排列组合的常见题型及其解法good

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1、排列、组合问题，在高考中所占比重不大，但试题都具有一定的灵活性、机敏性和综合性，在“倡导创新体系，提高素质教育”的今天，该类试题是最好的体现，由于有些问题比较抽象，且题型繁多，解法独特，再加上限制条件，容易产生错误。本文就排列、组合问题的常见题型的求解方法加以归纳，供大家参考。1、特殊元素优先法：对于含有限定条件的排列、组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。例1，用0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？解析因组成的三位数为偶数，末尾的数字必须是偶数，又0不能排在首位，故0是其中的特殊元素应优先安排。当0排在末尾时，有 个；当0不排在末尾时，有 个

2、，根据分类记数原理，其中偶数共有 个。例2，1名老师和4名获奖学生排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法多少种。解析优先考虑对特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上来排，有 种。剩下的位置由4名学生全排列，有 种。因此共有 种不同的排法。2、相邻问题捆绑法：对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”在一起看作一个元素与其它元素进行排列，然后再对这几个元素进行全排列。例3，5名学生和3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法共有 种。解析将3名老师捆绑起来看成一个元素，与5名学生排列，有 种排法；而3名老师之间又有 种排法，故满足条

3、件的排法共有 种。例4，计划展出10幅不同的画，其中一幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有多少种？解析把每种画捆绑在一起，看成一个整体，又水彩画较特殊，应优先安排。水彩画放中间，油画和国画放两端有 种排法。再考虑油画和国画本身可全排列，故排列方法共有 种。3、不相邻问题插空法：对于某几个元素要求不相邻的排列问题，可先将余下的元素进行排列，然后在这些元素形成的空隙中将不相邻的元素进行排列。例5，有10个学生，其中4人中任意两个不能站在一起，有多少种排列次序？解析先将其余6人进行排列，有 种；再把不相邻的4人分别排在前

4、6人形成的7个空隙中，有 种。所以共有 种排列次序。例6，有4名男生，3名女生站成一排，任何两名女生彼此不相邻，有多少不同的排法？解析由于要求女生不相邻，应先排男生，有 种；然后在男生形成的5个空隙中分别安排3名女生，有 种，所以共有 种。4、正难问题排除法：对某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂，不易解决时，可考虑从反面入手，将其等价转换为一个较简单的问题来处理。例7，从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有A、 140种 B、120种 C、 35种 D、 34种解析先不考虑附加条件，从7名学生中选出4名共有 种选法，其中不符合条件的是

5、选出的4人都是男生，即 种。所以符合条件的选法是 种，故选D。例8，四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有A、 150种 B、147种 C、 144种 D、 141种解析首先只要考虑从10个点中任取4个点的取法，有 种，然后再取掉“共面”的情况：其中一个面内的6个点中任意4点都共面，任取4点有 种；又每条棱与相对棱的中点共有6种；各棱的中点中4点共面的有3种。 故10个点中4点不共面的取法，共有 种。故选D项。5，多元问题合理分类与准确分步：对于约束条件较多的排列组合问题，可能的情况也较多，可根据结果要求，按元素性质进行分类，按时间发生的连续过程分步，做到分

6、类标准明确、分布层次清楚，不重不漏的原则。例9，如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？解析区域1与其它4个区域相邻，而其它器每个区域都与3个区域相邻，因此可以涂3种或4种颜色。涂3种颜色有 种方法；涂4种颜色有 种方法。因此共有24+48=72种不同的着色方法。例10，平面上4条平行直线与另5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有 个解析按构成矩形的过程可分为如下两步：第一步，先在4条平行直线中取两条，有 种；第二步，再在5条平行线中取两条，有 种，这样取出的4条直线构成一个矩形。根据乘法原理，构成的矩形

7、共有 个。6，定序问题除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个数的全排列数。例11，由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数小于十位数的共有A、 210种 B、300种 C、 464种 D、 600种解析：若不考虑附加条件，组成的六位数共有 个，而其中个位数与十位数的 种排法中只有一种符合要求，故符合要求的六位数共有 个，故选B项。若将题干中条件改为“个位数小于十位数且千位小于百位”则应为 种。再例：有1、2、3，.，9九个数字，可组成多少个没有重复数字，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字的5位数？

