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1、导数的几何意义导数的几何意义311 . ?,.,的的几几何何意意义义是是什什么么呢呢导导数数么么那那附附近近的的变变化化情情况况在在数数反反映映了了函函处处的的瞬瞬时时变变化化率率在在表表示示函函数数导导数数我我们们知知道道0000 xfxxxfxxxfxf P1P2P3P4PTTTTPP xfy xfy xfy xfy OyxOyxOyxOyx211 .图图 1 2 3 4 ?,.什么什么是是趋势趋势化化变变的的割线割线时时趋近于点趋近于点沿着曲线沿着曲线当点当点图图如如察察观观nnnnPPxfxPxfnxfxP004321211 ?,.tan,有有什什么么关关系系呢呢的的斜斜率率斜斜率率与
2、与切切线线的的割割线线值值得得关关注注的的问问题题是是的的称称为为过过点点这这个个确确定定位位置置的的直直线线定定的的位位置置趋趋近近于于确确割割线线时时趋趋近近于于点点当当点点我我们们发发现现kPTPPlinegentPPTPPPPnnn切线切线 .,00 xxxfxfkPPnnnn 的斜率是割线容易知道 .lim.,.,00000 xfxxfxxfkkPTxxxfPTkPPxnn 即的斜率线处的导数就是切在函数因此的斜率无限趋近于切线时无限趋近于点当点 .,.,.近似代替近似代替的切线的切线就可以用过点就可以用过点曲线曲线附近附近在点在点因此因此附近的曲线附近的曲线最贴近点最贴近点的切线的
3、切线过点过点更贴近曲线更贴近曲线比比更贴近曲线更贴近曲线比比附近附近在点在点可以发现可以发现或动画演示或动画演示继续观察图继续观察图PTPxfPxfPPTPxfPPPPxfPPPPP 2312211.,.,.以直代曲以直代曲想方法想方法这是微积分中重要的思这是微积分中重要的思附近的曲线附近的曲线点点这这替替近似代近似代切线切线我们用曲线上某点处的我们用曲线上某点处的这里这里近似代替无理数近似代替无理数用有理数用有理数如如例例刻画复杂的对象刻画复杂的对象数学上常用简单的对象数学上常用简单的对象14163例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方处的切线方程程.222
4、100(1)1 (11)2|limlim2xxxxxxyxx 22(1)yx20 xy .,.,.附近的变化情况附近的变化情况在在述、比较曲线述、比较曲线请描请描据图象据图象根根图象图象的的数数时间变化的函时间变化的函示跳水运动中高度随示跳水运动中高度随它表它表如图如图例例21021056943112tttthttth 0l1l2lthO0t1t2t311 .图图.,的的变变化化情情况况刻刻画画曲曲线线在在动动点点附附近近利利用用曲曲线线在在动动点点的的切切线线 .,变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在我们用曲线解thtttxh210 .,.,几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行
5、于处的切线在曲线时当00001ttxltthtt .,.,附近单调递减在即函数降附近曲线下在所以的斜率处的切线在曲线时当11111102ttthttthltthtt .,.,单调递减附近也在即函数附近曲线下降在所以的斜率处的切线在曲线时当12222203ttthttthltthtt .,.附近下降得缓慢附近比在在这说明曲线程度的倾斜的倾斜程度小于直线直线可见从图2121311ttthll 0l1l2lthO0t1t2t311 .图图80.80.50.0010.20.30.40.60.70.90.01.11.10.20.30.40.50.60.70.90.01.11. mlmgc/ mint41
6、1 .图图 .,min.,.,.,.min:)/:(,.10806040204113精确到精确到率率物浓度的瞬时变化物浓度的瞬时变化血管中药血管中药时时估计估计根据图象根据图象函数图象函数图象变化的变化的单位单位随时间随时间位位单单物浓度物浓度表示人体血管中药表示人体血管中药它它如图如图例例 ttmlmgtfc 它表示从图象上看在此时刻的导数药物浓度就是度的瞬时变化率血管中某一时刻药物浓解,.,tf .在此点处的切线的斜率曲线tf.,.时变化率的近似值瞬可以得到此刻药物浓度估计这条切线的斜率利用网格线画出曲线上某点处的切如图411 .,.,.41804180 ft所以它的斜率约为处的切线作.,
7、这些值是否正确一下验证时变化率的估计值下表给出了药物浓度瞬 417004080604020. tft药物浓度的瞬时变化率 .lim,).()(,.,xxfxxfyxfyxfyfunctionderivativexfxxfxxfxxxxxfx 0000即即的导函数有时也记作的导函数有时也记作简称简称的的们称它为们称它为我我的一个函数的一个函数便是便是变化时变化时当当样样这这是一个确定的数是一个确定的数时时当当看到看到处导数的过程可以处导数的过程可以在在从求函数从求函数导函数导函数导数导数函数在点函数在点 处的导数处的导数 、导函数、导函数 、导数、导数 之之间的区别与联系。间的区别与联系。1）函数在一点 处的导数 ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 3）函数在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值，这也是 求函数在点 处的导数的方法之一。0 x0()fx( )fx0 xx0 x0()fx( )f x0 x0()fx0 x
113导数的几何意义
