数字特征

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1、 高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话:13965261699)数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题 母题(19-05):数字特征(514) 1313 数字特征 母题(19-05):(2011年江西高考试题)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为me,众数为mo,平均值为.则( )(A)me=mo= (B)me=mo (C)memo (D)mome解析:由图知这30个数据:2个3,3个4,10个5,6个6,3个7,2个8,2个9,2个10;所以,第15个数是5,第16个数是6中位数me=5.5;众

2、数m0=5;平均值=mome.故选(D).点评:数字特征是研究反映刻画一组数据的特征.特征数有:1.众数:一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数.众数作为一组数据的代表,通常用于描述分类变量的中心位置.一组数据的众数可以不止一个.2.中位数:将一组数据按照由小到大的顺序排列(相同的数据要重复排列),处在最中间位置的一个数据称为这组数据的中位数.如果数据的个数为奇数,则处于中间位置的数即是这组数据的中位数;如果数据的个数为偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.一组数据的中位数有且只有一个.3.平均数:一组数据分别为x1,x2,x3,xn,则=(x1+x2+x3+xn)叫做这组

3、数据的平均数.特别地:加权平均数公式:如果数据xi出现了ai次,且a1+a2+ak=n,则这n个数的平均数;平均数的性质:如果yi=xi+a,则=+a,其中,是x1,x2,xn的平均数,是y1,y2,yn的平均数.4.方差:极差:一组数据中最大的数与最小数的差称为这组数据的极差;方差:一组数据分别为x1,x2,x3,xn,则s2=(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(xn-)2叫做这组数据的方差.标准差:方差的算术平方根则叫这组数的标准差. 子题(1):(2012年江西高考试题)样本(x1,x2,xn)的平均数为,样本(y1,y2,ym)的平均数为().若样本(x1,x2,xn,y1,y

4、2,ym)的平均数=+(1-),其中0,则n,m的大小关系为( )(A)nm (C)n=m (D)不能确定解析:由=,=x1+x2+xn=n,y1+y2+ym=m=+=;由00nm.故选(A). 注:本题是选择题的倒数第二题,处于把关位置;本题仅考查平均数的定义,仅以平均数也能命制有一定难度的好题. 子题(2):(2013年湖北高考试题)某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则平均命中环数为 ;命中环数的标准差为 .解析:由=(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7S2=(7-7)2+(8-7)2+(4-7)2=4s=2. 注:本题说

5、明了平均数与方差的关系及计算顺序:先求平均数,再求方差. 子题(3):(2012年广东高考试题)由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为 (从小到大排列). 1314 母题(19-05):数字特征(514) 解析:不妨设x1x2x3x4,则x4=2;依题意得x1+x2+x3+x4=8,(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2+(x4-2)2=4(x4-2)242x44;当x4=4时,x1=x2=x3=2与x1+x2+x3+x4=8矛盾;当x4=3时,(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2=3x1=x2=1,x3=3这组数据

6、为1,1,3,3. 注:本题体现了平均数与方差的综合,是平均数与方差的逆向问题. 子题系列:1.(2004年北京春招高考试题)期中考试以后,班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M,如果把M当成一个同学的分数,与原来的40个分数一起,算出这41个分数的平均值为N,那么M:N为( )(A) (B)1 (C) (D)22.(2006年湖南高考试题)某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班,其中甲班40人,乙班50人,现分析两个班的一次考试成绩.算得甲班的平均成绩是90分,乙班的平均成绩是81分,则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 分.3.(2011年江苏高考试题)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10

7、,6,8,5,6,则该组数据的方差S2= .4.(2013年安徽高考试题)某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )(A)这种抽样方法是一种分层抽样 (B)这种抽样方法是一种系统抽样(C)这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 (D)该班级男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数5.(2005年江苏高考试题)在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下:9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.

8、4,9.7去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为( )(A)9.4,0.484 (B)9.4,0.016 (C)9.5,0.04 (D)9.5,0.0166.(2010年山东高考试题)样本中共有五个个体,其值分别为a,0,1,2,3若该样本的平均数为1,则样本方差为( )(A) (B) (C) (D)27.(2013年辽宁高考试题)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互相不相同,则样本数据中的最大值为 .8.(2014年陕西高考试题)设样本数据x1,x2,x1

9、0的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,10),则y1,y2,y10的均值和方差分别为( ) (A)1+a,4 (B)1+a,4+a (C)1,4 (D)1,4+a 子题详解:1.解:由题知全班40个人数学总成绩=40M这41个分数的和=40M+M=41MN=41M41=MM:N为1.故选(B).2.解:由题知甲班的总成绩=4090,乙班的总成绩=5081平均成绩=(4090+5081)90=85.3.解:由=7S2=3.2.4.解:由30:205:5抽样不成比例不是分层抽样;又因抽样间隔末知不是系统抽样;又五名男生成绩的平均数=90,方差S男2=8;五名女生成

10、绩的平均数=91,方差S女2=6.故选(C).5.解:由=9.5S2=0.016.故选(D).6.解:由样本a,0,1,2,3的平均数为1a+0+1+2+3=51a=-1样本方差=2,故选(D).7.解:设5个班级参加该小组的人数分别为x1,x2,x3,x4,x5,不妨设x1x2x3x4x5,则x5=7;依题意得x1+x2+x3+x4+x5=35,(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=20(x5-7)220x511;当x5=11时,(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2=4至少有两个数据相同,矛盾;当x5=10时,(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2=11x1=4,x2=6,x3=7,x4=8.故样本数据中的最大值=10.8.解:故选(A).