8、解析：思路一：19，组成5位数有。假设后三位元素是（A和B和C，不分次序，ABC任取）时（其中BCA）,则这三位是排定的。假设B、C、A这个顺序，五位数有X种排法，那么其它的-1个顺序，都有X种排法。则X*(-1+1)= ,即X= / . 思路二：分步。第一步，选前两位，有种可能性。第二步，选后三位。因为后三位只要数字选定，就只有一种排序，选定方式有种。即后三位有C3/7种可能性。则答案为* . 7，大小排列问题字典法：对于数的大小顺序排列问题，可以采用“查字典”的方法，逐位依次确定。例12，在由数字1、2、3、4、5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43512的数共有A、

9、 56种 B、57种 C、58种 D、 60种解析从高位向低位依次考虑，分3类：当首位是2时，若千位是4、5，则有 个；若千位是3，百位是4、5，则有 个；若千位是3，百位是1，则只有一个数即23154，故当首位是2时，共有12+4+1=17个。当首位是3时，有 个。当首位是4时，若千位是1、2，则有 个；若千位是3，百位是1、2，则有 个；若千位是3，百位是5，则只有一个数即43512，故当首位是4时，共有12+4+1=17个数。因此满足题意的数共有17+24+17=58个。故选C项。例13，用0、1、2、3、4五个数组成无重复数字的四位数，若按从小到大排列，3204是第几个数？解析 从高位

10、向低位依次考虑，分3类：当千位是1、2时，有 个。当千位是3时，若百位排0、1，有 个；若百位排2时，比3204小的仅有3201一个。故比4304小的四位数共有48+12+1=61个，所以3204是第62个。8，名额分配问题隔板法：对某些复杂的排列问题，可通过构造相应的模型来处理。例14，某校准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班级至少一人，名额分配方案共有多少种？解析处理次类问题一般构造一个隔板模型。取18枚棋子排成一列，在相邻的每两枚棋子形成的17个空隙中选取9个插入隔板，将18个棋子分隔成10个部分，第i（1i10）个部分的棋子数对应第i个班级学生的名额

11、，因此分配方案的种数与隔板的插入种数相等，即为 种。例15，某校准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，其中有些班级可能选不上，每班人数都在18人以上，名额分配方案共有多少种？解析同样是名额分配问题，但与前面问题有所不同，由于名额可空，即同一空隙中可插多个隔板，前面模型不再适用，应另建模型。取18枚棋子排成一列需要18个位置，分10部分需要9个隔板，每个隔板占用一个位置，共需18+9=27个位置。现在在这27个位置上安排9个隔板，把27个位置分成10部分。当两个隔板相邻时，表示这两个位置之间没有棋子，即此班没有名额。因此，分配方案的种数与隔板的插入种数相等，即为 种。

12、9，混合问题先选后排法：对于排列、组合的混合问题，可采取先选取元素，再进行排列的策略。例16，某校高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的2个班且每班安排2人，则不同的安排方案种数为A、 B、 C、 D、 解析先将4名学生平均分成两组（属平均分组），有 = 种分法；再将这两组学生安排到该年级6个班中的两个班有 种。所以不同的安排方法有 ，故选B项。10，复杂问题转换法：对于有些较为复杂的排列、组合问题，若不能用以上方法解决，可以采取等价转换的方法，转化为其它问题然后解决。例17，从正方体的八个顶点中任取三个点作三角形，其中直角三角形的个数为A、56 B、52 C、 48 D、

13、 40解析首先考虑到任意一个矩形可得到四个直角三角形，于是问题转化为先求出所有可能的矩形。分为两类：表面上的矩形有6个；对角面有6个，因此所有可能的矩形有6+6=12个，相应的直角三角形共有4 12=48个。故选C项。例18，一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，从中任取4个球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不小于7的取法有多少种？解析设红球取x个，白球取5-x个，依题设有2x+(5-x)7。其中xN, 且 。解得 2、3、4，对应 3、2、1。故取法种数为 =186种。数学运算题型之排列、组合、二项式定理排列组合应用问题 （第一讲）目标1掌握有关排列组合问

