浙江省中考数学总复习第四章基本图形(一)第18讲三角形与全等三角形讲解篇

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1、+数学中考教学资料数学中考教学资料 20192019 年编年编+第第 1818 讲讲三角形与全等三角形三角形与全等三角形1三角形的概念及其分类概念：由不在同一直线上的三条线段相接所得到的图形叫做三角形.分类按角分类角三角形角三角形角三角形按边分类不等边三角形等腰三角形底与腰不相等的等腰三角形三角形2与三角形有关的线段考试内容考试要求高_三角形的三条高相交于三角形的内部；直角三角形的三条高相交于_；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部b中线三角形的三条中线相交于_，每一条中线都将三角形分成面积_的两部分角平分线三角形的三条角平分线相交于_，这个点是三角形的_，这个点到三边的距离_三边关系三角形的

2、两边之和_第三边，三角形的两边之差_第三边c稳定性三角形具有稳定性，四边形没有稳定性a三角形的中位线定义连结三角形两边_的线段叫做三角形的中位线.c性质三角形的中位线_第三边，并且等于第三边的_3.与三角形有关的角考试内容考试要求定理三角形三个内角的和等于_bc推论直角三角形的两个锐角_三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的_4.全等三角形的性质与判定考试内容考试要求性质全等三角形的对应边_，对应角_c判定判定 1：三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)；判定 2：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)；判定 3：两角和它们的夹边分别相等

3、的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)；判定 4：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)；判定 5：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)考试内容考试要求基本1.分析问题思考方法：c方法(1)顺推分析：从已知条件出发，运用相应的定理，联合几个已知条件加以发展，一步一步地去靠近欲证目标；(2)逆推分析：从欲证结论入手，分析达到欲证的可能途径，逐步沟通它与已知条件的联系，从而找到证明方法；(3)顺推分析与逆推分析相结合；(4)联想分析：对于一道与证明过的题目有类似之处的新题目，分析它们之间的相同点与不同点，

4、尝试把对前一道题的思考转用于现在的题目中，从而找到它的解法2.“截长法”和“补短法”是证明和差关系的重要方法，无论用哪一种方法都是要将线段的和差关系转化为证明线段相等的问题，因此添加辅助线构造全等三角形是通向结论的桥梁1 (2017舟山)长度分别为 2， 7， x 的三条线段能组成一个三角形， x 的值可以是()A4B5C6D92(2017衢州)如图，直线 ABCD，A70，C40，则E 等于()A30B40C60D703(2016丽水)如图，在ABC 中，A63，直线 MNBC，且分别与 AB，AC 相交于点 D，E，若AEN133，则B 的度数为_4(2017温州)如图，在五边形 ABCD

5、E 中，BCDEDC90，BCED，ACAD.(1)求证：ABCAED；(2)当B140时，求BAE 的度数【问题】如图，在ABC 中，点 D 是边 BC 上一点，作射线 AD.(1)若点 D 是 BC 的中点，你能得到什么结论？若 AD 是BAC 的角平分线呢？(2)在线段 AD 及其延长线上分别取点 E、F，DEDF，连结 CE、BF.添加一个条件，使得BDFCDE，并加以证明你添加的条件是_(不添加辅助线)【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理中线、高、角平分线，以及三角形全等的判定，判定两个三角形全等， 先根据已知条件或求证的结论确定三角形， 然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，

6、再去证什么条件类型一类型一三角形的三边关系三角形的三边关系例 1 1(2017金华)下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是()A2，3，4B5，7，7C5，6，12D6，8，10【解后感悟】三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形1(1)(2016杭州市下城区模拟)已知ABC 的三边长都是整数，且 AB2，BC6，则ABC 的周长可能是()A12B14C16D17(2) (2016义乌模拟)如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框(形状不限)，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为 3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整若

7、调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为()A6B7C8D9(3)小明和小丽是同班同学，小明的家距学校 2 千米远，小丽的家距学校 5 千米远，设小明家距小丽家 x 千米远，则 x 的值应满足()Ax3Bx7Cx3 或 x7D3x7类型二类型二三角形的内角、外角的性质三角形的内角、外角的性质例 2 2(2017衢州模拟)如图，锐角三角形 ABC 中，直线 l 为 BC 的垂直平分线，直线 m为ABC 的角平分线，l 与 m 相交于 P 点若BAC60，ACP24，则ABP 的度数为()A24B30C32D36【解后感悟】 本题是线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质

