2019中考数学专题复习--二次函数与多边形存在性问题--解析版

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1、精选优质文档-倾情为你奉上二次函数与多边形存在性问题最经常遇到的中考压轴题，通常解决思路在于等腰三角形的定义、性质；平行四边形的性质；作图是第一步，注意多种情况分类讨论。解答题（共15小题）1如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过A（1，1）、B（4，0）两点（1）求这个二次函数解析式；（2）点M为坐标平面内一点，若以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标2已知在平面直角坐标系中有三个点，点A（0，3），B（3，0），C（1，0）（1）求经过A、B、C三点的二次函数解析式；（2）在平面直角坐标系中再找一个点D，使A、B、C、D四点构成一个平行四边形3如图，二次函数的

2、图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C且OA=2，OC=OB=3（1）求抛物线的解析式；（2）作ODBC于D，与抛物线相交于点E，试在抛物线上确定点P，使得四边形OBEP为平行四边形，并说明理由4如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（3，0）、B（1，0）、C（0.3）三点，设该二次函数的顶点为G（1）求这个二次函数的解析式及其图象的顶点G的坐标；（2）求tanACG的值；（3）如该二次函数的图象上有一点P，x轴上有一点E，问是否存在以A、G、E、P为顶点的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由5如图抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（

3、3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC、CD、AD（1）求该二次函数的解析式；（2）求ACD的面积；（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由6如图已知二次函数y=x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；（2）在x轴的正半轴上是否存在点P使得PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由7如图，已知二次函数y=ax24x+c的图象与坐标轴交于点A（1，0）和点

4、B（0，5）（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得ABP的周长最小请求出点P的坐标（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点M，使得APM是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标8如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx4（a0）的图象与x轴交于A（2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由10如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），

5、B（2，3），C（0，3）（1）求此函数的解析式和对称轴；（2）试探索抛物线的对称轴上存在几个点P，使三角形PAB是直角三角形，并求出点P的坐标11如图，二次函数y=x2+bx+c图象经过原点和点A（2，0），直线AB与抛物线交于点B，且BAO=45（1）求二次函数解析式及其顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得BCD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由12如图：已知，直线l1l2，垂足为y轴上一点A，线段OA=2，OB=1（1）请直接写出A、B、C三点的坐标；（2）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A、B、C，求出函数的解折式；（3）（2）中的抛物线的

6、对称轴上存在P，使PBC为等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标13已知二次函数y=x2+bx+c图象的对称轴是直线x=2，且过点A（0，3）（1）求b、c的值；（2）求出该二次函数图象与x轴的交点B、C的坐标；（3）如果某个一次函数图象经过坐标原点O和该二次函数图象的顶点M问在这个一次函数图象上是否存在点P，使得PBC是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由14如图，在直角坐标系xoy中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（1）已知OCAB于C，求C点坐标；（2）在x轴上是否存在点P，使PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由15如图

7、，已知二次函数y=ax24x+c的图象与坐标轴交于点A（1，0）和点C（0，5）（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，2），连接OP，找出x轴上所有点M的坐标，使得OPM是等腰三角形华罗庚数学：中考第一讲 二次函数与多边形存在性问题参考答案与试题解析一解答题（共15小题）1如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过A（1，1）、B（4，0）两点（1）求这个二次函数解析式；（2）点M为坐标平面内一点，若以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标【解答】解：（1）二次函数y=ax2+bx的图象经过A（1，1）

8、、B（4，0）两点，解得二次函数的解析式为y=x2x（2）根据题意得：M1（3，1）、M2（3，1）、M3（5，1）2已知在平面直角坐标系中有三个点，点A（0，3），B（3，0），C（1，0）（1）求经过A、B、C三点的二次函数解析式；（2）在平面直角坐标系中再找一个点D，使A、B、C、D四点构成一个平行四边形【解答】解：（1）设二次函数解析式为y=a（x+3）（x1），把（0，3）代入得a3（1）=3，得到a=1，所以=（x+3）（x1），即y=x22x+3；（2）如图，D点坐标为（4，3）或（4，3）或（2，3）3如图，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C且OA=2，OC