14、题的基本解法，提高分析问题与解决问题的能力2通过对典型错误的剖析，学生克服解题中的“重复”与“遗漏”等常见错误培养思维的深刻性与批判性品质重点与难点有条件限制的排列组合应用问题排列数公式：组合数公式（一）有条件限制的排列问题例15个不同的元素a，b，c，d，e每次取全排列（1）a，e必须排在首位或末位，有多少种排法？（2）a，e既不在首位也不在末位，有多少种排法？（3）a，e排在一起有多少种排法？（4）a，e不相邻有多少种排法？（5）a在e的左边（可不相邻）有多少种排法？（教师出题后向学生提出要求；开动脑筋，积极思维，畅所欲言，鼓励提出不同解法，包括错误的解法）师：请同学回答（1）并说出解题思

15、路师：很好！问题（1）是排列问题中某几个元素必须“在”某些位置的问题处理这类问题的原则是：有条件限制的元素或位置优先考虑师：请同学回答（2），并说出解题思路师：在上面解题过程中，很好的运用了有条件限制的位置优先的原则，这种解法是直接法还有其他方法吗？分别在排头、排尾的4种情况大家讨论研究这时学生的思维活跃起来生丙：前一种解法对，后一种解法排列数少了师：遗漏在什么地方呢？减去a排头，即a；减去a排尾，即a；减去e排头，即 e；减去e排尾，即e具体一排可以看出，在这四种情况中，a排头e排尾，e排头a排尾各多减了一次学生明白了思维上的错误，教师提出能否把上面错误的解法改造成正确的解法呢？由分析思维上

16、的错误得到正确的认识，学生十分高兴但认识并没有完结师：由上面的分析对我们有什么启发？生丁：在解题过程中具体排一排使我们想的更清楚师：好！“具体排”是一个好方法这是抽象转化为具体的一种思维方法师：请同学回答问题（3），并说出解题思路解题思路是：a，e排在一起，可将a，e看成一个整体，作为1师：好！排在一起的元素用“粘合法”看作一个元素师：请同学回答问题（4），并说出解题思路解题思路是：用5个元素的全排列数减去a，e排在一起的，就是a，e不相邻的师：这是间接法，还有其他方法吗？e不相邻，可将a，e排在上述3个元素排定后形成的4个空档中，排法师：这是一个很好的设计“插空档”的方法对解决排列问题中某几

17、个元素不相邻的问题有普遍性这也是解决这类问题的通法，对多个元素不相邻的问题，第一种解法（间接法）容易产生“重复”或“遗漏”师：请同学回答问题（5），并说出解题思路师：为什么要除以2生：要求a在e的左边（可不相邻）即a，e有序，而a，e间的排列数有2种，所以要除以2师：问题变换为3个元素按一定顺序呢？教师小结：排列应用题是实际问题的一种，解应用问题的指导思想，弄清题意、联系实际、合理设计调动相关的知识和方法是合理设计的基础例1是排列的典型问题，解题方法可借鉴排列问题思考起来比较抽象，“具体排”是一种把抽象转化具体的好方法例2 同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡

18、，则4张贺年卡不同的分配方式有（）（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种先让学生独立作，教师巡视，然后归纳不同的解法解法1：列举法（具体排、填方格）设4人为A，B，C，D，他们自己所写的贺卡分别为a，b，c，d，满足条件的分配方式列举如下：因此，共有33=9种不同的分配方式，故选B解法2：直接法分两步完成，第一步让A先拿，他可拿b，c，d中的任意一张，有3种方法；假定A拿b，第二步就让B拿，他可拿a，c，d中任意1张，也有3种方法一旦B拿定了，假定B拿a，那么C，D两人的拿法也就随之确定了，只能C拿d且D拿c这1种方法根据乘法原理，共有33=9种不同的分配方式，故选B解法3：间接法先不考