8、、 角平分线的定义、三角形的内角和定理的运用，熟记各性质并列出关于ABP 的方程是解题的关键2(1)(2017宁波模拟)已知：ABC 的三个内角满足A2B3C，则ABC 是_三角形(填“锐角”、“直角”、“钝角”)(2) (2017舟山模拟)将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放如果332，那么12_度3将一副三角板拼成如图所示的图形，过点 C 作 CF 平分DCE 交 DE 于点 F.(1)求证：CFAB；(2)求DFC 的度数类型三类型三三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线、中线和高例 3 3如图，在ABC 中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高，B30，C80，

9、BE2，AF3，填空：(1)AB_(2)BAD_(3)DAF_(4)SAEC_【解后感悟】理解三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理揭示三线构建图形之间的联系4 (1)(2015长沙)如图， 过ABC 的顶点 A 作 BC 边上的高， 以下作法正确的是()(2)(2015绵阳)如图，在ABC 中，B、C 的平分线 BE，CD 相交于点 F，ABC42，A60，则BFC()A118B119C120D1215(2015广州)如图，四边形 ABCD 中，A90，AB3 3，AD3，点 M，N 分别为线段 BC，AB 上的动点(含端点，但点 M 不与点 B 重合)，点 E，F 分别为 DM，MN

10、 的中点，则 EF 长度的最大值为_6ABC 中，ADBC，AE 平分BAC 交 BC 于点 E.(1)B30，C70，求EAD 的大小；(2)若BC，则 2EAD 与CB 是否相等？若相等，请说明理由类型四类型四三角形全等的判定的运用三角形全等的判定的运用例 4 4如图，点 B，F，C，E 在直线 l 上(F，C 之间不能直接测量)，点 A，D 在 l 异侧，测得 ABDE，ACDF，BFEC.(1)求证：ABCDEF；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由【解后感悟】解题的关键是正确寻找证明三角形全等的条件，联想平行线的判定方法7(2017温州模拟)在梯形 ABCD 中，ADBC，连结

11、AC，且 ACBC，在对角线 AC 上取点 E，使 CEAD，连结 BE.(1)求证：DACECB；(2)若 CA 平分BCD，且 AD3，求 BE 的长8(2017桂林模拟)如图，在ABC 中，ABCB，ABC90，D 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 边上，且 BEBD，连结 AE、DE、DC.(1)求证：ABECBD；(2)若CAE30，求BDC 的度数类型五类型五三角形全等的性质的运用三角形全等的性质的运用例 5 5如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DFBE.(1)求证：CECF；(2)若点 G 在 AD 上，且GCE45，则

12、GEBEGD 成立吗？为什么？【解后感悟】 证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等， 在第二问中通过全等找出和 GE 相等的线段，从而证出关系是不是成立9如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端 M、N 的距离，如果PQONMO，则只需测出其长度的线段是()APOBPQCMODMQ10如图，点 D、E 分别在 AB、AC 上(1)已知：BDCE，CDBE，求证：ABAC；(2)分别将“BDCE”记为， “CDBE”记为， “ABAC”记为.添加条件、，以为结论构成命题 1； 添加条件、 ， 以为结论构成命题 2.命题 1 是_命题，命题 2 是_命题(填“真”或“假”)【反思研

13、究题】(2017义乌模拟)已知ABC 中，ABAC，BC6.点 P 从点 B 出发沿射线 BA 移动，同时点 Q 从点 C 出发沿线段 AC 的延长线移动，点 P、Q 移动的速度相同，PQ 与直线 BC 相交于点 D.(1)如图 1，过点 P 作 PFAQ 交 BC 于点 F，求证：PDFQDC；(2)如图 2，当点 P 为 AB 的中点时，求 CD 的长；(3)如图 3，过点 P 作 PEBC 于点 E，在点 P 从点 B 向点 A 移动的过程中，线段 DE 的长度是否保持不变？若保持不变，请求出 DE 的长度，若改变，请说明理由【方法与对策】运用全等三角形的判定与性质等，注意对比信息，尝试

14、着用前一题的结论与方法去完成下一题，该题型是中考热点题型之一【忽视全等三角形判定中边、角位置性】ABAC，D、E 分别在 AB、AC 上，连结 CD、BE，且 CDBE，判断ADC 和AEB 是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由参考答案参考答案第第 18 讲讲三角形与全等三角形三角形与全等三角形【考点概要】1首尾顺次锐直钝等边2.2.锐角直角顶点一点相等一点内心相等大于小于中点平行一半3.1803.180互余和4.4.相等相等【考题体验】1 1C C2.2.A A3.703.704.4.(1 1)ACACADAD，ACDACDADCADC，又BCDBCDEDCEDC9090，ACBA

