2020中考数学专题复习：二次函数与特殊三角形问题

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2020中考数学 三轮培优冲刺 二次函数与特殊三角形问题（含答案）1. 已知抛物线过A(2，0)，B(0，2)，C(，0)三点一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q，设点P的运动时间为t秒(1)求该抛物线的解析式；(2)当BQAP时，求t的值；(3)随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使MPQ为等边三角形？若存在，请直接写出t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设抛物线的解析式为yax2bxc(a0)，抛物线经过A(2，0)，B(0，2)，C(，0)三点， ，解得，抛物线的解析式为yx2

2、x2.(2)如解图，当t2时，点Q在点B下方，第1题解图AQPB，BOAP，AOQBOP90，PAQPBO，AOBO2，AOQBOP(ASA)，OQOPt ，BQBOOQ2t，APAOOP2t，BQAP, 2t(2t)，解得t；如解图，当t2时，点Q在点B上方，第1题解图同理可证AOQBOP，OQOPt，BQOQBOt2，APAOOP2t，BQAP，t2(2t)，解得t6.综上，当t或6时，BQAP.(3)存在，当t1时，抛物线上存在点M(1，1)，当t33时，抛物线上存在点M(3，3)【解法提示】由(2)知OPOQ，OPQ是等腰直角三角形，MPQ是等边三角形，点M在线段PQ的垂直平分线上，由

3、于直线PQ的垂直平分线为直线yx，又点M在抛物线上，联立抛物线与直线yx可得,，解得或.M(1，1)或(3，3)当M(1，1)时，如解图，过点M作MDx轴于点D，第1题解图则有PD|1t|，MP21(1t)2t22t2，PQ22t2，MPQ是等边三角形，MPPQ，MP2PQ2即t22t22t2，解得t11，t21(舍去)；当M(3，3)时，如解图，过点M作MEx轴于点E，第1题解图则有PEOEOP3t，ME3，PQ22t2，MP2(3t)232t26t18，MPQ是等边三角形，MPPQ，即MP2PQ2，t26t182t2，解得t133，t233(舍去)，综上所述，当t1时，抛物线上存在点M(1

4、，1)，使得MPQ是等边三角形；当t33时，抛物线上存在点M(3，3)，使得MPQ是等边三角形2. 如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.(1)若直线ymxn经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；(2)在抛物线的对称轴x1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标第2题图解：(1)由题意得，解得，抛物线的解析式为yx22x3.对称轴为直线x1，抛物线经过A(1，0)，B(3，0)设BC的解析式ymxn，

5、把B(3，0)，C(0，3)分别代入ymxn得，解得，直线BC的解析式为yx3；(2)如解图，连接MA，第2题解图MAMB，MAMCMBMC.使MAMC最小的点M应为直线BC与对称轴x1的交点设直线BC与对称轴x1的交点为M，把x1代入直线yx3，得y2.M(1，2); (3)设P(1，t)，B(3，0)，C(0，3)，BC218，PB2(13)2t24t2，PC2(1)2(t3)2t26t10.若B为直角顶点，则BC2PB2PC2，即184t2t26t10，解得t2；若C为直角顶点，则BC2PC2PB2，即18t26t104t2，解得t4；若P为直角顶点，则PB2PC2BC2，即：4t2t2

6、6t1018，解得t1，t2.综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：P1(1，2)，P2(1，4)，P3(1，)，P4(1，)3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc经过点A(0，6)和点C(6，0)(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的负半轴交于点B，试判断ABC的形状；(钝角三角形、直角三角形、锐角三角形)(3)抛物线上是否存在点P，使得PAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由第3题图解：(1)将A、C两点坐标代入yx2bxc，得，解得，抛物线的解析式为yx25x6；(2)当y0时，则有x25x60，(x1)(x6)0，解得x

7、11，x26(舍)，B(1，0)由两点之间的距离公式可得：BC2(1)6249，AC2(60)20(6)272，AB2(10)20(6)237，AB2BC2AC2，ABC为锐角三角形(3)存在满足条件的点，使得PAC为等腰三角形理由：如解图，过线段AC的中点M，作AC的垂直平分线交抛物线于点P，直线MP与抛物线必有两个交点都是满足条件的点P，第3题解图A(0，6)，C(6，0)，点M的坐标为(3，3)，kAC=，kMP=-1，设直线MP的解析式为y=-x+m，将M（3，-3）代入得-3=-3+m，即m=0，即直线MP的解析式为yx，联立，解得或，点P的坐标为(2，2)或(2，2)4. 如图，抛

