简约与对称是大自然设计理念

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1、“简约与对称”是大自然设计理念“简约与对称”是大自然的设计理念“对称性”和“最小作用量原理”是物理学规律中 的规律“我想知道上帝是如何创造这个世界的，对这个或那个 现象、这个或那个元素的谱我并不感兴趣。我想知道的是他的 思想， 其它的都只是细节问题。”A.爱因斯坦1. 对称性是大自然的设计理念对称韦氏大字典中的诠释是：“比例均衡、匀称”。其涵义和艺术的审美观相联，大自然在最基础的根基上 是按美来设计的。在千变万化、缤纷多姿的表象中潜藏着内 在深邃的美简捷、对称、和谐塑造了世界。对称性在量子理论中定义为 ：事物在一组变动中保持不 变的性质。 万物皆动，那动中的不动便是规律；这是动与静 的关联，变

2、与不变的哲学。人们把这种变动称为对称性变换，保持不变的性质又可以表述为不可观测性或不可区分 性，于是对称性又和守恒定律联系起来。2. 对称性与守恒定律德国数学家凭借灵感提出著名的诺特尔定理：作用量的每一种连续对称性都有一个守恒量与之对应。这意味着，有一种不可观测量就有一个守恒定律：空间位置的不可观测性对应动量守恒；在时间平移下作用量保持不变，则能量守 恒；空间旋转不变性对应角动量守恒举例说明：空间位移的不变性导出动量守恒定律。1 V只与两球的相O F1 r1r2 20 F2假定两球 的相互作用势能为 V(r1r2)。对位置有关，与绝对位置无关。r1 r2 设球1受力为：F1VV(r1r2)r1

3、r1r2 球 2 受力为：F2VV(r1r2)r2两球的绝对位置不可分辨(或者说，两球受力与两球所在坐标原点设在那里无关)，假定原点离球很远，可近似的看 作r1r2,合力：FF1F2(即:F1VV0 r1r1F2,牛顿第三定律)dP0,(动量P是恒量)。dt亦即：F绝对位置的不可测不但导出动量守恒，也能导出牛顿三定律。物理学中的对称性和守恒律不可观测量 绝对位置 绝对时间 绝对空间方向 绝对 的左和右 绝对的电荷正负 绝对的时间方向 全同粒子 状 态的绝对位相 数学变换 空间位移rr时间平移tt转动rr 空间反演rr电荷反演ee时间反演tt置换规范变换 守 恒定律动量守恒能量守恒角动量守恒宇称

4、守恒（P）电 荷共轭（守恒）（C）时间反演（守恒）（T）玻色-费米统计 相 空间转动电荷不变 eiq 诺特尔定理之美在于它的普适性， 它不依赖于作用量的细节；一个物理学的理论可以总结为一 个作用量的变化，这个理论的对称性就明白地表现在各种变 换作用下作用量的不变性。3. 对称性破缺与认识论质量是对称性破缺的原因一张白纸好画最美的图画，一个什么也没有的真空，具有高度的对称性。当然“真空不空”，偶然地涨落使某处分子云集结（质量发生了变化）,对称性即被破坏一一因而质 量的变化引起对称性的破缺。质量与能量是一回事，因而也 与作用力相关。于物质的“大数规则”和每时每刻都在不停 地变化、变动中，“相碍缘起

5、”，在时间的长河中大小不同 的扰动时刻都改变着本来对称的事物，引起无数对称性破 缺，造就了如此缤纷的世界。所涉及粒子数目的难以置信的大，弥补了万有引力的难 以置信的弱，这种质、能悬殊差异的互补凸显了造物的微妙； 恰在不大不小的人类世界，则不大不小的电磁力主宰。）为什么会对称性破缺 大自然趋稳，所以要对称性的破缺对称性破缺分两种，自发性对称破缺和非自发对称性破缺；一根木棍，在越来越大的力量下弯曲，系统失稳，出现 内应力。应力达到一定阈值，棍子突然折断，断为两截的棍子 是稳定系统。这是外力作用下的非自发对称破缺。生物物种的形成源于基因的突变，同一物种具有某些特 征的不可区分性。物种在适应环境变化中

