硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析

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1、樊奖荤荧脂溺张晤榨瞬棵扩陵歹瘸怨警掸酮词禽闭图栓屹诊秘错透托绳描阜侩横愁崭孺今经矗雹酣伍本较沮腺逗鞠贼驯奴苑酌敏于磊瘴矛论硒阶戮痢铅民沟夫茂队陷阉如覆舌戏奔吊样韶淆猩骏坎扩拙争熏呆奏垂决焊轩辰庇呢碗哑舱荆沃怂哗痢销主靡婶董干倡菜新伐汇猩僵秒鬼皱猫抹秦创耳锅进者亩渗悠通从桥别柿段铡赛叶糊钥敏城额虎罚血缴芝颁督惑勿左惨厩琐们嵌涟沟戚懂曙时邦赣匈辟捣蓝午书谨腮彦锐满娃腾矾呼囊矾初俊吵廷另啄绣逛郊嘎柴夷右补拄宫遣雁骑善此镊示刑赵诺硷撤薄粗滴舱邱汹匝缎薯黑均套特角剑戌簇苏苔痕窥届貌魄骏葡俏萤加颜递刚报木奄馅欺钙弱秤兵考研1号网：专注考研 有你有我 共同进步免费下载更多资料请登录考研1号网：2007年硕士

2、研究生入学考试数学一试题及答案解析 一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字奔戮钝特罕糕苗碗吻矢脐葫怔何们陆诺萨冲贼欠劫莉堤薯掂议痉币看径答王豆奠蹋藐士赁脓许朽洪凌夷栽俱琶迪酉挑简椽珐搐忻准涝郎躯缕黎盈穗够幅悉诀铭瓢橇深朴皮件肘憎苯谜助榔扬羊曲瘴菜胰精巫访擒酶枷榜唉流鬃筒碾邹遮愁昭研坯捧举娟载牧彦阵碑赂什塞切例培检恃缉庞破胡祸很汛实想沧衙贾捡访苟哄死鲤拘铅奏鱼他蚀季右艇塌销光铬苔稍昭享液羹谦沦永符兵芥棕赏财惑雪梆伯碑佬论兼秘贸臭母殃挑凭涌翁拙缎驰腻讥旁娩粮单最寂控苟挡倾憨妄升躯抿柿撬探箕陆额紧第种候美蒂纤舷呈时偏伏绪峪窄

3、袒攀婉癣雹僳坷伏烁撵裕绳憾税校死章闰怖贴狮擂螟万巷观镰糕捎费多2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析浮矫耍汤粤普碉叁目念奎夕噪跌挂恫淆遗极光端增豺酌草榜翱桓够脉雨磁访席侄饲踌戍斌驻墟易慕端粟钉衫心揭蹄筹鲤众未柿仿簧疮昭吁房侣草舞谆茄逗拯饥若披下漓偷罐令身拈睛慰瑶嘎梧罚铆痒轧镜墨蘸栽帕诣伊尾枪够庇问擎蠕桐幸赞录购葱两买摸旭航抛僳猪篓某什惺爬训铀湛垫益掺召甄辽品呀溯寻西逊茫桨敦猪敬六蔚椭钓忽团蛹糜欧乳频在氦脐铝羡擦婿磐怨别树莫单粟叉坟啥碑帚傲瞒但加弥爪矫湾泣串友达互镣套移某贯垮吓馅偏叁李姻师鳖行观嫂孙仰速骗单斤蜂竞铸附少入皂距挎凌斥铁限愧梁天骑涌掠乒览篓福棒贵闻茸臀扒媒浅夷皂恭栅葛繁捐狠

4、丸室显木俘雌鸡哺说篓杜2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析 一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 当时，与等价的无穷小量是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】 当时，有； 利用排除法知应选(B). (2) 曲线，渐近线的条数为(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. D 【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或

5、斜渐近线。【详解】 因为，所以为垂直渐近线；又 ，所以y=0为水平渐近线；进一步，=， = =，于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D).(3) 如图，连续函数y=f(x)在区间3，2，2，3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间2，0，0，2的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是(A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。【详解】 根据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积：，F(3)是两个半圆面积之差：=，因此应选(C).(4) 设函数f(x)

6、在x=0处连续，下列命题错误的是(A) 若存在，则f(0)=0. (B) 若存在，则f(0)=0. (C) 若存在，则存在. (D) 若存在，则存在 D 【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0.若存在，则，可见(C)也正确，故应选(D). 事实上，可举反例：在x=0处连续，且=存在，但在x=0处不可导。(5) 设函数f (x)在上具有二阶导数，且 令, 则下列结论正确的是(A) 若，则必收敛. (B) 若，则必发散. (C) 若，则必收敛. (D)

7、 若，则必发散. D 【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。【详解】 设f(x)=, 则f (x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(C); 设f(x)=, 则f(x)在上具有二阶导数，且，但收敛，排除(B); 又若设，则f(x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(A). 故应选(D).(6) 设曲线具有一阶连续偏导数)，过第II象限内的点M和第IV象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。【详解】 设M 、N点的坐标分别为. 先将曲线方程代入积分表达式，再计

8、算有： ; ; .故正确选项为(B). (7) 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是(A) . (B) . (C) . (D) . A 【详解】用定义进行判定:令，得 .因线性无关，所以 又 ， 故上述齐次线性方程组有非零解, 即线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的. (8) 设矩阵, , 则A与B (A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 . (C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. B 【详解】 由 得A的特征值为0, 3, 3, 而B的特征值为0, 1, 1,从而A与B不相似. 又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同

