奥数综合除法与余数定理
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1、精选优质文档-倾情为你奉上奥数综合除法与余数定理【内容综述】数学运算既要求正确,还要求迅速。简化运算方法与步骤,是速算的一种重要途径。例如,应用正负数的概念,可以把有理数的加减法统一为加法,即求代数和,把两种运算转化成一种运算,就是一种了不起的简化。同样地,整式的加减法也可以统一成加法,即合并同类项,进而简化为求同类项系数的代数和,把代数式的运算转化为数的运算,又是一种了不起的简化。本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。【要点讲解】1、综合除法在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。由多项式除法我们可以推得(此处用表示关于x的多项式)除以的商式系数和余数有如下规律:商式的最高次项
2、系数就是(按降幂排列后)的第一项系数,把这个数乘以b加的第二项系数得商式的次高次项系数,以此类推最后得余数。例1 计算()分析 把除式变成形式用综合除法,解:,商式为,余式为-38说明 用综合除法计算时要注意:(1)被除式与除式按降幂排列后的缺项要用0补足;(2)除式要变成的形式(b可以是负数)例2 用综合除法计算(1);(2)解:(1)商式为,余式为-3(2)用除,只需先以除,再把求得的商用2除,而余数不变。商式为,余式为。说明 一般地,多项式除以一次二项式 ,用综合除法先将多项式除以,所得的商式除以p就是所求的商式,所得的余数就是所求的余数。2、余数定理若多项式f(x)除以的商式为p(x)
3、,余数为r,则当时,(此处表示多项式中x用数值b代入后计算出的数值),从而有下面的定理。余数定理 多项式除以()所得的余数等于。特别地,当时,我们称多项能被整除,即()是的因式,这也称为因式定理。由余数定理易知多项式除以的余数就是的多项式的值。余数定理告诉我们,可以不做除法求除以的余数;反过来在计算复杂时也可以用综合法求。例3 一个关于x的二次多项式,它被除余2,它被除时余28,它还可被整除,求。解: 设由题意得解得 a=3,b=1,c=2。说明 因能被整除,所以是的因式,于是可设,再由,列出a,b的方程求解。例4 利用余数定理判断能否被a-b,a+b整除。分析 含,即把看成是含字母a的多项式
4、,要判断能否被a-b,a+b整除,即判断,是否为零。解:令=当a=b时,故能被a-b整除;当a=-b时,故当n为偶数时,能被a+b整除,当n为奇数时,不能被a+b整除,余式为.例5 试确定a和b,使能被整除。解:由于,因此,若设,假如能被整除,则x+1和x+2必是的因式,因此,当x=-1,即 当x=-2时, 即 由,联立,则得时,能被整除。思维训练题A级1、当多项式除以多项式时,其余式为( )。(A)2 (B)-2 (C)2x-2 (D)-2x-22、多项除以多项式x-3所得余数为( )。(A)-71 (B)71 (C)-59 (C)593、若多项式含有因式x-1和x-2,则mn=_。4、求(除以的商式和余式。B级5、设,以1991除x,所得余数是( )。(A)0(B)1(C)2(D)46、已知,则值为( )。(A)30(B)-30(C)32(D)-327、如果,则_。8、已知是二元二次式的一个因式,则a+b= 。9、已知能被整除,试求a,b的值。参考答案A级1、(C)。2、(D),提示:利用余数定理。3、-100,提示:利用余数定理,得从而m=-5,n=20。4、商式=,余式=B级5、(B),提示:6、(C),提示:含,得即。7、5,提示,=。8、-3,提示:含x=y=1,则原式为零,即。9、含因能整除,因此由余数定理,当时,即由此得a=11,b=-6。专心-专注-专业
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