新编高考数学理一轮知识点专题讲座：等差数列含答案

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1、【名师面对面】20xx届数学一轮知识点讲座：考点22等差数列（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标等差树立的定义、通项、前n项和与性质；等差数列性质的应用二.知识梳理1.等差数列的定义: 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示2.等差数列的判定方法:定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列3.等差数列的通项公式:如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为，该公式整理后是关于n的一次函数4.等差数列的前n项和

2、: ，对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数5.等差中项:如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项6.等差数列的性质:等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有对于等差数列，若，则也就是：若数列是等差数列，是其前n项的和，那么，成等差数列，如下图所示：7.奇数项和与偶数项和的关系：设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则有如下性质：前n项的和当n为偶数时，其中d为公差；当

3、n为奇数时，则，（其中是等差数列的中间一项）8.前n项和与通项的关系：若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，则三考点逐个突破1.等差数列的通项例1.（1） 已知数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN)在函数f(x)3x22x的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.解析(1)由已知点(n，Sn)(nN)在函数f(x)3x22x的图象上，可得Sn3n22n.当n2时，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5，当n1时，a1S11也适合上式，an6n5.(2)bn()，Tn()(1).（2） 如果一个等差数列的前12项和为354，前12

4、项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差；分析：等差数列的奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列，等差数列中通项公式和前n项和公式中五个量，只要知道其中三个，就可以求其它两个，而是基本量解：设等差数列首项为，公差为d，则2.等差数列的前n项和例2 .设an是公比为正数的等比数列，a12，a3a24.(1)求an的通项公式；(2)设bn是首项为1，公差为2的等差数列，求数列anbn的前n项和Sn.解析(1)设等比数列an的公比为q，由a12，a3a24得2q22q4，即q2q20，解得q2或q1(舍)，q2，ana1qn122n12n(2)数列bn12(n1)2n1，Snn122n1n2

5、2.3.等差数列性质的应用例3.(1)已知等差数列an的前n项和为Sn，且，则A. B. C. D.答案D解析设a1a2a3a4A1，a5a6a7a8A2，a9a10a11a12A3，a13a14a15a16A4，数列an为等差数列，A1、A2、A3、A4也成等差数列，不妨设A11，则A22，A33，A44，故选D(2) 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数解：设数列共2m+1（mN*）把该数列记为an依题意a1+a3+a2m+1=44 且a2+a4+a2m=33 即 (a2+a2m)=33（1） (a1+a2m)=44 （2） （1）（2）得m

6、= 3代入（1）得a2+a2m = 22am+1=11即该数列有7项，中间项为114.有关等差数列的最值问题例4.（1）设等差数列an的前n项和为Sn已知a3=12, S120,S130()求公差d的取值范围；()指出S1,S2,S12,中哪一个值最大,并说明理由解： ()依题意,有 ，即由a3=12,得 a1=122d (3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得 ， ()由d0可知 a1a2a3a12a13因此,若在1n12中存在自然数n,使得an0,an+10,则Sn就是S1,S2,S12中的最大值由于 S12=6(a6+a7)0, S13=13a70，即 a6+a70, a70由此得

7、a6a70因为a60, a70,故在S1,S2,S12中S6的值最大(2) 设等差数列an的前n项和为Sn且S150，S160，则，中最大的是A. B. C. D.答案C解析0S1S2S9S10S150S16，a1a2a80a9，最大,故选C5.等差数列的综合运用例5.(1)在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列求点的坐标；设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，求的通项公式解：（1）（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为设的方程为：把

8、代入上式，得，的方程为：，=（3），T中最大数设公差为，则，由此得说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出，解决（3）的关键在于算出及求数列的公差（2）已知等差数列an中，公差d0，前n项和为Sn，a2a345，a1a518(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(nN*)，是否存在一个非零常数c，使数列bn也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由分析第(1)问是求等差数列的通项公式，需要知道首项a1和公差d的值，由条件a2a345，a1a518建立方程组不难求得；第(2)问是构造一个等差数列bn，可考虑利用等差数列的定义，研究使bn1bn(nN*)为一个常数时需要满足的条件解析(1)由题设知an是等差数列，且公差d0，则由得解得所以an4n3(nN*)(2)由bn，因为c0，所以可令c，得到bn2n.因为bn1b n2(n1)2n2(nN*)，所以数列bn是公差为2的等差数列即存在一个非零常数c，使数列bn也为等差数列