9、=OB=3（1）求抛物线的解析式；（2）作ODBC于D，与抛物线相交于点E，试在抛物线上确定点P，使得四边形OBEP为平行四边形，并说明理由【解答】解：（1）由题意可得A（2，0），B（3，0），C（0，3）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x3）将C点坐标代入后可得：a（0+2）（03）=3，a=因此抛物线的解析式为y=（x+2）（x3）=x2+x+3；（2）如图；存在这样的P点，且坐标为P（1，2）理由：OB=OC，COB=90CBO=OCB=45ODBCCOD=BOD=45因此E为直线y=x与抛物线的交点，因此有：解得：，即E点的坐标为（2，2）若四边形OBEP是平行四边形，那么EP=

10、OB且EPOB，那么P点的坐标为（1，2）当x=1时，抛物线的值为y=（x+2）（x3）=1（4）=2因此P点在抛物线上所以存在这样的P点，且坐标为（1，2）4如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（3，0）、B（1，0）、C（0.3）三点，设该二次函数的顶点为G（1）求这个二次函数的解析式及其图象的顶点G的坐标；（2）求tanACG的值；（3）如该二次函数的图象上有一点P，x轴上有一点E，问是否存在以A、G、E、P为顶点的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）A（3，0）、B（1，0）、C（0.3）在二次函数y=ax2+bx+c

11、的图象上，解得：，二次函数的解析式为：y=x24x+3，y=（x2）21，顶点G（2，1）（2）G作GHx轴于点H，GFy轴于点F，G（2，1）、A（3，0）、B（1，0）、C（0.3），CF=4，GF=2，GH=1，HA=1，在RtGFC、RtAOC、RtGHA中由勾股定理，得AC2=18，GC2=20，AG2=2ACG是直角三角形，且CAG=90，tanACG=（3）当AG为边时，作GHx轴于H，PNx轴于点NPNE=GHA=90四边形PEGA是平行四边形，PE=AG，PEA=GAE，PNEGHA，PN=GH=1，设P（m，1）m24m+3=1，m=2，P（2，1），当AG为对角线时，不可

12、能综上所述，点P的坐标为（2，1），5如图抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC、CD、AD（1）求该二次函数的解析式；（2）求ACD的面积；（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）当x=0时，y=3，即C（0，3）将A、C、B点坐标代入、及对称轴，得，解得，抛物线的解析式y=x22x+3；（2）y=x22x+3=（x1）2+4，得顶点坐标是（1，4），由勾股定理，得AC2=32+（03）2=1

13、8，CD2=（0+1）2+（34）2=2，AD2=（1+3）2+（40）2=20，AC2+CD2=AD2，ACD是直角三角形，SACD=ACCD=3；（3）如图1，平行四边形AQBP，由对角线互相平分，得P1（1，4），Q（1，4）；如图2，ABQP，PQ=AB=4，14=5，当x=5时，y=25+10+3=12，即P2（5，12）；如图3，ABPQ，PQ=AB=4，P点的横坐标为1+4=3，当x=3时，y=96+3=12，即P3（3，12），综上所述：P1（1，4），P2（5，12），P3（3，12）6如图已知二次函数y=x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B（1

14、）求此二次函数关系式和点B的坐标；（2）在x轴的正半轴上是否存在点P使得PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）把点A（4，0）代入二次函数有：0=16+4b+3得：b=所以二次函数的关系式为：y=x2+x+3当x=0时，y=3点B的坐标为（0，3）（2）如图：作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，则：BP=AP设BP=AP=x，则OP=4x，在直角OBP中，BP2=OB2+OP2即：x2=32+（4x）2解得：x=OP=4=所以点P的坐标为：（，0）综上可得点P的坐标为（，0）7如图，已知二次函数y=ax24x+c的图象与坐标轴交于

15、点A（1，0）和点B（0，5）（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得ABP的周长最小请求出点P的坐标（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点M，使得APM是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标【解答】解：（1）根据题意，得，解得，二次函数的表达式为y=x24x5；（2）令y=0，得二次函数y=x24x5的图象与x轴的另一个交点坐标C（5，0）；由于P是对称轴x=2上一点，连接AB，由于，要使ABP的周长最小，只要PA+PB最小；由于点A与点C关于对称轴x=2对称，连接BC交对称轴于点P，则PA+PB=BP+PC=BC，根据两点之间，线段最短，可得PA

