逆矩阵的计算

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1、逆矩阵的计算逆矩阵的概念逆矩阵的概念矩阵可逆的条件矩阵可逆的条件逆矩阵的求法逆矩阵的求法3 逆逆 阵阵 矩阵之间没有定义除法，而数的运算有矩阵之间没有定义除法，而数的运算有除法，本节相对于实数中的除法运算，引入除法，本节相对于实数中的除法运算，引入逆矩阵的概念。逆矩阵的概念。逆矩阵的计算则说方阵则说方阵 A 是是可逆的可逆的，并把方阵，并把方阵 B 称为称为 A 的的逆矩阵逆矩阵。逆阵的概念逆阵的概念注意：只有方阵才有逆矩阵的概念。注意：只有方阵才有逆矩阵的概念。 由定义即得：当由定义即得：当B为为A 的逆矩阵时，的逆矩阵时，A也是也是B 的逆的逆矩阵。矩阵。例如例如,110632421,11

2、2212023 BA设设 因为因为AB = BA = E，所以，所以B是是A的逆矩阵，同样的逆矩阵，同样A 也也是是B 的逆矩阵。的逆矩阵。定义定义7 7 对于对于n阶方阵阶方阵A，如果有一个，如果有一个n 阶阶方阵方阵B，使，使AB = BA = E，逆矩阵的计算B = A -1-1 。 如果方阵如果方阵A是可逆的，则是可逆的，则 A 的逆阵一定是的逆阵一定是唯一唯一的。的。 这是因为：设这是因为：设 B、C 都是都是 A的逆矩阵，的逆矩阵， 则有则有B = BE = B（AC）=（BA）C = EC = C，所以所以 A 的逆阵是唯一的。的逆阵是唯一的。A的逆阵记作的逆阵记作A -1-1。

3、 即若即若AB = BA = E，则，则例如例如,110632421,112212023 BA设设因为因为AB=BA=E，所以，所以B是是A的逆阵，即的逆阵，即 A -1-1 = B逆矩阵的计算 定理定理1 1 若方阵若方阵 A 可逆，则可逆，则 A 的行列式不等于的行列式不等于 0 。 证证 A 可逆，即有可逆，即有 A -1-1 ，使，使 AA -1-1 = = E，故故 | |A|A -1-1 |=|=|E| = 1| = 1，所以所以| |A| 0 | 0 。矩阵可逆的条件矩阵可逆的条件例如例如,3275,5273 BA设设易见易见AB=BA=E，即即A可逆。可逆。 此时此时|A| =

4、 1 0。 定理定理1表明，可逆阵的行列式一定不等于零。这表明，可逆阵的行列式一定不等于零。这个结论反过来也成立。请看下面的定理个结论反过来也成立。请看下面的定理2。逆矩阵的计算 定理定理2 2 若若A的行列式不等于的行列式不等于0 0 ，则，则A可逆，且可逆，且.,1*1的的伴伴随随阵阵为为方方阵阵其其中中AAAAA 证证 由例由例 9 9 知知AA* * = = A* *A = | = |A| |E，,)1()1(, 0*EAAAAAAA 故故有有因因.1,*1AAA 有有所所以以逆矩阵的计算 当当 | |A| = 0 | = 0 时，时，A 称为称为奇异方阵奇异方阵，否则称为，否则称为非

5、非奇异阵奇异阵。 B = E B =（A -1-1 A）B = A -1-1 （AB）= A -1-1 E = A -1-1 。 由定理由定理1 1和定理和定理2 2可得：矩阵可得：矩阵A 是可逆方阵的充是可逆方阵的充分必要条件是分必要条件是 | |A| 0 | 0 。推论推论 若若 AB = E（或（或 BA = E），则），则B = A -1-1 。证证 因为因为|A| |B| = |E| 1，故故| |A| 0| 0，因而因而 A -1-1存在，存在， 于是于是逆矩阵的计算注：定理注：定理2可用来求一些矩阵的逆矩阵。可用来求一些矩阵的逆矩阵。例如例如,3221 A设设01| A则则故故A