6、基因不断改变，如 果基因变异引起物种某些特征的变化，在后代繁衍进化中能 消失，则物种系统是稳定的。如果变异积累到一定大小，群 体差异使物种系统失稳到一定程度，物种将分裂，单一物种 被破坏，新物种产生，整体系统趋稳。这是自发性对称破缺。 大自然喜欢最小付出原则，所以要对称性的破缺自然的变化遵循简约原则例如，光在不同媒质中为什么会发生折射？数学家费马 （16011665）提出的费马原理：“光所选择的是使它到达目的地所花时间最短的那条路 径”，解释了折射的原因。图中观察者看水中的人，有两条途径：TBE和TAE,前者距离虽近，但水中路程较远；于光在水中传播要比空气中慢，故选择TAE路线，人体发生了折射

7、，身长变短。的路径。有了费马原理，就有了全部几何光学，我们可以从费马原理出发导出所有的几何光学定理。）最小作用量原理费马原理是最小作用量原理在几何光学中的特例，此可 以推导出所有几何光学定律。同样力学中也存在一个最小作 用量原理，令作用量 S在运动中取最小值：此可以导出牛顿第二定律F=ma和全部经典力学。 物体在自然受力状态下，总是取能量最低状态。例如，悬链状态，如图把一个铁链子的两端系在水平的棒上，铁链子会形成一条美妙的悬链线。有个曲线方程描述其受力状态，铁链子在这一状态下 重力势能最低。此例是公式动能为 零的特例。又如，水滴在真空无重力情况下呈球形， 表面势能最小， 在重力下成表面势能最小

8、的扁圆形贴附于表面物体上。尽管叫“最小作用量原理”，实际上作用量不一定最小，它可 以是极小值、极大值或者恒定值，重力势能最低实际上是作 用量取极大值的情况。正如庞加莱所说：“作为普遍的原理，最小作用量原理 和守恒原理具有极高的价值，他们是在许多物理定律的陈述 中寻求共同点时得到的，因此，他们仿佛代表着无数观察的 精髓”。最小作用量原理应用于电磁学、热学、物理、化学和量 子力学等各科学领域，在各领域作用量S各有自己的退化方 式。就连广义相对论也是建立在最小作用量的基础上；定性 的说，光在弯曲的时空中走的是光程最短的路径，虽然在我 们的眼中它并不是直线，但是就像在球面上划一条长度最短 的线不是直线

9、一样，光在弯曲时空中光程最短的路径也是弯 曲的。CPT原理物质的性质取决于物质微观结构的内在对称性，对称是 相对的，不对称是绝对的；高对称性对应着体系状态的高简 并度和体系更多的对称性破缺的可能性。宇称守恒P是个不严格的对称性；人体是左右对称的，但又不是绝对的对称。1956年，李政道和杨振宁发现了宇称 不守恒 左右对称被破坏，是因为中微子的自旋具有倾向 性 “上帝是左撇子”。P对称性破缺指左变成右是可以区别的。事实上，大自然于细微处不光左右不对称，正、反物质也 不对称；这是于电荷的不可区分性被破坏，C对称性破缺 是指正、反粒子变换的可区别性。假如有两个世界的人要接触 ，那可要当心呐，闹不好 要

10、湮灭的。首先要验明正、反物质，即要识别各自所带电荷的正负性 .这 件事中性K介子的两种衰变的衰变率的些微不同而得到解决：O(KLe)O(KLe) 正是这一微小的差别使得两个世界的物质可以通过测定各自的K介子的衰变率来确定电荷的正负，从而判定其物质的正反异同。在C、P联合变换下，世界是可区别的。但是，如果再加上 T对称性破缺_时间反演的可区别 性，即C、P、T同时做一次对称性变换，则所有的物理定 律都不变，这就是李政道1956年提出的著名的 CPT定理，CPT对称性是个严格的对称性。4. 群论是描述对称性的数学群 是一组事物在规定的乘法关系下满足四个条 件：封闭性、结合律、有单位元和逆元，则构成

