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1、上海市虹口区高三4月高考模拟（二模）数学理试题（时间120分钟，满分150分）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、已知集合，则 2、函数（）的最大值等于 .3、在中，已知，则最大角等于 4、已知函数是函数且）的反函数，其图像过点，则 5、复数满足，则复数的模等于_ 6、已知，则 7、抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合，则双曲线的两条渐近线的夹角为 .8、某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中，数学不排在最后一节，体育不排在第一节的概率是 9、已知关于的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为 .10、等差数列的通项公式为，下列四个命题：数列是
2、递增数列；：数列是递增数列；：数列是递增数列；：数列是递增数列其中真命题的是 第12题11、椭圆，参数的范围是）的两个焦点为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且，则等于 12、设是半径为的球面上的四个不同点，且满足，用分别表示、的面积，则的最大值是 .13、在中，向量的终点在的内部（不含边界），则实数的取值范围是 14、对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中对于正整数，规定为的阶差分数列，其中若数列有，且满足，则 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、已知“”；“直线与圆相切”则是的（ ）充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件 既非充分也非必要条件16、若函数在区
3、间上存在一个零点，则实数的取值范围是（ ） 或 17、已知数列是首项为，公差为的等差数列，若数列是等比数列，则其公比为（ ） 18、函数在区间上可找到个不同数，使得，则的最大值等于（ ） 8 9 10 11三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点是母线的中点，是底面圆的直径，底面半径与母线所成的角的大小等于（1）当时，求异面直线与所成的角；（2）当三棱锥的体积最大时，求的值20、（本题满分14分）已知函数，其中为常数（1）求函数的周期；（2）如果的最小值为，求的值，并求此时的最大值及图像的对称轴方程.21、（本题满分14分）某市发放汽车牌照12万
4、张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张为了节能减排和控制总量，从开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变（1）记为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）从算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？22、（本题满分16分）函数的定义域为，若存在常数，使得对一切实数均成立，则称为“圆锥托底型”函数（1）判断函数，是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由（2）
5、若是“圆锥托底型” 函数，求出的最大值（3）问实数、满足什么条件，是“圆锥托底型” 函数23、（本题满分18分）如图，直线与抛物线（常数）相交于不同的两点、，且（为定值），线段的中点为，与直线平行的切线的切点为（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）（1）用、表示出点、点的坐标，并证明垂直于轴；（2）求的面积，证明的面积与、无关，只与有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连、，再作与、平行的切线，切点分别为、，小张马上写出了、的面积，由此小张求出了直线与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由上海市虹口区高三4月高
6、考模拟（二模）数学答案（理科）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、； 2、4； 3、 ； 4、； 5、； 6、3； 7、 ； 8、； 9、； 10、，； 11、； 12、2； 13、； 14、26 ；二、选择题（每小题5分，满分20分）15、； 16、； 17、； 18、；三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1） 连，过作交于点，连又，又，等于异面直线与所成的角或其补角，或5分当时，当时，综上异面直线与所成的角等于或8分（2）三棱锥的高为且长为，要使得三棱锥的体积最大只要底面积的面积最大而当时，的面积最大10分又，此时，12分20、（14分）解（1）4分.6分（2）的最小值为，
7、所以 故8分所以函数.最大值等于410分，即时函数有最大值或最小值，故函数的图象的对称轴方程为.14分21、（14分）解：（1） 9 8.5 3 4.5 6.75 2分当且，；当且，5分而，8分（2）当时，当时， 11分由 得，即，得 13分到2029年累积发放汽车牌照超过200万张14分22、（16分）解：（1），即对于一切实数使得成立，“圆锥托底型” 函数2分对于，如果存在满足，而当时，由，得，矛盾，不是“圆锥托底型” 函数4分（2）是“圆锥托底型” 函数，故存在，使得对于任意实数恒成立当时，此时当时，取得最小值2，7分而当时，也成立的最大值等于8分（3）当，时，无论取何正数，取，则有，不
8、是“圆锥托底型” 函数10分当，时，对于任意有，此时可取是“圆锥托底型” 函数12分当，时，无论取何正数，取有，不是“圆锥托底型” 函数14分当，时，无论取何正数，取，有，不是“圆锥托底型” 函数由上可得，仅当时，是“圆锥托底型” 函数16分23、（18分）解：（1）由，得，点2分设切线方程为，由,得，切点的横坐标为，得4分由于、的横坐标相同，垂直于轴6分（2），8分11分的面积与、无关，只与有关12分（本小题也可以求，切点到直线的距离，相应给分）（3）由（1）知垂直于轴，由（2）可得、的面积只与有关，将中的换成，可得14分记，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线与线段所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列的无穷项和，此数列公比为所以封闭图形的面积18分
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