6、可逆。可逆。,1223* A因因为为.1223122311|1*1 AAA所以所以 需要说明的是：通常利用伴随阵需要说明的是：通常利用伴随阵A* * 来计算来计算A的逆的逆矩阵的方法只限于阶数不超过矩阵的方法只限于阶数不超过3 3的矩阵，否则计算量可的矩阵，否则计算量可能很大。能很大。 对于阶数高于对于阶数高于3 3 的矩阵，以后将介绍用初等变换的矩阵，以后将介绍用初等变换的方法来求逆矩阵。的方法来求逆矩阵。逆矩阵的计算方阵的逆阵满足下述运算规律：方阵的逆阵满足下述运算规律：.)(,).1(111AAAA 且且也可逆也可逆则则可逆可逆若若.1)(, 0,).2(11 AAAA 并并且且也也可可

7、逆逆则则数数可可逆逆若若.)(,).3(111 ABABABBA且且也可逆也可逆则则是同阶可逆方阵是同阶可逆方阵若若证证 .)()(11111EAEAABBAABAB .)()(,).4(11TTTAAAA 且且也也可可逆逆则则可可逆逆若若证证.)()(11EEAAAATTTT 逆矩阵的计算其中其中 k 为正整数。为正整数。,0|时时当当 A,)(,10kkAAEA .)( , AAAAA 定义定义有有为为整整数数时时当当, 0| A逆矩阵的计算.343122321的逆阵的逆阵 AA1111= 2= 2，A2121= 6= 6，A3131= =4 4，A1212= =3 3，A2222= =6

8、 6，A3232=5=5，A1313= 2= 2，A2323= 2= 2，A3333= =2 2，例例9 9,222563462* A得得.111253232311*1 AAA所以所以解解经计算可得：经计算可得：| |A| = 2 0| = 2 0，知，知A可逆。可逆。求方阵求方阵逆矩阵的计算,130231,3512,343122321 CBA求矩阵求矩阵X使满足使满足AXB = C。例例1010 设设 若若A-1-1 ，B -1-1 存在，则由存在，则由A-1-1左乘左乘AXB = C，又，又用用B-1-1右乘右乘AXB = C，有有 A-1-1 AXBB-1-1 = = A-1-1 CB-

9、1-1 ，即即 X = = A-1-1 CB-1-1 。分析：分析：逆矩阵的计算,2513,1112532323111 BA11 CBAX于是于是 2513202011解解 251313023111125323231.41041012 逆矩阵的计算矩阵的运算小结矩阵的运算小结一、已定义过的运算：一、已定义过的运算：矩阵与矩阵的加、减法；矩阵与矩阵的加、减法；矩阵与数的乘积；矩阵与数的乘积；矩阵与矩阵的乘积；矩阵与矩阵的乘积；方阵的行列式；方阵的行列式；逆矩阵；逆矩阵；矩阵的转置。矩阵的转置。逆矩阵的计算二、不允许出现的二、不允许出现的“运算运算”：矩阵与数的加、减法；矩阵与数的加、减法；矩阵与

10、矩阵相除；矩阵与矩阵相除；数除以矩阵。数除以矩阵。矩阵的运算中矩阵不能出现在矩阵的运算中矩阵不能出现在“分母分母”中。这与中。这与行列式是根本不同的。因为行列式是行列式是根本不同的。因为行列式是“数数”，当这个，当这个数不等于零时，就可以出现在分母中，因此行列式可数不等于零时，就可以出现在分母中，因此行列式可以出现在分母中。以出现在分母中。逆矩阵的计算三、矩阵运算中要注意的地方三、矩阵运算中要注意的地方以下运算都只有以下运算都只有方阵方阵才有：才有： (1). 逆矩阵；逆矩阵； (2). 方幂；方幂； (3). 矩阵的行列式。矩阵的行列式。矩阵的乘法通常没有矩阵的乘法通常没有交换律交换律、消去