19、虑限制条件，即也允许拿自己送的贺年卡，不同的分配方式4人都拿自己送出的贺卡的分配方式只有1种；所以，4个人都不拿自己送出的贺卡的分配方式共有教师小结：在巡视过程中，我观察许多同学解排列组合应用题的思考虑到本题给的数字小，“具体排”问题不难解决（二）有条限制的组合问题例3 已知集合A=1，2，3，4，5，6，7，8，9，求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数通过分析讨论学生有以下解法解题思路是：从正面考虑分类，将含5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集分为三类：类：师：很好！这两种解法都是正确的，直接法、间接法是两类很重要的思考方法和解题方法生甲：我还有一种解法，现在看来是错误的，但

20、不知错在哪？师：这更需要我们一起研究请说说你的列式和解题思路解题思路是：先由4个偶数选2个偶数，再由剩下的7个数（2个偶数，5个奇数）选3个数，组成含有5个元素的集合且满足至少有2师：错在哪？指出做题中的错误比做对一道题更有价值的一种选法，组成集合2，4，6，1，3我们再看另一种3，这是同一个集合，但在记数中却记了2次，这就重复了师：分析的很好！看来“具体排”的方法很有用重复的原因是分类不独立在使用加法原理时分类一定要遵循下列原则：设全集为I，把I分为A1，A2，An，n个子集，满足以下两条：A1，A2，A3，An任何两个的交集为空集；A1A2A3An=I（三）排列组合混合问题例4 从6名男同

21、学和4名女同学中，选出3名男同学和2名女同学分别承担A，B，C，D，E5项工作，一共有多少种分配方案师：如何设计，请说出你的解法问题在哪？师：这是一个排列组合混合问题，解题的关键是要合理分步一般题不过还可以挽救另解：把工作当元素，同学看作位子，第一步，从5种工作中任选3也可先给女同学分配工作，再给男同学分配工作，分配方案有：小结 排列组合混合问题，解题思路是：在分步时通常先组合后排列例5 方程x1+x2+x3+x4=7的正整数解的个数是_师：这个方程问题和排列组合有什么关系呢？求方程正整数解的个数，等式左边会有4个未知数且次数是1次，右边是7（数字较小），问题可转化成把7分成4个正整数（允许取

22、相同数字），x1，x2，x3，x4分别取这4个数字，请同学考虑如何列式生甲：将7拆成下面3组：分别将每组的4个数排在x1，x2，x3，x4这4个位置上，每个位师：这是用分类的方法处理问题，很好！还有其他的解法吗？解题思路是：将7分成7个1（1是最小的正整数单位），于是问题转化为将它们分成4组，这可以看成用3条竖线插7个1中间的6个用下图表示它的一种分割方法师：这是一道比较新颖的题目，解题中用到的都是基本知识和基本方法，但要通过分析、构想、设计，调动基本知识和基本方法解题第一种解法要有分类讨论处理问题的意识，第二种解法是转化成熟悉的插空档问题（四）小结解排列组合应用问题，首先要抓典型问题如例1是

23、排列常见的典型问题，例3是组合问题，例4是排列组合混合问题通过典型问题掌握基本方法，这是解排列组合应用问题首先要做到的排列组合应用题与实际是紧密相连的，但思考起来又比较抽象“具体排”是抽象转化为具体的桥梁，是解题的重要思考方法之一“具体排”可以帮助思考，可以找出重复、遗漏的原因有同学总结解排列组合应用题的方法是：“想透、排够不重不漏，”是很有道理的解排列组合应用题最重要的是，通过分析构想设计合理的解题方案，在这里抽象与具体、直接法与间接法、全面分类与合理分步等思维方法和解题策略得到广泛运用（五）作业1设有4个不同的红球，6个不同的白球，每次取出4个球，取1个红球记2分，取1个白球记1分，使得总

