新编数学高考复习第3讲　空间点、直线、平面间的位置关系

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1、新编高考数学复习资料第3讲空间点、直线、平面间的位置关系基础巩固1.直线l1l2,在l1上取3个点,l2上取2个点,由这5个点所确定的平面个数为()A.9B.6C.3D.1答案:D解析:l1l2,l1,l2确定唯一平面,所取的5个点均在该面内.2.在空间中,与边长均为3 cm的ABC的三个顶点距离均为1 cm的平面共有()A.2个B.3个C.5个D.8个答案:D解析:适合条件的平面分两类:第一类,点A,B,C在平面的同侧,有2个;第二类,点A,B,C在平面的异侧(平面过ABC的中位线),有6个.故共有8个.3.下面为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为

2、异面的对数为()A.1B.2C.3D.4答案:C解析:AB,CD,EF和GH在原正方体中如图所示,显然AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行.故互为异面的直线有且只有三对.4.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是()答案:D解析:在A图中分别连接PS,QR,易证PSQR,因此P,S,R,Q共面;在C图中分别连接PQ,RS,易证PQRS,因此P,Q,R,S共面.如图,在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共面,D图中PS与RQ为异面直线,因此四点不共面.故选D.5.已知A,B,C表示不

3、同的点,l表示直线,表示不同的平面,则下列推理正确的是()(1)Al,A,Bl,Bl;(2)A,A,B,B=AB;(3)l,AlA;(4)A,Al,ll=A.来源:A.(1)(3)B.(3)(4)来源:学科网C.(1)(2)(4)D.(2)(3)(4)答案:C6.直三棱柱ABCA1B1C1中,若BAC=90,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A.30B.45C.60D.90答案:C解析:如图,可补成一个正方体,易知AC1BD1.故BA1与AC1所成角的大小为A1BD1.又易知A1BD1为正三角形,A1BD1=60,故BA1与AC1成60的角.7.设四面体的六条棱的长分

4、别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是()A.(0,)B.(0,)C.(1,)D.(1,)答案:A解析:如图所示的四面体ABCD中,设AB=a,则由题意可得CD=,其他边的长都为1,故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形,显然a0.取CD中点E,连接AE,BE,则AECD,BECD且AE=BE=,显然A,B,E三点能构成三角形,应满足任意两边之和大于第三边,可得2a,解得0a.8.不重合的三条直线,若相交于一点,最多能确定个平面;若相交于两点,最多能确定个平面;若相交于三点,最多能确定个平面.答案:321解析:三条直线相交于一点,最多可确定

5、3个平面,如图(1);三条直线相交于两点,最多可确定2个平面,如图(2);三条直线相交于三点,最多可确定1个平面,如图(3).9.在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何体的4个顶点,这些几何体是(写出所有正确结论的编号).矩形不是矩形的平行四边形有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体每个面都是等边三角形的四面体每个面都是直角三角形的四面体答案:解析:分两种情况:4个顶点共面时,几何体一定是矩形;4个顶点不共面时,都有可能.10.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:直线AM与CC1是相交直线;直线AM与BN是平

6、行直线;直线BN与MB1是异面直线;直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为(注:把你认为正确的结论的序号都填上).答案:解析:直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故错误.11.已知平面,两两相交于直线l1,l2,l3,且l1与l2相交于点P,求证:l1,l2,l3三线共点.证明:如图所示,l1l2=P,Pl1且Pl2.又=l1,l1.故P.又=l2,l2.故P.=l3,Pl3.故l1,l2,l3共点于点P.12.如图,已知平面,且=l.设梯形ABCD中,ADBC,且AB,CD,求证:AB,CD,l共点(相交于一点).证明:梯形ABCD中,ADBC,AB,CD是梯形AB

7、CD的两腰.故AB,CD必定相交于一点.设ABCD=M.又AB,CD,M,且M.又=l,Ml,即AB,CD,l共点.13.已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60角,点M,N分别是BC,AD的中点,求直线AB和MN所成的角的大小.解:如图,取AC的中点P.连接PM,PN,则PMAB,且PM=AB,PNCD,且PN=CD,从而可知MPN为AB与CD所成的角(或所成角的补角),则MPN=60或MPN=120.来源:若MPN=60,因为PMAB,所以PMN是AB与MN所成的角(或所成角的补角).又因为AB=CD,所以PM=PN.因此PMN是等边三角形,从而可知PMN=60,即AB与

8、MN所成的角为60.若MPN=120,则易知PMN是等腰三角形.从而可知PMN=30,即AB与MN所成的角为30.故直线AB和MN所成的角为60或30.拓展延伸14.有一矩形纸片ABCD,AB=5,BC=2,E,F分别是AB,CD上的点,且BE=CF=1,如图(1).现在把纸片沿EF折成图(2)形状,且CFD=90.(1)求BD的长;(2)求证:AC,BD交于一点且被该点平分.解:(1)将平面BF折起后,补成长方体AEFD-A1BCD1,则BD恰好是长方体的一条对角线.来源:因为AE,EF,EB两两垂直,所以BD恰好是以AE,EF,EB为长、宽、高的长方体的对角线.故BD=.(2)证明:因为AD􀰿EF,EF􀰿BC,来源:所以AD􀰿BC.因此点A,D,B,C在同一平面内,且四边形ABCD为平行四边形.故AC,BD交于一点且被该点平分.