、（1，1，0） B1（0，0，1），则设与都垂直的向量为，则由和得，异面直线BD与B1C的距离：4.四棱椎PABCD中，底面ABCD是矩形，为正三角形，平面PB中点.（1）求证：PB 平面AEC；（2）求二面角EACD的大小.解：设，过平面ABCD，又 故可以分别以OH、HC、HP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系H-xyz。由已知得H（0，0，0）,A（a,-b,0）,B(a,b,0),C(0,b,0),D(0,-b,0),P(0,0,),E(,解得，取y=1,得PBECDFA5.如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，分别是的中点（1）证明：；（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正

9、切值为，求二面角的余弦值（2）方法：由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为分别为的中点，所以PBECDFAyzx，所以设平面的一法向量为，则因此取，则，因为，所以平面，故为平面的一法向量又，所以因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为6.如图，ABCD是边长为a的菱形，且BAD=60，PAD为正三角形，且面PAD面ABCD（1）求cos，的值；（2）若E为AB的中点，F为PD的中点，求|的值；（3）求二面角PBCD的大小解：（1）选取AD中点O为原点，OB、AD、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0），B（a，0，0），P（0，0，

10、a），D（0，0）=（a，0），=（0，a），则cos，=（2）E、F分别为AB、PD的中点，E（ a，0），F（0，a）则|=a（3）面PAD面ABCD，POAD，PO面ABCDBOAD，ADBC，BOBC连结PB，则PBBC，PBO为二面角PBCD的平面角在RtPBO中，PO=a，BO=a，tanPBO=1则PBO=45故二面角PBCD的大小为457.如图，四棱锥中，底面，底面为梯形，点在棱上，且（1）求证：平面平面；（2）求证：平面；（3）（理）求平面和平面所成锐二面角的余弦值方法：以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系设，则，设为平面的一个法向量，则，解得，设为平面的一

11、个法向量，则，又，解得， 平面和平面所成锐二面角的余弦值为8.三棱锥的底面是边长为的正三角形，平面且，设、分别是、的中点。（I）求证：平面；（II）求二面角的余弦值（I）证明：是的中位线，平面，平面，平面 （II）以为原点，为轴正向，为轴正向，在平面内作轴并以为轴正向建立空间直角坐标系（如图）则题意得:O,，设平面的法向量为， 由且得，令得，取取平面的法向量， 二面角的余弦值是 另一种建立坐标系的方法是。9.如图所示，、分别是圆、圆的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是圆的直径，,.(I)求二面角的大小；(II)求直线与所成的角的余弦值.19.解：()AD与两圆所在的平面均垂直,ADAB, ADAF,故BAD是二面角BADF的平面角，依题意可知，ABCD是正方形，所以BAD450.即二面角BADF的大小为450；()以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，0），B（，0，0）,D（0，8），E（0，0，8），F（0，0）所以，设异面直线BD与EF所成角为，则直线BD与EF所成的角为余弦值为. v