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1、华南师范大学考研数学分析试题2000年华南师范大学数学分析一、填空题(3*10=30分)1.设an(1)nsinn,n1,2,，则liman,liman4nn-xx为有理数.2.设f(x)x，x：mtXR,则f(x)在x一处连续；X,x为无理数3.1xn3.limdxn01x14.lim(sinxcosx)xx05.方程x23xc0(c为实常数)在区间0,1中至多有个根;、一dx6 .设In2-v(n1,n为自然数)，写出In1的递推公式In1(xa)sinxcosy7 .设u(x,y)f(t)dt,f(t)是可微函数，则du8 .设f(x,y)在P0(2,0)处可微，且在P0处指向Pi(2,
2、2)的方向导数是1,指向原点的方向导数是-3,则在P0处指向P2(1,2)的方向导数是;9 .写出函数在x=0处的哥级数展开式：sin2x;3.3.10.曲线xacost,yasint,0t2的弧长s=.(12分)设f(x)在0,+8)上连续，limf(x)存在，证明：f(x)在0,+8)上可取得最大值或x最小值.三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程2,zzyf(一)所确定，其中f是可微函数，试证:y,222、zz_(xyz)2xy2xz.四、（12分）求极限：lim （ n n12n 1 n2 n 2).n 2n五、（12分）已知a,b为实数，且1ab,证明不等式：（a 1）1nb
3、（b l）lna六、（12分）计算曲面积分：I的外侧.xdydz y2dzdx z3dxdy.其中 S是球面 x2 y2 z2 1S七、（10分）设Un（x） 0,在a,b上连续,n=1,2,，nun（x）在a,b上收敛于连续函数 1f(x),证明：Un(x)在a,b上一致U敛于f(x).n1162003年华南师范大学数学分析111.、(12分)求极限lim().n1335(2n1)(2n1)、(12分)设D(x,y):1x1,1y1,求积分x2dxdy.nx二、(12分)证明L在a,b上一致收敛(其中，0ab+8)；在(0,+8)上不一致收敛;n11n3x3nx并证明：函数S(x)=一在(0
4、,+)上连续.33n11nx四、(12分)求第二型曲线积分白2y3dx1x3dy,其中，L:x22y21,取逆时针方向。L33五、(12分)f(x)是(a,+8)上的连续函数，求证：如果limf(x)和limf(x)都存在(有限),xax那么，f(x)在(a,+8)上一致连续。问：逆命题是否成立？如成立，请证明之；否则，请举反例。六、(15分)设f(x,y)dx关于yc,d一致收敛，而且，对于每个固定的yc,d,f(x,y)a关于x在a,+)上单调减少。求证：当x时，函数xf(x,y)和f(x,y)关于yc,d一致地收敛于0.2004年华南师范大学数学分析1n1.(12分)设20(1-)n,n
5、1,2,证明数列an严格单调增加且收敛。n2.(12分)求函数f(x)21x sin 一, x x0,x0的导函数，并讨论导函数的连续性。0、 一 2 ( 1),3.(12分)求哥级数( ) (xn 1 n1c1)n的收敛半径和收敛域。24.(12分)求函数f (x)1,0,(1)nx 0的Fourier级数，并由此求数列级数:0 x的和。2n 1(a,b),M0为心，r为5 .(12分)设f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导(0a0.020 x2sinnxdx,n0,1,2,.4 .(15分)判别函数列fn(x)*方,x(,)的一致收敛性.1 nx25.(15分)设x2y2z21,求二
6、和一2.xx7.(20分)设L是平面区域2用格林公式证明：(一 x的边界曲线，L光滑。u(x,y)在上二阶连续可微,2一)dxdyods.其中n是L上的单位外法向量，yLnn是u沿n方向的方向导数.8.(20分)设f(x)的导函数f(x)在0,1上连续，且f(0)0,证明瑕积分1).当1p0时，aa?anM,证明an收敛。5 .已知函数f(x)在a,+8)上连续，g(x)在a,+oo)上一致连续，Jimf(x)g(x)存在，证明f(x)在a,+)上一致连续。6 .f(x)在(-8,0)上有f(x3)f(x)，且limf(x)limf(x)f(1),xx0求证f(x)f(1),x(,0)7 .f
7、(x)、g(x)在a,+8)上可微，当xa时，有f(x)g(x)求f(x)f(a)g(x)g(a).8 .f(x,y)在D内关于偏导数y连续，fx(x,y)在D上存在且有界，求证f(x,y)在D上连续。9 .已知一条封闭曲线L,n为它的外法向量，1是任意方向的向量，求证口cos(l,n)ds0.L孝由弁北上普2003年招收研究生入学上生试试艰考试科口:蠹学分析与高等代数琏用皆业基础数学，应用数学，运筹控制一课程与教学论教学分析6题，高等代数5题,各占F分”共】福分一*（12分）求极限修域（占+3%+跖-1鼠包）二（上？分）设口“te：-1EhVLTMVW求枳分JJj-xdxdy三A分）证明殳彳
8、心3在也可上一致收敛（其中，fl-1ATl-工。bc+gh在（0,+ao）上不一致收敛；并证明，函数双刃=善田7在伍f）上连缀4 .（12分）求第二组曲线积分金-缈梃*/加其中.L.二=1,取逆时针方向.5 .6分）八0是风+8）上的连续函数.求正如果唔”和工亶工11）都存在（有限）那么./（!）在（nt-KX?）h-致连续.阿逆命题是否成立？如成立，请证明之；否则，请举反例.6 .C5分）设措0”工速的关于Vwk闻一致收敛,而且，对于每个阖定的V掩司，/口用）关于工在k+B）上单圜减少.求证E当工T+oo时T函数工工,整）和人%喇关于vW|cTdj一致地收敛于。.2004隼箱收*士5*&入学西，试科W：我班分析代WM*：QfMlh上也用*,计*:数坡JSJ峥后拄*论.爆。敛峥拎L（12分）设/=。+5、=1,2,A,证明数列12声格曲调增加且收敛.2. （12分）求函数/(t) =x sin-,的导困数,弁讨论号函数的连续性.3. （12分）求鼎蝮数之艮士1EJ1x-4V的收敛华役和收敛域,Mn心（12分）求函数1, 一开4XV。0,04jtfa的Foiiner级数.并由此求数顶级数1 *-+-*+A+（11）1-，+*.352n+l的和.S.（12分）设/（X）在叵切上连续.在（a,b）内可导（0abh）*fb）.证明；存在一.售（。,办使得
华南师范大学历年考研数学分析高等代数试题汇总