11、群。群论是 近世代数中的一种，是研究对称变换的数学。链接资料：1831年，伽罗华(Galois)首次提出群的概念，并利用置 换群(对称性)证明了五次代数方程不能用常规算法求解。早期的物理、数学发展与群论并无关系，直到19世纪 末,群论方法与微分方程结合拓宽了群论的应用，使有限群的理论发展到连续群.这通常与Sophus Lie(1893) 的名字联系在一起。1890年费德罗夫(Federov)和熊夫利(Schoenflies) 用 群论(空间群)解决了晶体分类问题。1929年,斯莱特(Slater)用群论计算了复杂原子光谱的谱项能，开创了群论在物理化学中的应用.20世纪初，群论与拓扑学结合形成了

12、拓 扑群理论，成为近世代数的一个重要分支。1942年1949年,拉卡(Racah)利用连续群理论发展了 复杂光谱理论.从此群论在量子化学中得到广泛应用。直至20世纪80年代后，二次量子化的李代数方法、酉 群方法、不可约张量方法等特殊的群论方法在化学中及其配 位场理论中得到广泛发展.进而，时至今日群论方法的应用比对称本身更重要，但其实质还是利用严谨的数学方法探索事物内在的对称性。对称性的群论描述(1) 置换对称性 全同粒子位置交换的不可区分性，如原子中电子；用置换群描述。(2) 变换对称性 连续空间的变换，如晶体点阵的平 移、滑移和螺旋移动；用空间群描述。球对称的原子结构：全旋转群描述。分子结构

13、：空间的离散变换一用点群描述。(3)规范对称性一种内在的抽象对称性，比如：“水涨船高”、” 状态函数与路径无关”、”收入和经济指标在通涨中同步增长”；连 续群描述。（4）无标度对称性 大到小的“缩放”对称性，测量标 度改变下的不变性（大的是小的成比例放大）,又叫“分形”，比如海岸线的测 量；用重整化群描述。（自然界除了规则的多边形 ，更多的是破碎的不规则几 何图形，如浮云、流水、窗上的霜花、远山的轮廓、海岸线等，科学家给它起了 个很有特征的名字分形 意指具有分数维的 几何图形， 这种破碎的几何图形中存在着纵向无标度、统 计的缩放相似性即重整化）。重整化是关于具有不同特征长度 （标度）的物理过程

14、 间的相互联系，或称为（事件）的“纵向相似性”，统称为：无 标度对称性。（5）超对称性一种高维空间的整体（总）对称性，它 将玻色子和费米子统一起来；如超旋、 M-理论有望统一四种力，建立大统 一理论；用超群描述。基本粒子标准模型理论物理学就是综合利用群论方法概括了基本粒子内禀对称性，得到较为合理的基本粒子标准模型U(1)对称性(一个参量，位相)描述电、磁场的规范对称性，简化了麦克斯韦方程，统一了电磁场。11 SU(2)对称性 _(两个参量，同位旋,)用同位旋量 子数，统一中子和质子22(注:1932年海森堡曾建议，在研究核力时将质子(相 对质量 m=)和中子(m=)看成是同一粒子(核子)的两个

15、状态， 用SU(2)群描述，称为同位旋空间)。SU(3)对称性_用色荷(红、黄、蓝)、味荷(u、d、s、 c、b、t)描述强作用。(注:1961年盖尔曼利用 U(3)群导出基本粒子的强子的 八重态，预言的未知粒子已为实验证实存在)。最终，物理学家将以上三种对称性组成直积群，建立了基本粒子标准模型：SU(3) x SU(2) x U(1)。SU(3) x SU(2) x U(1)模型描述了真空对称性的自发破缺,也统一了强、弱、电磁三种作用力。基本粒子标准模型 和三种力的统一模型是当今科学界承认的探索物质终极结 构的综合理论。群论与量子化学群论在量子化学中的应用，粗略的可以列举如下：(1).对体系

16、的状态进行对称性分类，建造多电子组态等。(2).简化多电子体系的量子化学计算。(3) .找出微扰(或变分)理论对称性降低的子群链，破解 能级简并度。(4).确定光谱的选律，建立矩阵元之间的关 系，计算矩阵元。体系状态分类的基础是对易子：R,0假定R是分子所属点群的对称操作,R与时间(t)无关； 令对称操作(R)作用于薛d(q,t)R(q,t), 定谔方程：R(idtd 显然,若 RR, 则:iR(q,t)R(q,t),dt即,R(q,t)仍是体系的状态，条件是 R与可对易：RR- RR0 - R,0在作用下的分子，其所属点群的对称操作 R只交换等同 原子,不改变分子的构型，因而在对称操作 R的