15、CBADEADE，在ABCABC 和AEDAED 中，BCBCEDED，ACBACBADEADEACACADAD，ABCABCAEDAED(SASSAS)；(2 2)当B B140140时，E E140140，又BCDBCDEDCEDC9090，五边形 ABCDEABCDE 中，BAEBAE5405401401402 290902 28080. .【知识引擎】【解析】(1 1)BDBDDCDC1 12 2BCBC，S SABDABDS SADCADC；BADBADDACDAC1 12 2BACBAC 等(2 2)由已知EDCEDCFDBFDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组

16、对应边相等故添加的条件是：BDBDCDCD(或 CECEBFBF 或ECDECDDBFDBF 或DECDECDFBDFB 等)证明：在BDFBDF 和CDCDE E中CDCDBDBDEDCEDCFDBFDBDEDEDFDF，CDECDEBDF.BDF.【例题精析】例 1 1C例 2 2直线 m 为ABC 的角平分线，ABPCBP.直线 l 为 BC 的中垂线，BPCP， CBPBCP， ABPCBPBCP， 在ABC 中， 3ABPAACP180，即 3ABP6024180，解得ABP32.故选C.例 3 3(1)在ABF 中，AF 是高，B30，AF3，AB2AF6；(2)在ABC中，B30

17、，C80，BAC70，AD 是角平分线，BAD12BAC35；(3)在AFC 中，AF 是高，C80，FAC10，DAFDACFAC351025；(4)在ABC 中，AE 是中线，ECBE2，SAEC12ECAF12233.故答案为：6；35；25；3.例 4 4(1)BFCE， BFFCFCCE， 即 BCEF， 在ABC 和DEF 中，ABDE，ACDF，BCEF，ABCDEF(SSS) (2)结论： ABDE， ACDF.理由： ABCDEF， ABCDEF，ACBDFE，ABDE，ACDF.例 5 5(1)证明：在正方形 ABCD 中，BCCD，BCDF，BEDF，CBECDF(SAS

18、)CECF.(2)GEBEGD 成立理由是：由(1)得：CBECDF，BCEDCF，BCEECDDCFECD，即ECFBCD90.又GCE45，GCFGCE45.CECF，GCEGCF，GCGC，ECGFCG(SAS)GEGF.GEDFGDBEGD.【变式拓展】1(1)B(2)D(3)D2.(1)钝角(2)703.(1)证明：由题意知，ACB 是等腰直角三角形，且ACBDCE90，B45.CF 平分DCE，DCFECF45，BECF，CFAB.(2)由三角板知，E60，由(1)知，ECF45，DFCECFE，DFC4560105.4.(1)A(2)C5.36.(1)B30，C70，BAC180

19、BC80，AE 是角平分线，EAC12BAC40，AD 是高，C70，DAC90C20，EADEACDAC402020；(2)由(1)知，EADEACDAC12BAC(90C)，把BAC180BC 代入，整理得EAD12C12B，2EADCB.7.(1)略；(2)CA 平分BCD，ECBDCA，且由(1)可知DACECB，DACDCA，CDDA3，又由(1)可得DACECB，BECD3.8.(1)略；(2)ABCB，ABC90，CAB45，CAE30，BAECABCAE453015，ABECBD，BCDBAE15，BDC90BCD901575.9.B10.(1)连结 BC.BDCE，CDBE，

20、BCCB，DBCECB(SSS)DBCECB，ABAC.(2)真假第 10 题图【热点题型】【分析与解】(1)ABAC，BACB.PFAC，PFBACB.BPFB，BPFP.由题意，BPCQ，FPCQ.PFAC，DPFDQC.又PDFQDC，PDFQDC；(2)如图，过 P 点作 PFAC 交 BC 于 F，点 P 为 AB 的中点，F 为 BC 的中点，FC12BC3，由(1)知PDFQDC，CDDF，CDDF12FC32；(3)线段 DE 的长度保持不变如图，过点 P 作 PFAC 交 BC 于 F，由(1)知 PBPF，PEBC，BEEF，由(1)知PDFQDC，CDDF，DEEFDF12BC3.【错误警示】ADC 和AEB 不一定相等 例如， 如图， ABAC， 且 CDCEBE， 这时ADCAEB.