11、律消去律。两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵。两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵。 用一个数去乘以矩阵与用一个数去乘以行列用一个数去乘以矩阵与用一个数去乘以行列即当两个矩阵的乘积为零矩阵时，不能推即当两个矩阵的乘积为零矩阵时，不能推出其中必有一个为零矩阵。出其中必有一个为零矩阵。式是不同的。式是不同的。逆矩阵的计算.,400030002的的逆逆矩矩阵阵求求设设AA ., 024|可可逆逆故故因因AA 解解,1211 A又又, 822 A, 633 A), 3 , 2 , 1,( 0jijiAij 且且Ex.4逆矩阵的计算,6000800012* A所所以以于是于是*1|1AAA 6000800

12、012241.410003100021 逆矩阵的计算),0(000000000,2121 nnaaaaaaA设设由由上上例例可可推推得得.100000010001211 naaaA则则也可以直接按定义来验证这一结论。也可以直接按定义来验证这一结论。逆矩阵的计算.,4228555013323114,10021121012110111 AABBA并求并求计算计算设设,1010000010000010000010EAB 容容易易计计算算出出解解,101EBA 即即.1011BA 于于是是由由推推论论知知Ex.5逆矩阵的计算.,3,23,1010201012BEBAEBABA求求阶阶单单位位阵阵是是其

13、其中中满满足足等等式式阶阶方方阵阵又又设设 ,2222BABAEBAEBA 可可得得由由解解),(22AEBAE 或或Ex.6 .)(212 AEAEB即即逆矩阵的计算 12)(2 AEAEB121010201011000100011010201011000100012 1001010100002040200200020002 逆矩阵的计算1001010100202020202 001010100202020202.202020202 1001010100002040200200020002 逆矩阵的计算设给定一个设给定一个线性变换：线性变换：)7(,22112222121212121111

14、nnnnnnnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay它的系数矩阵是一个它的系数矩阵是一个 n 阶方阵阶方阵A，逆矩阵的计算,2121212222111211 nnnnnnnnyyyYxxxXaaaaaaaaaA则线性变换则线性变换(7)(7)可记为可记为Y = AX. (8). (8)记记逆矩阵的计算按克拉默法则，若按克拉默法则，若| |A|0|0，则由（，则由（7 7）可解出）可解出 ,12211nniiiiyAyAyAAx 即即x1 1 , , x2 2 , . , . , xn 可用可用y1 1 , ,y2 2 , , , yn 线性表示为：线性表示为：)9(,22112222

15、121212121111 nnnnnnnnnnybybybxybybybxybybybx.,1的的并并且且这这个个表表示示式式是是唯唯一一其其中中jiijAAb 逆矩阵的计算 从从(8)(8)、(10)(10)两式分析变换所对应的方阵两式分析变换所对应的方阵A与逆与逆变换所对应的方阵变换所对应的方阵B之间的关系：之间的关系： 将将(10)(10)代入代入(8)(8)，可得，可得线性变换线性变换(9)(9)称为线性变换称为线性变换(7)(7)式的式的逆变换逆变换。若把若把(9)(9)的系数矩阵记为的系数矩阵记为B，则，则(9)(9)也可写成也可写成X = BY (10) (10)Y = A (BY ) = ( AB )Y，可见可见AB为恒等变换所对应的矩阵，故为恒等变换所对应的矩阵，故AB = E 。Y = AX. (8). (8)前面已得到前面已得到逆矩阵的计算即有即有 BA = E。具有这种性质的矩阵具有这种性质的矩阵A称为是可逆的，而矩阵称为是可逆的，而矩阵B 称为称为矩阵矩阵A 的逆矩阵。的逆矩阵。用用(8)(8)代入代入(10)(10)，得，得X = B( AX ) = ( BA )X于是有于是有AB = BA = E。