24、分不大于5分的取球方法数为 2由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有 A60个B48个C36个C24个3用0，1，2，3，4 排成无重复数字的五位数，要求奇数字相邻、偶数字也相邻，这样的五位数的个数是 A20B24C32D364从1，3，5，7，9中任取三个数字，从0，2，4，6，8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数共有 A11040个B12 000个C8 160个D14 000个5设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球投入这五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，

25、则这样投放的方法总数为 A20B30C60D12063个人坐在一排9个座位上，每人左、右两边都有空位子，这样的排法有_种7将5名学生分配到4个不同的科技小组、每组至少1人的分配方案有_种8从1，2，5，7，8，9中取四个不同的数，排成四位数，在这些四位数中从小到大排列，则1987年第_个作业答案或提示说明发挥典型题的作用，发展学生思维、排列组合应用问题是教学的重点也是难点，更是发展学生思维的好素材如何抓住重点突破难点，首先要发挥典型问题的作用，因此，例1、例3、例4都是典型题，通过典型题掌握基础知识、基本方法但仅仅这样是不够的，“数学教学是数学思维活动的教学”只有发展思维，分析问题解决问题的能

26、力才能提高，基础知识、基本方法才能在解决数学问题中用得上，用得好（第二讲）排列组合问题一、知识点：1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有 种不同的方法 3排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列4排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个

27、元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示5排列数公式：（）6 阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定7排列数的另一个计算公式：= 8 组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合9组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数用符号表示10组合数公式：或11 组合数的性质1：规定：； 2：+ 二、解题思路：解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义

28、和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：特殊优先法 对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有_个.（答案：30个）科学分类法 对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生例如：从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_种.（答案：350）插空法

29、 解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是_.(答案:3600)捆绑法相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列例如：6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是_种.（答案：240）排除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.b、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例如：从集合0，1，2，3，5，7，11中任取3个

30、元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_条.（答案：30）三、讲解范例：例1 由数字、组成无重复数字的七位数(1）求三个偶数必相邻的七位数的个数；（2）求三个偶数互不相邻的七位数的个数解 (1)：因为三个偶数、必须相邻，所以要得到一个符合条件的七位数可以分为如下三步：第一步将、四个数字排好有种不同的排法；第二步将、三个数字“捆绑”在一起有 种不同的“捆绑”方法; 第三步将第二步“捆绑”的这个整体“插入”到第一步所排的四个不同数字的五个“间隙”(包括两端的两个位置)中的其中一个位置上,有种不同的“插入”方法根据乘法原理共有720种不同的排法所以共有720

31、个符合条件的七位数解（2）：因为三个偶数、 互不相邻，所以要得到符合条件的七位数可以分为如下两步：第一步将、四个数字排好，有 种不同的排法；第二步将、分别“插入”到第一步排的四个数字的五个“间隙”（包括两端的两个位置）中的三个位置上，有 种“插入”方法根据乘法原理共有1440种不同的排法所以共有1440个符合条件的七位数例 将、分成三组，共有多少种不同的分法？解：要将、分成三组，可以分为三类办法：（）分法、（）分法、（）分法下面分别计算每一类的方法数：第一类（）分法，这是一类整体不等分局部等分的问题，可以采用两种解法解法一：从六个元素中取出四个不同的元素构成一个组，余下的两个元素各作为一个组，

32、有种不同的分法解法二：从六个元素中先取出一个元素作为一个组有 种选法，再从余下的五个元素中取出一个元素作为一个组有 种选法，最后余下的四个元素自然作为一个组，由于第一步和第二步各选取出一个元素分别作为一个组有先后之分，产生了重复计算，应除以所以共有 15种不同的分组方法 第二类（）分法，这是一类整体和局部均不等分的问题，首先从六个不同的元素中选取出一个元素作为一个组有 种不同的选法，再从余下的五个不同元素中选取出两个不同的元素作为一个组有 种不同的选法，余下的最后三个元素自然作为一个组，根据乘法原理共有60种不同的分组方法 第三类（）分法，这是一类整体“等分”的问题，首先从六个不同元素中选取出