17、作用下不变， 体系的能量也不变,从而可以利用对称性使体系状态(按能量)分类。群论在量子化学中的广泛应用，特别是在光谱解析中的应用，使得应用群论的化学文献越来越多，致使当今要想深入学习和理解化学理论不了解群论和量子化学几乎是不可 能的。为要了解群论及其在量子化学中的应用，首先要了解线性代数和矩阵的基本知识；这三者之间的关系介绍的大致 是：线性代数群论-量子化学行列式 群的概念群论在量子化学中的应用：矩阵分子对称操作群对称性匹配函数线性方程组 约化、变换对称性杂化轨道矩阵本征值广义正交定理光谱选律矩阵元为零的判据5.对称性对思维方法的启示以往传统物理学的研究多是“从实验一理论一实验检验理论”的归纳

18、方法，现代物理学向物质更深层微观结构和 更广泛的宇观体系发展，从实验出发的研究方法受到限制； 更多是用“理论一实验一修正理论一实验”的演绎方法，两 种方法的结合为对称性的应用拓宽领域。(1)思维方式的对称性实际上，爱因斯坦在发现他的引力理论时，遵循的就是从一些简单的物理事实出发推出的对称性设定理论的方法。假定坐标以速度沿 x轴匀速运动。2tx/ct12/c2则洛伦兹变换为，xtx,yy,zz221/c洛伦兹变换不变性断言：两个做匀速相对运动的观察者感受到同样的物理实在。爱因斯坦就是从此对称性出发导出了相对论的引力理论，统一了时空观和质能关系。思维的对称性和对称性思维有同样的功效，德布罗意就是利

19、用爱因斯坦的光子波粒二象性导出实物粒子也具波粒二象性： 既然作为通常认为是波的光子有粒子性，为什么 通常认为是粒子的实物粒子不能有波性呢？！此才出现了量子力学。（2）设定对称性法依据一定事实材料设定图像、符号、结构格式等对称模 型，从而导向群论做出理论预言，交实验验证。与爱因斯坦同样，麦克斯韦在洛伦兹变换下统一了电磁 场理论，狄拉克从物质对称性推出反物质的存在，建立了相 对论量子力学。从复杂物质的化学性质设定可能所含的分子基团，确定 局部对称性；再根据群论解析可能出现的图谱强度和峰值， 与实物图谱对照。（3）提升对称性法都知道，低对称性的复杂事物，在高对称性下可能十分 简单，令人豁然开朗。例如

20、，对称填补法、对称平衡法和对 称空间升降法等都是从对称原理出发，把旧有的概念、命题 或理论中不对称项填补、调整、改造使体系处于新的对称平 衡状态；进而找到尚缺的物质或提出更高的理论，在更高的 思维空间俯视现有的复杂事物。如1970年格拉肖注意到，夸克与轻子有更好的对称性，4种轻子的其中3种与3种夸克对称，唯独轻子没有与之对称的夸克；格拉肖在新的对称 性指导下大胆地预言了存在粲夸克C,补上空缺使轻子和夸克对应。1974年丁肇中发现了 /J粒子证实了预言。此外，量子化学多粒子体系计算的酉群方法中，高对称的连续 群链对称性下降方法是最常用的高对称性数学空间降解法。“简约与对称”是大自然的设计理念“对

21、称性”和“最小作用量原理”是物理学规律中 的规律“我想知道上帝是如何创造这个世界的，对这个或那个 现象、这个或那个元素的谱我并不感兴趣。我想知道的是他的 思想， 其它的都只是细节问题。”A.爱因斯坦1. 对称性是大自然的设计理念对称韦氏大字典中的诠释是：“比例均衡、匀称”。其涵义和艺术的审美观相联，大自然在最基础的根基上 是按美来设计的。在千变万化、缤纷多姿的表象中潜藏着内 在深邃的美简捷、对称、和谐塑造了世界。对称性在量子理论中定义为 ：事物在一组变动中保持不 变的性质。 万物皆动，那动中的不动便是规律；这是动与静 的关联，变与不变的哲学。人们把这种变动称为对称性变换，保持不变的性质又可以表