16、+PB的最小值为BC；因而BC与对称轴x=2的交点P就是所求的点；设直线BC的解析式为y=kx+b，根据题意可得解得所以直线BC的解析式为y=x5；（9分）因此直线BC与对称轴x=2的交点坐标是方程组的解，解得，所求的点P的坐标为（2，3）；（3）M（5，0）或（1，0）或（1，0）或（2，0）8如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx4（a0）的图象与x轴交于A（2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，

17、请说明理由【解答】解：（1）二次函数y=ax2+bx4（a0）的图象与x轴交于A（2，0）、C（8，0）两点，解得，该二次函数的解析式为y=x2x4； （2）在线段BC上是存在点E，使得CDE为等腰三角形，由二次函数y=x2x4可知对称轴x=3，D（3，0）C（8，0），CD=5由二次函数y=x2x4可知B（0，4）设BC的解析式为y=kx+b，将B、C点坐标代入，得，解得，BC的解析式为y=x4E在线段BC上，设E点坐标为（m， m4）当CD=DE时，即（m3）2+（m4）2=25，解得m1=0，m2=8（不符合题意舍去），当m=0时， m4=4，E1（0，4）； 当EC=DE时，（m8）2

18、+（m4）2=（m3）2+（m4）2，解得m3=，当m=时， m4=4=，E2（，）； 当CD=CE时，（m8）2+（m4）2=25，解得m4=8+2，m5=82（不符合题意舍），当m=8+2时， m4=，即E3（8+2，）；综上所述：所有符合条件的点E的坐标为E1（0，4）； E2（，）；E3（8+2，）9如图，直线y=x+b与二次函数y=x2+x4交于A、B两点，与y轴交于点C，是否存在这样的b，使得AOB是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出b；若不存在，说明理由【解答】解：直线y=x+b与二次函数y=x2+x4，x+b=x2+x4，解得：x1=，x2=，可以求得A、B的交点坐标分别为

19、：B， +b，A，+b，AOB=90，由勾股定理得：OA2+OB2=AB2，（）2+（+b）2+（+b）2=（2）2+（+b+b）2，b22b8=0解得：b1=4或b2=210如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，3），C（0，3）（1）求此函数的解析式和对称轴；（2）试探索抛物线的对称轴上存在几个点P，使三角形PAB是直角三角形，并求出点P的坐标【解答】解：（1）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，3），C（0，3），解得，此函数的解析式为y=x22x3，对称轴为直线x=1，即直线x=1；（2）设对称轴与x轴的交点为D，则AD=31

20、=2，如图1，点A是直角顶点时，过点B作BEx轴于E，A（3，0），B（2，3），BE=3，AE=32=1，PAD+BAE=PAB=90，PAD+APD=18090=90，APD=BAE，又ADP=AEB=90，ABEPAD，=，即=，解得PD=，点P的坐标为（1，）；如图2，点B是直角顶点时，过点B作BEx轴于E，作BF对称轴与F，则AE=1，BF=21=1，DF=BE=3，ABE+PBE=90，PBF+PBE=90，ABE=PBF，又AEB=PFB=90，ABEPBF，=，即=，解得PF=，PD=DFPF=3=，点P的坐标为（1，）；如图3，点P是直角顶点时，过点B作BE对称轴于E，1+2

21、=18090=90，1+3=18090=90，2=3，又ADP=PEB=90，APDPBE，=，即=，整理得，PD23PD+2=0，解得PD=1或PD=2，点P的坐标为（1，1）或（1，2），综上所述，在对称轴上存在P1（1，），P2（1，），P3（1，1），P4（1，2）共4个点，使PAB是直角三角形11如图，二次函数y=x2+bx+c图象经过原点和点A（2，0），直线AB与抛物线交于点B，且BAO=45（1）求二次函数解析式及其顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得BCD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（1）将（0，0）、（2，0）代入函数的

22、解析式得：，解得：二次函数的解析式为y=x22x点（0，0）与（2，0）关于x=1对称，抛物线的对称轴为x=1将x=1代入得：y=1点C的坐标为（1，1）（2）BAO=45，直线AB的一次项系数为1设直线AB的解析式为y=x+b，将（2，0）代入得：2+b=0，解得：b=2直线AB的解析式为y=x+2如图1所示：当ADC=90时ADC=90，CDAB直线CD与直线AB的一次项系数的乘以为1直线CD的一次项系数为1设直线CD的解析式为y=x+b将C（1，1）代入得：1+b=1解得：b=2，直线CD的解析式为y=x2将y=x+2与y=x2联立得：解得：x=2，y=0点D的坐标为（2，0）如图2所示

