高中数学 3.1变化率与导数学案 新人教A版选修11

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1、20192019 届数学人教版精品资料届数学人教版精品资料高中数学 3.1 变化率与导数学案 新人教 A 版选修 1-1基础梳理1平均变化率如果某个问题中的函数关系用f(x)表示， 那么问题的平均变化率可用式子f（x2）f（x1）x2x1表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，简记为fx(这里的xx2x1，可以是正也可以是负)注：几何意义：两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2) 连线的斜率(割线的斜率)；平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势(变化快慢)，或说在某个区间上曲线陡峭的程度2瞬时速度和瞬时加速度(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的

2、比称为平均速度(2)位移的平均变化率：s（t0t）s（t0）t(3)瞬时速度：当t无限趋近于 0 时，s（t0t）s（t0）t无限趋近于一个常数，这个常数称为tt0时的瞬时速度(4)速度的平均变化率：v（t0t）v（t0）t.(5)瞬时加速度：当t无限趋近于 0 时，v（t0t）v（t0）t无限趋近于一个常数，这个常数称为tt0时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率，感受速度的平均变化率与加速度的关系，以及加速度与瞬时加速度的“逼近”关系3导数(1)导数的概念设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于 0 时，比值yxf（x0 x）f（x0）x无限

3、趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)(2)导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义就是曲线在该点处的切线的斜率k，即klim_f（x0 x）f（x0）xf(x0)(3)导函数如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点都有导数f(x)，当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称f(x)为f(x)的导函数，记作f(x)或y，即f(x)ylim_f（xx）f（x）x(4)求导数的步骤求函数的增量： yf(x2)f(x1)； 求平均变化率：yxf（x2）f（x1）x2x1； 取极限，得导数：f(x0)li

4、m_yxlim_f（x0 x）f（x0）x上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限自测自评1已知函数yf(x)x21，则当x2，x0.1 时，y的值为(B)A0.40B0.41C0.43D0.44解析：yf(20.1)f(2)(2.121)(221)0.41.2一物体的运动方程是S3t2，则在一小段时间2，2.1内相应的平均速度为(D)A0.41B3C4D4.1解析：yxS（2.1）S（2）2.1232.12（322）0.14.1.3设f(x0)0，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线(B)A不存在B与x轴平行或重合C与x轴垂直D与x轴斜交1设函数yf(x)，当自变量x由x0改变到x

5、0 x时，函数的改变量y为(D)Af(x0 x)Bf(x0)xCf(x0)xDf(x0 x)f(x0)2已知曲线y2x3上一点A(1，2)，则点A处的切线斜率是(D)A0B2C4D6解析：依题意得，ky|x16.3曲线y4xx3在点(1，3)处的切线方程是_解析：f(1)limf（1t）f（1）tlim2（1t）3213t4.当x1 时，切线的斜率kf(1)1.利用点斜式可得切线方程为：y3x1，即yx2.答案：yx2.4比较函数f(x)2x与g(x)3x，当x1，2时，平均增长率的大小解析：设f(x)2x在x1，2时的平均变化率为k1，则k1f（2）f（1）212，设g(x)3x在x1，2时

6、的平均变化率为k2，则k2g（2）g（1）216，k1k2，故当x1，2时，g(x)的平均增长率大于f(x)的平均增长率5已知曲线y2x2上的点(1，2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程解析：因为f(1)limf（1x）f（1）x4，所以过点(1，2)的切线的斜率为 4.设过点(1，2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k，则 4k1，k14.所以所求的直线方程为y214(x1)，即x4y90.1在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量x(D)A大于 0B小于 0C等于 0D不等于 02一辆汽车在起步的前 10 秒内，按s3t21 做直线运动，则在 2t3 这段时间内的平均速度是(

7、C)A4B13C15D283yx2在x1 处的导数为(B)A2xB2C2xD1解析：limyxlimf（1x）f（1）xlim（1x）21xlim (2x)2.4函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是(C)A在点xx0处的函数值B在点(x0，f(x0)处的切线与x轴所夹锐角的正切值C曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率D点(x0，f(x0)与点(0，0)连线的斜率5在曲线yx2上切线倾斜角为4的点是(D)A(0，0)B(2，4)C.14，116D.12，14解析：由导数的定义，知y|xx0limf（x0 x）f（x0）x2x0tan41，x012，则y014，故选

8、D.6设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线 2xy60 平行，则a(A)A1B.12C12D1解析：由导数的定义知f(1)limf（1x）f（1）x2a2.a1.7已知曲线yx21 在xx0处的切线与曲线y1x3在xx0处的切线互相平行，则x0的值为_答案：0 或238 已知使函数yx3ax243a(aR R)的导数值为 0 的x值同时使得函数值y等于 0， 则常数a_解析：根据导数的定义，得ylimyxlim (3x22axx23xxax)3x22ax.令 3x22ax0，得x0 或x2a3.当x0 时，由y43a0，得a0；当x2a3时，由y4a32743a0，得a0 或a3.综上所

9、述，a的值为 0 或3.答案：0 或39曲线yx3在点(1，1)处的切线与x轴、直线x2 所围成的三角形的面积为_解析：根据导数的几何意义，可以求得切线斜率ky|x13.于是，由点斜式得切线方程为：y13(x1)令y0，得切线与x轴的交点A23，0；令x2，得切线与直线x2 的交点为B(2，4)又直线x2 与x轴的交点为C(2，0)，所以，所求三角形的面积为12|AC|BC|12223 483.答案：8310 设某质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数，其关系式为s(t)3t22t1.(1)求从t2 到t2t的平均速度， 并求当t1， t0.1 与t0.01 时的平均速度；(2)求当t2 时

10、的瞬时速度解析：直接计算可得结论(1)sts（2t）s（2）t3t14.当t1 时，17；当t0.1 时，14.3；当t0.01 时，14.03.(2)瞬时速度为limstlim (3t14)14.11已知抛物线y2x21，问：(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线 4xy20?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x8y30?解析：(1)y2（xx）212x21x4xx2（x）2x4x，设点P(x0，y0)是满足条件的点因为切线平行直线 4xy20，所以 4x04，即x01，所以y03，所以点P(1，3)为所求(2)设在点M(x1，y1)处的切线垂直于直线x8y30.又由(1)知y4x，则有 4

11、x18，即x12，所以y19，故点M(2，9)为所求12求双曲线y1x在点12，2处的切线的斜率，并写出切线方程解析：y1x，klimyxlim1xx1xxlim1x2xx1x2.当x12时，k4，切线斜率为k4.切线方程为y24x12 ，即 4xy40.体验高考1已知曲线yx24的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为(A)A1B2C3D4解析：切线的斜率为klim（xx）24x24xx2，则所求直线的斜率为x212，所以x1，即切点的横坐标为 1.2曲线y13x3x在点1，43 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为(A)A.19B.29C.13D.23解析：根据导数的定义和几何意义，可以求得

12、切线的斜率k2.于是，由点斜式得切线方程为：y432(x1)令x0，得切线与y轴的交点为A0，23 ；令y0，得切线与x轴的交点为B13，0，所以，所求三角形的面积为12|AO|BO|12231319.3设f(x)是偶函数，若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为 1，则该曲线在点(1，f(1)处的切线的斜率为_解析： 因为f(x)是偶函数， 偶函数图象关于y轴对称， 所以对应区间单调性相反， 可知点(1，f(1)处的切线的斜率为1.答案：14曲线ysinxsinxcosx12在点M4，0处的切线的斜率为(B)A12B.12C22D.225已知P、Q为抛物线x22y上两点，点P、Q的横坐标分别为 4、2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为(C)A1B3C4D8