8、物线yx2bxc与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)(1)求抛物线的解析式；(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线yxm与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PEEF的最大值；(3)点D为抛物线对称轴上一点当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标解：(1)由题意得，解得，抛物线的解析式为yx24x3；(2)如解图，过点P作PGCF交CB与点G，第4题解图由题可知，直线BC的解析式为yx3，OCOB3，OCB45.同理可知OFE45，CEF为等腰直角三角形，PGCF，GPE为等腰直角三角形，F(0，m)，C(0，3)，CF3m，EFCF(3m),

9、 PEPG，设P(t，t24t3)(1t3), 则G(t，t3)，点P是直线yxm与抛物线的交点，t24t3tm，则PEPG(t3tm)(m2t3)，PEEF(3m)(m2t3)(2t2m6)(tm3)(t24t) (t2)24，当t2时，PEEF最大，最大值为4；(3)由(1)知对称轴x2，设点D(2，n)，如解图.第4题解图当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，分两种情况讨论：()D在C上方D1位置时，由勾股定理得CDBC2BD，即(20)2(n3)2(3)2(32)2(0n)2 ，解得n5；()D在C下方D2位置时，由勾股定理得BDBC2CD，即(23)2(n0)2(3)2(20)2(

10、n3)2 ，解得n1，综上所述，当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为(2，5)或(2，1)5. 如图，抛物线yax22axc(a0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)(1)求该抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CKKN最小，并求出点K的坐标；(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)问：是否存在这样的直线l，使得ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由第5题图解：(1)抛物线经过点C(0，4)，A(4，0)，解得，抛物线的解析式为yx2x4；(2)由yx

11、2x4(x1)2可求得抛物线顶点坐标为N(1，)，如解图，作点C关于x轴的对称点C(0，4)，连接CN交x轴于点K，则点K即为所求，第5题解图设直线CN的解析式为ykxb(k0)，把C、N两点坐标代入可得，解得，直线CN的解析式为yx4，令y0，解得x，点K的坐标为(，0)；(3)存在要使ODF是等腰三角形，需分以下三种情况讨论：当DODF时，A(4，0)，D(2，0)，ADODDF2，在RtAOC中，OAOC4，OAC45，DFAOAC45，ADF90.此时，点F的坐标为(2，2)；令x2x42，解得x11，x21.此时，点P的坐标为(1，2)或(1，2)；当FOFD时，如解图，过点F作FM

12、x轴于点M.第5题解图由等腰三角形的性质得：OMOD1，AM3，在等腰直角AMF中，MFAM3，F(1，3)令x2x43，解得x11，x21.此时，点P的坐标为(1，3)或(1，3)；当ODOF时，OAOC4，且AOC90，AC4，点O到AC的距离为2.而OFOD22，在AC上不存在点使得OFOD2.此时，不存在这样的直线l，使得ODF是等腰三角形综上所述，存在这样的直线l，使得ODF是等腰三角形，所求点P的坐标为(1，2)或(1，2)或(1，3)或(1，3)6. 如图，抛物线yx2bx8与x轴交于点A(6，0)，点B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点P为线段AO上的一个动点，过点P作x轴

13、的垂线l与抛物线交于点E，连接AE、EC.(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；(2)连接AC交直线l于点D，则在点P运动过程中，当点D为EP中点时，求SADPSCDE；(3)如图，当ECx轴时，点P停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G，使AEG是以AE为直角边的直角三角形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，说明理由第6题图解：(1)点A(6，0)在抛物线yx2bx8上，0(6)2(6b)8，解得b，抛物线的表达式为yx2x8，令x0，得y8，C(0，8); (2)设点E(t，t2t8)，P(t，0)，点D为EP的中点，DPDE，D(t，t2t4)，A(6，0)，C(0，8)，设直线AC的解

14、析式为ykxd(k0)，将其代入得，解得，直线AC的解析式为yx8，点D在直线AC上，t8t2t4，解得t16(舍去)，t24，P(4，0)，AP2，OP4，；(3)存在如解图，连接EG，AG，过点G作GMl，GNx轴，垂足分别为M，N，第6题解图ECx轴，EPCO8，把y8代入yx2x8，则8x2x8，解得x0(舍去)或x2，P(2，0)，APAOPO4，()如解图，当AEG90时，MEGAEP90，AEPEAP90，MEGEAP，又APEEMG90，EMGAPE，设点G(m，m2m8)，则GNMPm2m8，EMEPMP8(m2m8)m2m，MGPNPOON2m，,，m2(舍去)或m，G(，

