牛顿的流数术

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1、6.4 牛顿的流数术牛顿微积分理论研究的工作大致经历了三个阶段：第一阶段，像他的前人那样使用静态的无穷小量观点，凭借二项式定理的推广形式，使微积分的计算方法变得程序化；第二阶段，用变量流动生成法，创造了流数术基本概念体系；第三阶段则用“最初比与最末”方法完善其流数术的思想。在不断的发展和变化中形成了其特有的微积分理论体系。6.4.1 二项式定理的推广对于（a+b）n的展开式中系数的表述，在杨辉（1261年）和帕斯卡（1653年）的著作中已经出现。而牛顿对它的贡献在于：给出了求二项式系数的公式，并且将指数n从整数推广到了有理数和负数（大约150年后，挪威数学家阿贝尔证明了所有复指数都成立的二项式

2、定理）。尽管牛顿没能对自己的发现提供完整的证明，但他的见识和直觉，以及巧妙的应用，都十分令人叹服。1676年，牛顿在给友人的信中，提到了自己早年发现的二项式定理，使用现代的方法它可以表示为 ：=1+Q+其中牛顿写到：“用这一定理进行开方运算非常简便”。例如求的近似值的方法如下：7 = 9（）= 9（1），则= 3代入牛顿二项式定理，并取前6项，得：= 3（1）= 2.645 76如果取二项式展开式中更多项，就可以得到更精确的近似值。牛顿二项式定理是他在1665年大学期间得到的，其中涉及到无穷级数，这为他的微积分研究提供了工具。牛顿应用无穷级数，建立了曲线下面积的计算方法，其基本原理相当于现今的

3、积分法则“和函数的积分是各函数积分的和”。这使得积分学的研究取得了突破性的进展。1669年牛顿写了第一篇有关微积分的论文。这篇论文沿袭了费马、巴罗所使用的无限小算法思想，借助于二项式定理而拓广了无限小算法的应用范围。在这篇论文中，牛顿采用了面积无限小矩形（牛顿称之为“瞬”），亦即无穷小增量的思想。他指出：如果平面曲线下的面积（曲边梯形）面积的公式是 则曲线的公式是y =。事实上，假如横坐标的瞬或无限小增量为o，则新的横坐标是x + o，面积为Z + oy = a用二项式定理把展开，减掉Z= ，然后用o除两边，最后舍去那些包含o的项，结果就是。牛顿进一步指出：反之，如果曲线是，则曲线下的曲边梯形

4、的面积便是 Z =。牛顿运用二项式定理进行微积分的计算，使他的方法可以适用于更加广泛的函数，而不再象费马等人的方法只适用于有理函数。在牛顿以前都是把求积问题归结为无限小量求和问题，而牛顿则首先确定面积的瞬间变化率，这个量就是曲线的纵坐标，然后把这一关系颠倒过来而达到求积分的目的。求切线问题与求积问题是互逆关系，牛顿的老师巴罗已经知道，给出了一条纯粹几何的命题。牛顿的贡献，是把它转化成微分和积分两种运算的互逆关系。在这篇论文中，牛顿还给出了求不定积分运算的若干条性质，用现在的符号表示是：k y d x = ky d x，y1d xy2d x =（y1y2）dx等等。6.4.2 流数法1671年，

5、牛顿在其流数法与无穷级数中给出了流数法的概念和符号。牛顿把一条曲线看作是由一个点的连续运动生成的，而时间是基本的自变量。依照这个概念，生成点的横坐标和纵坐标，一般是变动的量。变动的量被称为流（Fluent），流的变化速度（即变化率）称为它的流数（Fluxion）。如果一个流（比如，生成一条曲线的点的纵坐标）用 y表示，则这个流的流数用表示。它相当于现在的符号dy/dt，在这里，t表示时间。牛顿还引进另一个概念，他称之为流的矩。指的是流（例如x）在无穷小的时间间隔o中增加的无穷小量，即在无限小时间内流的增量。于是，流x的矩由乘积o给出。牛顿指出：在任何问题中，可以略去所有包含o的二次或二次以上幂

6、的项。这样，我们就能得到曲线生成的坐标x和y与它们的流数 和关系的方程。下面是流数法的一个例子。考虑三次方程x3ax2 + axyy3 = 0 ，以x+o代替x，以y +代替y，得：x3+3x2（o）+3x（o）2+（o）3ax22ax（o）a（o）2+axy+ay（o）+a（o）（）+ax（）y33y2（）3y（）2（）3=0然后利用x3ax2 + axyy3= 0，把余下的项除以o，再舍弃所有包含o的二次或二次以上幂的项，便可以得到： 3x22ax+ax+ay3y2=0由此不难解得/ ，求出我们今天所谓的微分dy /dx。6.4.3 最初比与最终比在牛顿的流数法中，将无穷小增量“瞬”做为基

7、本单位，在和别的量一道参加运算时，有时用它做除数，有时又将含“瞬”的项舍去不计。这样，瞬就成了既是他又不是零的量。显然在逻辑上是矛盾的。牛顿在1676年写的论文曲线的求积以及1687年出版的自然哲学的数学原理一书中，力图回避开实无限小量，对瞬概念重新加以说明，引进了“最初比“与”最后比”的概念，从实无限小量观点转向了极限观点。在这些著作中，牛顿不再强调数学的量是由不可分割的最小单元构成，而认为它是由几何元素经过连续运动生成的，他写到：“我认为数学量不是由最小单元构成的，而是由连续运动生成的，直线并不是由最小单元构成的，而是由点运动而成；面由直线运动而成，立体由面运动而成，角由边旋转而成，时间由

8、连续运动而成，等等。”在此基础上给流数概念下了定义之后，牛顿写道：“流数之比非常接近于在相等但却很小的时间间隔内生成的流量的增量比，确切地说它们构成增量的最初比”。牛顿还借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比。他举例说明了这种新思想：为了求y = xn的流数，设x经均匀流动变为x + o， xn则变为（x + o）n = xn + naxn-1 +o2 x n-2+，构成两变化的“最初比”为：然后设增量o消逝，即令o0 时，得到它们的最末比就是。这也是x的流数与xn的流数之比，即变化率。这就是所谓的“最初比与最终比方法”。它相当于求函数自变量与因变量变化之比的极限，因而为以后极限理论

9、的创立提供了潜在的基础。在上述解法中，牛顿将“略去含o的项”改为“当增量o消逝”，是其思想方法的一大改变。他在自然哲学的数学原理中指出：所谓消逝量这个说法中蕴含着默认连续量没有不可分割部分的存在，而连续量之所以连续就在于它可以无限制的被分割，这个说法还蕴含着承认在无限分割步骤中消逝的过程，这就从原先的实无限小量观点摇摆到量的无限分割过程即潜无限观点上去了。牛顿预见到最初的比与最末比的方法可能遭受的批评，并意识到争论的焦点将在于“最末比”概念，于是对什么是“最末比”作了进一步说明：“消逝量的最末比实际上并非最末量之比，而是无限减小的量之比所趋向的极限。它们无限接近这个极限，其差可小于任意给定的数，但却永远不会超过它，并且在这些量无限减小之前也不会达到它。”