发散思维的一个例子1

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1、发散思维的一个例子发散思维的一个例子2005,8(4)高等数学研究STUDIESINCOI.IEGEMATHEMATICS发散思维的一个例子.贺冬冬(合肥工业大学理学院信息与计算科学专业 02级合肥230069)摘要利用估 值不等式，数列的递推关系，积分中值定理可证明极限 1.mId 一 0,基此可推导出更多 H 一叫 Ol1rZ b5E2RGbCAP关于其他极限或级数收敛的结论关键词极限；积分中值定理；级数中图分类号 0173.1文1称:所谓具有发散特性的思维是指信息处理的途径灵活多变，求结果的丰富多样,它是种幵放性的立体思维，即围绕某一问题，沿着不同方向去思考探索，重组眼前的信息 和记记中

2、的信息，产生新的信息并获得解决问题的多种方案 ，因此,也把发散思维称为异思维， 它是一种重要的创造性思维.受其启发，我对一道常见的的微积分习题从全方位进行思考，由此及彼，由特殊到一般，在做题的过程中找到了乐趣，收到了意想不到的效果，体会到了创新的感受，现 与大家分享之问题:设口一 Idx(n=1,2,)，证明 lima=0., 问题的多种证明方法1. 利用估值方法因为 0?,所以 0?南？),Aiffi,0?j.南 d?dx ？即 0?an11?.rHr1 (一 1,2,)，故由夹逼原则知 lima 一 0. p1EanqFDPw2. 利用数列的递推关系显然，口 + 口 二JI 三等 d JI

3、 三 d 一,从而口 + 口. 一，又口，广.? 口？口 .,故，一?a?, 由夹逼原理 , 所以 lima 一 0. DXDiTa9E3d/_t- 上,/ 一?3. 利用积分第一中值定理显然在0,1-上连续，在0,1-上不变号，故由积分第一中值定理，得.f南一 d=?c0?已？由此知 0?口 ?(n 一 1,2, ), 故 lima=0.4. 利用积分第二中值定理由于在 0,1 上可积, 在0,1 上非负且单调递减 , 故由积分第 -值定理 ,;fi-南d =如一矿 l(0?1). RTCrpUDGiT?收稿日期 .030714. 课题资助 :安徽省重点教学研究项目 (2001011)62

4、高等数学研究 2005年 7月由此知 0?口一?; (l?2, ), 故 lim 一 0.二 , 与此问题相关的若干问题对原问题进行探人研究 , 可得出一些有趣的结果 .1.3 / 8limnaa.号.由可知?淞一？丢，令一 0.,即得淞一 1.此即（口 /） 一 1,表明 数列 口一）与数列1 收敛于零的速度是相同的 . 5PCzVD7HxA2. 级数 ？（ 一 1） 一 n 条件收敛因为口一0（一1,2, ）, 且由前知午一 1 ,故由比较判别法的极限形式知 .发散.又.一？口？且口一0 ,故由莱布尼兹判别法知 ？（一1 ）口收敛,且为条件收敛 . 3. 级数 萤 （ 一 n） 绝对收敛

5、jLBHrnAILg由（2） 式,0？ 一口 ？1,是其强级数 . 由分部积分法知又所以或故茎 （ 一 n） 是正项级数 , 且收敛级数 禹如一 rxjdc 詈一卜 d 一d 一一南 dc 等一112n0等+等.？d？ 如一 ,口一一禹如一芝 11+.c,口4n2+.()., 口一一一十 . 奔? 由于 1 收敛, 故(一口一)绝对收敛 .广 r 王4.1iftanxdx 一 0,limltanx 一 0. 一 .J0.J0.在口 =：=j 禹 d 中令:=tan:,则有一 2ftnt,d, 故由 lim 一.知,limltan 件 ld 一 0. ?.J0由于n2州？an?an地澈知n如_o

6、.第 8 卷第 4 期贺冬冬 : 发散思维的一个例子 63令 b 一 1tanzdz( 1,2, ),limb2 一 Iimb2 井 1 0,所以 limb 0,即limltanxdz 一 0?J05. ( 一 1).-1 1=ln2-1n由 知 ao 十口一 1,al+a2 一百 1,n2+n. 百 1,n 1+an 一一 1,.故厶1一15 / 81+(一 1),1一 (2o+(_1)l n.由于口 . 一 In2,lima 一 0,故在上式中令一 ?,即得？(1). -11ln2.一 1三,问题的一个推广本文一幵始所提问题的一般形式为:设函数 在0,1上连续，则有rli mnIzf(x)

7、dx 一(1).,则有limldx 一 1,此即limna 百1,并由此知limn 0.1十z 一一上式若取,(z)J0I 十 zZ 一 Z, 一.一关于对上式的证明可参见文献 2, 这里不再赘述 . 参考文献1 李心灿 .在高等学的教学中培养学生创造性思维的一些实践与思考 J. 工科数 学,15(6),1996,35 41.2 邹应. 数学分析习题及其解答 M. 武汉:武汉大学出版社 ,2001.(上接第 29 页)A() 一_J1-,boo)cod 一:c.disisi,B()=_J1boo(i 一 sid 一一 1c. 一.,因此温度分布为,)一 J.二 +e.2 lfc.s(tzz)e

8、_Zztu(xA(F)cosB(F)sin/e_Zzt.,) l+e,一 Icos.j 一?,rjn,XHAQX74J0X该式对于任意的z,都成立，故当(z,) 一(o,o)时,(d,o) 一-兰r 一 1,即.r 十 ? J0 LDAYtRyKfE参考文献1 吴崇试.数学物理方法 M. 北京:北京大学出版社 ,2000. 2 南京工学院数学教研组.工程数学一一积分变换（第三版）M.北京:高等教育出版社，1989. Zzz6ZB2Ltk工程数学复变函数 （ 第四版 ）M. 3 西安交通大学高等数学教研室 .北京: 高等教育出版社 ,1994.4 复旦大学数学系主编 . 数学物理方程 M. 北京: 人民教育出版社 ,1982.dvzfvkwMI17 / 8