15、)；()如解图，当EAG90时，第6题解图NAGEAP90，AEPEAP90，NAGAEP，APEGNA90，GNAAPE，设点G(n，n2n8)，GNn2n8，ANAOON6n，n6(舍去)或n，G(，)，综上所述，符合条件的G点的坐标为(，)或(，)7. 如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)、B两点，与y轴交于点C(0，2)，抛物线的对称轴交x轴于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求sinABC的值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由第7题图解：(1)将点A(1，0)，C(0，2)代入抛物

16、线yx2bxc中得，解得，抛物线的解析式为yx2x2；(2)令yx2x20，解得x11（舍），x24，点B的坐标为(4，0)，在RtBOC中，BC2，sinABCsinOBC=；(3)存在，点P坐标为(，)或(，)或(，4)【解法提示】由抛物线yx2x2得对称轴为直线x，点D的坐标为(，0)CD.点P在对称轴x上，且CDP是以CD为腰的等腰三角形，当D为顶点时，有DPCD，此时点P的坐标为(，)或(，)；当点C为顶点时，连接CP，有CPCD，过点C作CGDP于点G，如解图，则DGPG，第7题解图DG2，PG2，PD4，点P的坐标为(，4)综上所述，存在点P使PCD是以CD为腰的等腰三角形，P点

17、的坐标为(，)或(，)或(，4)8. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bx8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE.已知点A，D的坐标分别为(2，0)，(6，8)(1)求抛物线的表达式；(2)分别求出点B和点E的坐标；(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB与直线l交于点Q.试探究：当m为何值时，OPQ是等腰三角形第8题图解：(1)抛物线yax2bx8经过点A(2，0)，D(6，8)，将A、D两点的坐标代入得，解得，抛物线的表达式为yx23x8；(2)yx23x8(x3)2，

18、抛物线的对称轴为直线x3，又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(8，0)设直线l的函数表达式为ykx，将点D(6，8)代入得6k8，解得k，直线l的函数表达式为yx，点E为直线l和抛物线对称轴的交点，点E的横坐标为3，纵坐标为34，即点E的坐标为(3，4)；(3)需分两种情况进行讨论：当OPOQ时，OPQ是等腰三角形，如解图，第8题解图点E的坐标为(3，4)，OE5，过点E作直线MEPB，交y轴于点M，交x轴于点H，则，OMOE5，点M的坐标为(0，5)，设直线ME的函数表达式为yk1x5，3k154，解得k1，直线ME的函数表达式为yx5，令y0，解得x15，点

19、H的坐标为(15，0)又MHPB，即，m；当QOQP时，OPQ是等腰三角形，如解图，第8题解图当x0时，yx23x88，点C的坐标为(0，8)，CE5，OECE，12，又QOQP，13，23，CEPB.设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为yk2x8，3k284，解得k2，直线CE的函数表达式为yx8，令y0，得x80，x6，点N的坐标为(6，0)CNPB.，解得m.综上所述，当m的值为或时，OPQ是等腰三角形9. 在平面直角坐标系中，抛物线yx22x3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D.(1)请直接写出点A，C，D的坐标；(2)如图，在x轴上找一点E，使得CDE的

20、周长最小，并求出点E的坐标；(3)如图，F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由第9题图解： (1)A(3，0)，C(0，3)，D(1，4)；(2) 如解图所示，作点C关于x轴对称的点C，连接CD交x轴于点E，此时CDE的周长最小C(0，3)，C(0，3)，设直线CD的解析式为y kx b，则有，解得 ，直线CD的解析式为y7x3，当y7x3中y0时，x，当CDE的周长最小时，点E的坐标为(，0)；(3)存在设直线AC的解析式为yaxc，则有 ，解得，直线AC的解析式为yx3，假设存在，设点F(m，m3)，AFP为等

21、腰直角三角形分三种情况(如解图所示)：第9题解图当PAF90时，P(m，m3)，点P在抛物线yx22x3上，m3m22m3，解得m13(舍去)，m22，此时点P的坐标为(2，5)；当AFP 90时，P(2m3，0)，点P在抛物线y x22x3上，0(2m3)22(2m3)3，解得m3 3(舍去)，m4 1，此时点P的坐标为(1，0)；当APF90时，P(m，0)，点P在抛物线yx22x3上，0m22m3，解得m53(舍去)，m61，此时点P的坐标为(1，0)综上所述，存在满足条件的点P使得AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为(2，5)或(1，0)10. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2