33、两个不同元素作为一个组有 种不同的取法，再从余下的四个元素中取出两个不同的元素作为一个组有种不同的取法，最后余下的两个元素自然作为一个组由于三组等分存在先后选取的不同的顺序，所以应除以 ，因此共有 15种不同的分组方法 根据加法原理，将、六个元素分成三组共有：15601590种不同的方法例 一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有多少种不同的坐法？解：九个坐位六个人坐，空了三个坐位，每个空位两边都有人，等价于三个空位互不相邻，可以看做将六个人先依次坐好有种不同的坐法，再将三个空坐位“插入”到坐好的六个人之间的五个“间隙”（不包括两端）之中的三个不同的位置上有种不同的“插入”方法 根

34、据乘法原理共有 7200种不同的坐法（第三讲）排列组合问题II一、相临问题整体捆绑法 例17名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有 种。捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列.一般地: 个人站成一排,其中某 个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有 种排法。练习：5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法? 分析 此题涉及到的是排

35、队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.解 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有 种排法,其中女生内部也有 种排法,根据乘法原理,共有 种不同的排法.二、不相临问题选空插入法 例2 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为： 种 . 插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.若 个人站成一排，其

36、中 个人不相邻，可用“插空”法解决，共有 种排法。练习： 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.解 先排学生共有 种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 种.三、复杂问题总体排除法或排异法有些问题直接法考虑比较难比较复杂，或分类不清或多种时，而它的反面往往比较简捷，可考虑用“排除法”，先求出它的反面,再从整体

37、中排除.解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有个.解：从7个点中取3个点的取法有 种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有 332个.练习： 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.

38、解 43人中任抽5人的方法有 种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有 种,所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有 种.四、特殊元素优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。 例4 (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有 种，而其余学生的排法有 种，所以共有 72种不同的排法.例5（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在

39、第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有 种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有 种排法，所以不同的出场安排共有 252种.五、多元问题分类讨论法 对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。例6（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ）A42B30C20D12解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有A62种；2.相临：共有A22A61种。故不同

40、插法的种数为：A62 +A22A61=42 ，故选A。例7（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答） 解：区域与其他四个区域相邻，而其他每个区域都与三个区域相邻，因此，可以涂三种或四种颜色 用三种颜色着色有 =24种方法, 用四种颜色着色有 =48种方法,从而共有24+48=72种方法,应填72. 六、混合问题先选后排法 对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略 例8（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则

41、不同的分配方案共有（ ）A 种B 种C 种D 种解：本试题属于均分组问题。 则12名同学均分成3组共有 种方法,分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有： 种，故选A。 例9（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ） A24种 B18种 C12种 D6种 解:先选后排,分步实施. 由题意，不同的选法有: C32种,不同的排法有: A31A22,故不同的种植方法共有A31C32A22=12，故应选C. 七相同元素分配档板分隔法 例10把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅

42、览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？本题考查组合问题。解：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有 种插法，即有15种分法。八转化法:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解.例11 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其

43、转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.解： 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有 种不同的放法,所以名额分配方案有 种.九剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.例12 袋中有5分硬币23个,1角硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法?分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考

44、虑剩余问题的话,就会很容易解决问题.解 把所有的硬币全部取出来,将得到0.0523+0.1010=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以共有 种取法.十对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以得到所求.例13 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的

45、复杂性.解 不加任何限制条件,整个排法有 种,“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的, 所以语文安排在数学之前考的排法共有 种.十平均分组问题:例146本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；（2）分为三份，每份2本；（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。 解：（1）根据分步计数原理得到：种；（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙

46、、丙三名同学有种方法根据分步计数原理可得：，所以因此，分为三份，每份两本一共有15种方法。（3）这是“不均匀分组”问题，一共有种方法（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有种方法（5）可以分为三类情况：“2、2、2型”即（1）中的分配情况，有种方法；“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有种方法；“1、1、4型”，有种方法，所以，一共有90+360+90540种方法总之，排列、组合应用题的解题思路可总结为：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加，分步为乘。具体说，解排列组合的应用题，通常有以下途径：（1）以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素。（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列组合数。25