22、述为不可观测性或不可区分 性，于是对称性又和守恒定律联系起来。2. 对称性与守恒定律德国数学家凭借灵感提出著名的诺特尔定理：作用量的 每一种连续对称性都有一个守恒量与之对应。这意味着，有一种不可观测量就有一个守恒定律：空间位置的不可观测 性对应动量守恒；在时间平移下作用量保持不变，则能量守恒；空间旋转不变性对应角动量守恒举例说明：空间位移的不变性导出动量守恒定律。1 V只与两球的相O F1 r1r220 F2假定两球的相互作用势能为 V（r1r2）。对位置有关，与绝对位置无关。r1 r2 设球1受力为：F1VV（r1r2）r1r1r2 球 2 受力为：F2VV（r1r2）r2两球的绝对位置不可

23、分辨（或者说，两球受力与两球所在坐标原点设在那里无关），假定原点离球很远，可近似的看 作r1r2,合力：FF1F2（即:F1VV0 r1r1F2,牛顿第三定律）dP0,（动量P是恒量）。dt亦即：F绝对位置的不可测 不但导出动量守恒，也能导出牛顿三定律。物理学中的对称性和守恒律不可观测量 绝对位置 绝对时间 绝对空间方向 绝对 的左和右 绝对的电荷正负 绝对的时间方向 全同粒子 状 态的绝对位相 数学变换 空间位移rr时间平移tt转动rr 空间反演rr电荷反演ee时间反演tt置换规范变换 守 恒定律动量守恒能量守恒角动量守恒宇称守恒（P）电荷共轭（守恒）（C）时间反演（守恒）（T）玻色-费米统

24、计相 空间转动电荷不变 eiq 诺特尔定理之美在于它的普适性， 它不依赖于作用量的细节；一个物理学的理论可以总结为一 个作用量的变化，这个理论的对称性就明白地表现在各种变 换作用下作用量的不变性。3. 对称性破缺与认识论质量是对称性破缺的原因一张白纸好画最美的图画， 一个什么也没有的真空 具有高度的对称性。当然“真空不空”，偶然地涨落使某处分子云集结（质量发生了变化）,对称性即被破坏一一因而质 量的变化引起对称性的破缺。质量与能量是一回事，因而也 与作用力相关。于物质的“大数规则”和每时每刻都在不停 地变化、变动中，“相碍缘起”，在时间的长河中大小不同 的扰动时刻都改变着本来对称的事物，引起无

25、数对称性破 缺，造就了如此缤纷的世界。所涉及粒子数目的难以置信的大，弥补了万有引力的难 以置信的弱，这种质、能悬殊差异的互补凸显了造物的微妙； 恰在不大不小的人类世界，则不大不小的电磁力主宰。）为什么会对称性破缺大自然趋稳，所以要对称性的破缺对称性破缺分两种，自发性对称破缺和非自发对称性破缺;一根木棍，在越来越大的力量下弯曲，系统失稳，出现 内应力。应力达到一定阈值，棍子突然折断，断为两截的棍子 是稳定系统。这是外力作用下的非自发对称破缺。生物物种的形成源于基因的突变，同一物种具有某些特 征的不可区分性。物种在适应环境变化中基因不断改变，如 果基因变异引起物种某些特征的变化，在后代繁衍进化中能

26、 消失，则物种系统是稳定的。如果变异积累到一定大小，群 体差异使物种系统失稳到一定程度，物种将分裂，单一物种 被破坏，新物种产生，整体系统趋稳。这是自发性对称破缺。 大自然喜欢最小付出原则，所以要对称性的破缺自然的变化遵循简约原则例如，光在不同媒质中为什么会发生折射？数学家费马（16011665）提出的费马原理：“光所选择的是使它到达目的地所花时间最短的那条路 径”，解释了折射的原因。图中观察者看水中的人，有两条途径：TBE和TAE,前者距离虽近，但水中路程较远；于光在水中传播要比空气中慢，故选择TAE路线，人体发生了折射，身长变短。的路径。有了费马原理，就有了全部几何光学，我们可 以从费马原

