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1、 精品资料学案75不等式选讲(二)不等式的证明导学目标： 1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法.2.会用比较法、综合法、分析法、数学归纳法证明比较简单的不等式自主梳理1证明不等式的常用方法(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是_与0比较大小或_与1比较大小(2)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或_，经过推理论证，最终指导出所要证明的不等式成立(3)分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的_条件，到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)(4)反证法反证法的定义先假设要证
2、的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾(5)放缩法定义：证明不等式时，通过把不等式的一边适当地_或_以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立这种方法称为放缩法思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键(6)数学归纳法与自然数有关的不等式可考虑用数
3、学归纳法证明自我检测1已知Ma2b2，Nabab1，则M，N的大小关系为_2设xa2b25，y2aba24a，若xy，则实数a，b应满足的条件为_3若a0，b0，给出下列四个不等式：ab2；(ab)()4；ab；a2.其中正确的序号为_4用数学归纳法证明(1)(1)(1)(1)(k1)，则当nk1时，左端应乘上_这个乘上去的代数式共有因子的个数是_5用数学归纳法证明()n(a，b是非负实数，nN)时，假设nk命题成立之后，证明nk1命题也成立的关键是_探究点一比较法证明不等式例1已知a0，b0，求证：.变式迁移1(2011福建)设不等式|2x1|b0，求证：0，求证： a2.探究点四数学归纳法
4、例4用数学归纳法证明：(n2)变式迁移4用数学归纳法证明n1(nN*)转化与化归思想的应用例(10分)已知f(x)x2pxq.求证：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.多角度审题已知f(x)，要证f(1)f(3)2f(2)2，只需化简左边式子，看是怎样的形式，然后才能视情况而定如何证明求证|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于包括：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中有一个大于等于，其余两个小于；三个中有2个大于等于，另一个小于；三个都大于等于.如果从正面证明，将有7种情况需要证明，非常繁杂，可考虑用反
5、证法证明【答题模板】证明(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2，f(1)f(3)2f(2)2.2分(2)假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于，则|f(1)|2|f(2)|f(3)|b，可以证ac且cb.其中c的确定是最困难的，要凭借对题意的分析和一定的解题经验放缩法的常用措施：(1)舍去或加上一些项，如22；(2)将分子或分母放大(缩小)，如， (kN*且k1)等(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共42分)1已知a、b、mR且ab，则与的大小关系为_2设aR且a0，以下四个式子中恒大于1的个数是_a31；a22a2；a；a2.3在下列不等式中
6、，一定成立的是_(填序号)48aabba；a3a2a1；()m2.4如图所示，矩形OPAQ中，a1a2，b1”“0，求证：3a32b33a2b2ab2.10(12分)已知x，y，z均为正数，求证：.11(12分)用数学归纳法证明.学案75不等式选讲(二)不等式的证明答案自主梳理1(1)差商(2)定理(3)充分(5)放大缩小自我检测1MN解析MNa2b2abab1(2a22b22ab2a2b2)(a22abb2)(a22a1)(b22b1)(ab)2(a1)2(b1)20，当且仅当ab1时“”成立MN.2ab1或a2解析由xy，得a2b252aba24a(ab1)2(a2)20，所以有ab1或a
7、2.3解析a0，b0，ab222；(ab)()44；，a2b2(ab)(ab).ab；a0，a0，恒成立4(1)(1)(1)2k1解析因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是(1)，最后一个是(1)，共有2k2k12k1项5两边同乘以解析要想办法出现ak1bk1，两边同乘以，右边也出现了要求证的()k1.课堂活动区例1解题导引不等式左、右两边是多项式形式，可用作差或作商比较法，也可用分析法、综合法证明()，又0，0，()20，()0.故.变式迁移1解由|2x1|1得12x11，解得0x1，所以Mx|0x1由和a，bM可知0a1,0b0，故ab1ab.例2解题导引本例不等式中的a、b、c具有
8、同等的地位，证明此类型不等式往往需要通过系数的变化，利用基本不等式进行放缩，得到要证明的结论证明a、b、c均为正数，当且仅当ab时等号成立；同理：，当且仅当bc时等号成立；，当且仅当ac时等号成立三个不等式相加即得，当且仅当abc时等号成立变式迁移2证明x是正实数，由基本不等式知，x12，1x22x，x312，故(x1)(x21)(x31)22x28x3 (当且仅当x1时等号成立)例3解题导引当要证的不等式较复杂，已知条件信息量太少，已知与待证间的联系不明显时，一般可采用分析法分析法是步步寻求不等式成立的充分条件，而实际操作时往往是先从要证的不等式出发，寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必
9、要条件是否充分，这种“逆求”过程能培养学生的发散思维能力，也是分析问题、解决问题时常用的思考方法证明欲证，只需证b0，只需证，即1.欲证1，只需证2，即.该式显然成立欲证1，只需证2，即.该式显然成立1成立，且以上各步均可逆0，只需证22，从而只要证2 ，只要证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立例4解题导引用数学归纳法证明不等式，推导nk1也成立时，证明不等式的常用方法，如比较法、分析法、综合法均要灵活运用在证明过程中，常常利用不等式的传递性对式子放缩，建立关系证明(1)当n2时，0，不等式成立(2)假设nk(k2)时，原不等式成立即，则当nk1时，左边.当nk1时，原不等式
10、成立由(1)(2)知，原不等式对n2的所有的自然数都成立，即(n2)变式迁移4证明(1)当n1时，显然命题成立(2)假设nk(kN*)时，原不等式成立即k1，k2k(k1)2.则当nk1时，左边k2(k1)1.(k1)1.当nk1时，原不等式成立由(1)(2)知，原不等式对nN*成立即解析0，.21解析只有a221.3解析取ab1，显然有444161，4884，不成立；abab，当ab0时，ab1，不一定成立；a3a2a1(a1)(a21)，当a1时，不成立；()272，2(2)272，又m2m21，()m25P，所以(1)(3)错误由放缩法易知必介于a，b之间，所以说法(2)正确又，所以说法
11、(4)正确7(1，)解析a3b3a2b2(ab)，a2abb2ab，(ab)2abab，ab(ab)2(ab)，又0ab()2，0(ab)2(ab)()2，解之得1ab0，所以ab0,3a22b20，(10分)从而(3a22b2)(ab)0，即3a32b33a2b2ab2.(12分)10证明因为x，y，z均为正数，所以，(3分)同理可得，(6分)当且仅当xyz时，以上三式等号都成立，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得.(12分)11证明(1)当n1时，1，命题成立(2分)(2)假设nk时命题成立，即.则当nk1时，(k1)，即当nk1时不等式也成立(10分)综合(1)(2)，得对一切正整数n，不等式都成立(12分)
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