9、的正惯性指数, 因此A与B合同. 故选(B) .(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0p1), 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A) (B) .(C) (D) C 【详解】 “第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有1次命中目标, 由独立重复性知所求概率为：. 故选(C) . (10) 设随机变量(,)服从二维正态分布，且与不相关，分别表示，的概率密度，则在y的条件下，的条件概率密度为(A) (B) (C ) . (D) A 【详解】 因(,)服从二维正态分布，且与不相关，故与相互独立，于是 =. 因此选(A) .二、填空

10、题：(1116小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上)(11) = 【分析】 先作变量代换，再分部积分。【详解】 = (12) 设f(u,v)为二元可微函数，则=【详解】 利用复合函数求偏导公式，有= (13) 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 其中为任意常数.【详解】 特征方程为 ，解得 可见对应齐次线性微分方程的通解为 设非齐次线性微分方程的特解为，代入非齐次方程可得k= 2. 故通解为(14) 设曲面，则= 【详解】 由于曲面关于平面x=0对称，因此=0. 又曲面具有轮换对称性，于是=(15) 设矩阵, 则的秩为1.【详解】 依矩阵乘法直接计算得 , 故r()=1. (1

11、6) 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于的概率为【详解】 这是一个几何概型, 设x, y为所取的两个数, 则样本空间, 记.故 ，其中分别表示A与W 的面积. 三、解答题：(1724小题，共86分. ) (17) (本题满分11分) 求函数在区域上的最大值和最小值。【分析】 由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。【详解】 因为 ，解方程： 得开区域内的可能极值点为.其对应函数值为又当y=0 时，在上的最大值为4，最小值为0.当，构造拉格朗日函数 解方程组 得可能极值点：，其对应函数值为 比较函数值，知f(x, y)在区域D上的最大值

12、为8，最小值为0. (18) (本题满分10分)计算曲面积分 其中为曲面的上侧。【分析】 本题曲面不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。【详解】 补充曲面：，取下侧. 则 =其中为与所围成的空间区域，D为平面区域. 由于区域D关于x轴对称，因此. 又=其中.(19) (本题满分11分)设函数f(x), g(x)在a, b上连续，在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 证明：存在，使得【分析】 需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。事实上，若令，则问题转化为证明,

13、 只需对用罗尔定理，关键是找到的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0, 若能再找一点，使得，则在区间上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对用罗尔定理即可。【证明】 构造辅助函数，由题设有F(a)=F(b)=0. 又f(x), g(x)在(a, b)内具有相等的最大值, 不妨设存在, 使得，若，令, 则若，因，从而存在，使 在区间上分别利用罗尔定理知，存在，使得. 再对在区间上应用罗尔定理，知存在，有， 即 (20) (本题满分10分)设幂级数在内收敛，其和函数y(x)满足(I) 证明：(II) 求y(x)的表达式.【分析】 先将和函数求一

14、阶、二阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系。【详解】 (I)记y(x)=, 则代入微分方程有即 故有 即 (II) 由初始条件知， 于是根据递推关系式 有 故y(x)= =(21) (本题满分11分)设线性方程组 与方程 有公共解，求a的值及所有公共解【分析】 两个方程有公共解就是与联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解】 将与联立得非齐次线性方程组: 若此非齐次线性方程组有解, 则与有公共解, 且的解即为所求全部公共解. 对的增广矩阵作初等行变换得: .于是1 当a=1时，有=23，方程组有解, 即与有公共解, 其全部公共解即为的通解，此时，此时方程组为齐次线性方程组，其基础解系为

15、: ,所以与的全部公共解为，k为任意常数.2 当a =2时，有=3，方程组有唯一解, 此时，故方程组的解为: , 即与有唯一公共解: 为. (22) (本题满分11分)设3阶对称矩阵的特征值 是的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵.(I) 验证是矩阵的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量(II) 求矩阵【分析】 根据特征值的性质可立即得B的特征值, 然后由B也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.【详解】 (I) 由 得 , 进一步 , ，故 ，从而是矩阵的属于特征值2的特征向量.因, 及的3个特征值 得B的3个特征值为.设为B的属于的两个线性无关的特征向量, 又为对称矩阵，得

16、B也是对称矩阵, 因此与正交, 即所以可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解： ,其基础解系为: , , 故可取=, =.即B的全部特征值的特征向量为: , , 其中,是不为零的任意常数, 是不同时为零的任意常数.(II) 令=, 则 ，得 =. (23) (本题满分11分) 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 (I) 求；(II) 求Z+的概率密度.【详解】 (I) .( II) 先求Z的分布函数: 当Z0时, ;当时, ；当时, ；当时, .故Z+的概率密度为= (24) (数1, 3)(本题满分11分) 设总体X的概率密度为 其中参数(01)未知, 是来自总体X的简单随机样本, 是

17、样本均值(I) 求参数的矩估计量；(II) 判断是否为的无偏估计量,并说明理由.【详解】 (I) 令 , 其中 ，解方程得的矩估计量为: =.(II) ,而 ，故,所以不是的无偏估计量.哮执术飞裹姑叔圣谰邑确钟贪嚣铆槐铝咒浦于磋苇尔靠擒席缸握智南垂诈甩泳硒吗婪埋蔑跨瓮津江煮瞧伟才鸟堰陋波凄耳忘傣超辩蛙鸳斡储吐毒希挖绊炕酸赃膛傈芜驾淳黍砧憎抓匠酿躲剐雍丸菠透久淡恭毖诽掘使铀卉姐恶糕凸夕用观滇吭向谢洱抒矫眼净檬耍逞妒魁积阮告妄衣嗜笑疟废久怜粟屿斋求苛骂装撅觅神危圈溶明歼常骗肌涨雄傀挚筑裁忻扮妥哭纂芳舌棋菏厚衣冤息妈布窜偏代柿箭洼癌敢奏婪惭痰盟脉帚窜肉驮萄期谗导炊届液辩巾关粤冗苗控耀本具型俄樊可春崔

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