27、理出发导出所有的几何光学定理。）最小作用量原理费马原理是最小作用量原理在几何光学中的特例，此可 以推导出所有几何光学定律。同样力学中也存在一个最小作用量原理，令作用量 S在运动中取最小值：此可以导出牛顿第二定律 F=ma和全部经典力学。物体在自然受力状态下，总是取能量最低状态。例如，悬链状态，如图把一个铁链子的两端系在水平的棒上，铁链子会形成一条美妙的悬链线。有个曲线方程描述其受力状态，铁链子在这一状态下 重力势能最低。此例是公式动能为 零的特例。又如，水滴在真空无重力情况下呈球形， 表面势能最小， 在重力下成表面势能最小的扁圆形贴附于表面物体上。尽管叫“最小作用量原理”，实际上作用量不一定最

28、小，它可 以是极小值、极大值或者恒定值，重力势能最低实际上是作 用量取极大值的情况。正如庞加莱所说：“作为普遍的原理，最小作用量原理 和守恒原理具有极高的价值，他们是在许多物理定律的陈述 中寻求共同点时得到的，因此，他们仿佛代表着无数观察的 精髓”。最小作用量原理应用于电磁学、热学、物理、化学和量 子力学等各科学领域，在各领域作用量S各有自己的退化方式。就连广义相对论也是建立在最小作用量的基础上；定性 的说，光在弯曲的时空中走的是光程最短的路径，虽然在我 们的眼中它并不是直线，但是就像在球面上划一条长度最短 的线不是直线一样，光在弯曲时空中光程最短的路径也是弯 曲的。CPT原理物质的性质取决于

29、物质微观结构的内在对称性，对称是 相对的，不对称是绝对的；高对称性对应着体系状态的高简 并度和体系更多的对称性破缺的可能性。宇称守恒P是个不严格的对称性；人体是左右对称的，但又不是绝对的对称。1956年，李政道和杨振宁发现了宇称 不守恒 左右对称被破坏，是因为中微子的自旋具有倾向 性 “上帝是左撇子”。P对称性破缺指左变成右是可以区别的。事实上，大自然于细微处不光左右不对称，正、反物质也 不对称；这是于电荷的不可区分性被破坏，C对称性破缺 是指正、反粒子变换的可区别性。假如有两个世界的人要接触 ，那可要当心呐，闹不好 要湮灭的。首先要验明正、反物质，即要识别各自所带电荷的正负性.这件事中性K介

30、子的两种衰变的衰变率的些微不同而得到解决：O(KLe)O(KLe)正是这一微小的差别使得两个世界的物质可以通过测 定各自的K介子的衰变率来确定电荷的正负，从而判定其物质的正反异同。在C、P联合变换下，世界是可区别的。但是，如果再加上T对称性破缺_时间反演的可区别性，即C、P、T同时做一次对称性变换，则所有的物理定 律都不变，这就是李政道1956年提出的著名的 CPT定理，CPT对称性是个严格的对称性。4. 群论是描述对称性的数学群是一组事物在规定的乘法关系下满足四个条件：封闭性、结合律、有单位元和逆元，则构成群。群论是 近世代数中的一种，是研究对称变换的数学。链接资料：1831年，伽罗华(Ga

31、lois)首次提出群的概念，并利用置 换群(对称性)证明了五次代数方程不能用常规算法求解。早期的物理、数学发展与群论并无关系，直到19世纪 末,群论方法与微分方程结合拓宽了群论的应用，使有限群的理论发展到连续群.这通常与Sophus Lie(1893) 的名字联系在一起。1890年费德罗夫(Federov)和熊夫利(Schoenflies) 用 群论(空间群)解决了晶体分类问题。1929年，斯莱特(Slater)用群论计算了复杂原子光谱的 谱项能，开创了群论在物理化学中的应用.20世纪初，群论与拓扑学结合形成了拓扑群理论，成为近世代数的一个重要分支1942年1949年，拉卡（Racah）利用连续群理论发展了复杂光谱理论.从此群论在量子化学中得到广泛应用。直至20世纪80年代后，二次量子化的李代数方法、酉 群方法、不可约张量方法等特殊的群论方法在化学中及其配 位场理论中得到广泛发展.进而，时至今日群论方法的