22、bxc的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(4，0)，连接AC，BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒连接PQ.(1)填空：b_，c_；(2)在点P，Q运动过程中，APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；(3)在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由第10题图 备用图解：(1)，4；【解法提示

23、】二次函数yx2bxc与x轴交于A(3，0)，B(4，0)，解得，(2)点P在AC上以每秒1个单位运动，APt，点Q在OB上每秒1个单位运动，OQt，AQt3，PAQ90，PQA90，若要使APQ是直角三角形，则APQ90，在RtAOC中，OA3，OC4，AC5，设PQ与y轴交于点D，如解图，第10题解图ODQCDP，DOQDPC90DQODCP，tanDQOtanDCP，APt, PQt，由勾股定理得：AQ2AP2PQ2，即(t3)2t2(t)2，解得t或t (舍去)，根据题意，点Q在OB上，0t4，不存在这样的t值满足题意；APQ不可能是直角三角形.(3)设存在点M使得PMQ是以点P为直角

24、顶点的等腰直角三角形，如解图，第10题解图过P作PEx轴于E，过M作MNPE于N，MPNPMN90，MPNQPE90，PMNQPE，在PMN和QPE中，PMNQPE(AAS)，PNEQ，MNPE，APt，cosCAO，sinCAO，AEt，PEt，MNt，ENPN-PE=EQPEAQAEPE3ttt3t，xMxEMNt3tt3，点M的坐标为(t3，t3)，点M在抛物线上，(t3)2(t3)4t3，整理得t265t225，解得t或t(舍)，综上，存在满足条件的点M，此时运动时间t为秒11. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(4，0)，C(8，0)，D(8，8)，抛物线yax

25、2bx过A、C两点，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PEAB交AC于点E.(1)求出点A的坐标和抛物线的表达式；(2)过点E作EFAD于点F，交抛物线于点G，当t为何值时，线段EG最长？(3)连接EQ，在点P、Q运动的过程中，是否存在某个时刻，使得以C、E、Q为顶点的CEQ为等腰三角形？如果存在，请直接写出相应的t值；如果不存在，请说明理由第11题图解：(1)点B的横坐标为4，点D的纵坐标为8，ADx轴，ABy轴，点A的坐标为(4，8)，将A(4，8)、C(8，0)两点坐标分别代入yax2b

26、x，得，解得，故抛物线的表达式为yx24x；(2)PEBC，APEABC，即，PEAPt，PB8t，点E的坐标为(4t，8t)点G的纵坐标为(4t)24(4t)t28.EGt28(8t)t2t，8(此时Q不在矩形的边上，舍去)；()当EQEC时，(t4)2(82t)2(4t8)2(8t)2，解得t0(此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去)或t.综上所述，存在t1，t2，t34016，能够使得以C、E、Q为顶点的CEQ为等腰三角形12. 如图，在平面直角坐标系中，直线y2x10与x轴、y轴相交于A、B两点，点C的坐标是(8，4)，连接AC，BC.(1)求过O、A、C三点的抛物线的解析式，并判断A

27、BC的形状；(2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为t秒，当t为何值时，PAQA?(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由第12题图解：(1)直线y2x10与x轴、y轴相交于A、B两点，A(5，0)，B(0，10)，设过O、A、C三点的抛物线的解析式为yax2bx(a0)，把点A(5，0)和C(8，4)代入可得，解得，抛物线的解析式为yx2x；A(5，0)，

28、B(0，10)，C(8，4)，AB2125，AC225，BC2100，AB2AC2BC2，ABC是直角三角形；(2)如解图，连接AP，AQ，当P，Q运动t秒，即OP2t，CQ10t，第122题解图在RtAOP和RtACQ中，RtAOPRtACQ，OPCQ，2t10t，t，OB10，BC10，t5.当运动时间为秒时，PAQA；(3)存在由题可得，抛物线的对称轴直线为x，设点M的坐标为( ，b)，利用点的坐标可求得AB210252125，MB2()2(b10)2，MA2()2b2，MAB是等腰三角形，可分以下三种情况讨论：当ABMA时，即125()2b2，解得b，即点M的坐标为(，)或(，)；当ABBM时，即125()2(b10)2，解得b10，即点M的坐标为(，10)或(，10)；当MBMA时，即()2(b10)2()2b2，解得b5，此时点A、M、B共线，故这样的点M不存在综上所述，存在点M，使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形，点M的坐标为(，)或(，)或(，10)或(，10)专心-专注-专业