23、：当BCD=90时将y=x+2与y=x22x联立得：，解得：或，点B的坐标为（1，3）设直线BC的解析式为y=kx+b，将（1，3）、（1，1）代入得：，解得：直线BC的解析式为y=2x+1CDBC，直线CD的一次项系数为设直线CD的解析式为y=+c，将点C的坐标代入得： =1解得：c=直线CD的解析式为y=将y=x+2与y=联立得：解得：点Q的坐标为（，）由图形可知CBD=90的情况不存在综上所述，点Q的坐标为（2，0）或（，）12如图：已知，直线l1l2，垂足为y轴上一点A，线段OA=2，OB=1（1）请直接写出A、B、C三点的坐标；（2）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A、B、

24、C，求出函数的解折式；（3）（2）中的抛物线的对称轴上存在P，使PBC为等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标【解答】解：（1）由已知得；A（0，2），B（1，0），根据射影定理得：OC=4，故C（4，0）；（2）先将B、C点坐标代入解析式得：求得：再将C点代入解析式可得：c=2，所以解析式为y=x2+x+2；（3）易知BC=4（1）=5，抛物线的对称轴为x=1.5若存在符合条件的P点，根据等腰直角三角形的性质可知：|yP|=BC=2.5，故：P（1.5，2.5）或P（1.5，2.5）13已知二次函数y=x2+bx+c图象的对称轴是直线x=2，且过点A（0，3）（1）求b、c的值；（2）求出该二

25、次函数图象与x轴的交点B、C的坐标；（3）如果某个一次函数图象经过坐标原点O和该二次函数图象的顶点M问在这个一次函数图象上是否存在点P，使得PBC是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）二次函数y=x2+bx+c图象的对称轴是直线x=2，且过点A（0，3），代入得：=2，3=c，解得：b=4，c=3，答：b=4，c=3（2）把b=4，c=3代入得：y=x24x+3，当y=0时，x24x+3=0，解得：x1=3，x2=1，B？（3，0），C（1，0），答：二次函数图象与x轴的交点B、C的坐标分别是（3，0），（1，0）（3）存在：理由是：y=x24x+3，=

26、（x2）21，顶点坐标是（2，1），设一次函数的解析式是y=kx+b，把（0，0），（2，1）代入得：，解得：，y=x，设P点的坐标是（x，x），取BC的中点M，以M为圆心，以BM为半径画弧交直线于G、H，则G、H符合条件，由勾股定理得；（x2）2+=12，解得：x1=，x2=2，G（，），H（2，1）；过B作BFX轴交直线于F，把x=3代入y=x得：y=，F（3，），过C作CEX轴交直线于E，同法可求：E（1，），P的坐标是（，）或（2，1）或（3，）或（1，）答：存在，P的坐标是（，）或（2，1）或（3，）或（1，）14如图，在直角坐标系xoy中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点

27、B（1）已知OCAB于C，求C点坐标；（2）在x轴上是否存在点P，使PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1），令x=0，得y=2，令y=0，得，A点坐标是（，0），B点坐标是（0，2），OA=，OB=2，AB=4，在AOB中，AOB=90，OCAB于C，AO2=ACAB，作CDx轴于D，则ADC=AOB=90，又CAD=BAO，ACDABO，AD=，C点坐标为（，）；（2）存在满足条件的点P，0），0），0），0）15如图，已知二次函数y=ax24x+c的图象与坐标轴交于点A（1，0）和点C（0，5）（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交

28、点B的坐标（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，2），连接OP，找出x轴上所有点M的坐标，使得OPM是等腰三角形【解答】解：（1）根据题意，得，解得，二次函数的表达式为y=x24x5，当y=0时，x24x5=0，解得：x1=5，x2=1，点A的坐标是（1，0），B（5，0），答：该二次函数的解析式是y=x24x5，和它与x轴的另一个交点B的坐标是（5，0）（2）令y=0，得二次函数y=x24x5的图象与x轴的另一个交点坐标B（5，0），由于P（2，2），符合条件的坐标有共有4个，分别是M1（4，0）M2（2，0）M3（2，0）M4（2，0），答：x轴上所有点M的坐标是（4，0）、（2，0）、（2，0）、（2，0），使得OPM是等腰三角形专心-专注-专业