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1、精选优质文档-倾情为你奉上2000 中科院 高等代数(一) 计算行列式:(二) 把二次型用非退化线性替换化成平方和.(三) 分别为和矩阵, 表示单位矩阵.证明: 阶矩阵可逆当且仅当可逆，可逆时求出的逆.(四) 设是维线性空间的一组基，对任意个向量，证明：存在唯一的线性变换，使得(五) 设是维线性空间的线性变换，求证：当且仅当若为的一组基则是的一组基.(六) 设为级实方阵，适合，求证：相似于.(七) 已知均为线性空间上线性变换，满足试证：（1）与有相同的值域.（2）与有相同的核.2001中科院 高等代数（一）计算行列式：（二）设为阶非零方阵，且. （1）求证：存在， （2）求方程组的基础解系.（
2、三）用正交的线性替换化二次行为标准形（四）设为阶实矩阵，且.若，求证.（五）设是（为奇数）维线性空间上线性变换，若求证：存在，使为的一组基，并求在此组基下的矩阵.（六）设是欧式空间上的对称变换.求证：对任意，都有的所有特征值都小于0.（七）设，其中为阶负定矩阵，为维列实向量，为实数.求证正定的充分必要条件为.（八）若是正交阵，且特征值为1的重数是，求证：（为的行列式）.2002 中科院 高等代数（一）计算行列式：若，求.（二）设是阶可逆方阵，.（1）计算（是整数），（2）假设，为阶方阵，而且，求.（三）设，是阶矩阵（），求的基础解系.（四）构造一个阶实对称方阵，使其特征值为1，1，-1.并且对
3、应的特征值有特征向量，.（五）设向量组：的秩为（），则中任意个向量线性无关的充分必要条件为：对任意向量，若，则或全为0或全不为0.（六）设为阶正定矩阵，为秩为的实矩阵，求证（，为单位矩阵）为正定矩阵.（七）设为欧式空间上的线性变换，且.（1）求证：是上的正交变换的充分必要条件为是上的对称变换.（2）设，求证：是直和.（八）设为阶实正交矩阵，为维列向量，且线性无关，若线性无关，则.2003中科院 高等代数（一）计算行列式：（为阶矩阵），（1）求 （2）求 （二）设为阶反对称矩阵，求.（三）设为阶整数方阵（中元素为整数），若（1）求证：，（2）若，求.（四）设为阶方阵，且 ，求的解.（五）设是阶可
4、逆方阵，且每行元素之和为，求证：的每行元素之和为（为正整数）（六）设为阶正交矩阵，若.证明：存在正交矩阵使.（七）设，且为阶方阵，.（1）求证： （2）求证：（3）若，求的解.（八）构造一个阶实对称方阵，使其特征值为2，1，1，且有特征向量.（九）设二次型（1）求对应的实对称矩阵 .（2）求正交变换，将化为标准型.（十）设是维线性空间上的线性变换，是对应的不同特征值的特征向量.若，而是的不变子空间，则有维（）（十一）设为欧式空间上的变换，为欧式空间上的线性变换且有：.证明：（1）为欧式空间上的线性变换.（2）2004 中科院 高等代数（一）设阶可逆方阵中每一行元素之和为，证明：（1），其中为的
5、代数余子式.（2）如果都是整数，则整除.（二）设为实矩阵，且.（1）求行列式.（2）求的解（是维列向量）.（三）设为阶整数方阵，若.（1）求证：.（2）若，求.（四）若为非零的半正定矩阵，为正定矩阵，求证：（1）求证：存在实矩阵，使.（2）.（3）.（五）设为的特征值的最小者.求证:对任意的维列向量,有.(六) 设为阶方阵的特征值,且分别为其对应的特征向量,求.(七) 是维欧氏空间, 是维空间上的线性变换,如果是中个线性无关的向量,且分别与正交(不为0).求证: 为的特征向量.(八)设，求证：（1） （2）题型与钱吉林书习题类示。（九）设为数域，为数域上阶方阵，且， 求证：。（十）设，为阶方阵
6、，为阶正交方阵，求证：（十一）设求证： 。（十二）设为阶实可逆矩阵，则为正定矩阵充分必要条件为存在阶上三角实可逆矩阵，使。（十三）设为秩为的阶矩阵，证明：的充要条件是存在秩为的阶矩阵和秩为的矩阵，使且。（十四）设为数域上维线性空间，设是维线性空间上的线性变换，为的值域，为的核。（1） 求证：维 ，（2） 求证：维充分必要条件为：，并举出这样的线性变换。2005 中科院 高等代数（一） 已知，求在有理数域上的不可约多项式并说明理由。（二） 已知，是阶方阵，。求和。（三） 是方程组的一个解，是其导出组的一个基础解系。求证：（1） ，线性无关，（2） 也线性无关。（四）同2007年第一大题.（五）是
7、复矩阵，求证：在复数域上相似于一个对角阵。（六）是阶实对称方阵，是的特征值，是对应的特征向量，求矩阵。（七）是反对称变换的不变子空间，求证：也是的不变子空间。（八）已知是阶实对称方阵，求证：正定。（九）是矩阵的全体，已知，求证：的充分必要条件为。（十）已知，求证：。（十一）设求证： 。（十二）是阶实对称方阵，证明：正定的充要条件是存在实阶上三角阵，使。（十三）是阶矩阵，是阵，。求证：的充要条件是且。（十四）是维线性空间的象，是的核。求证：（1），（2）的充要条件是，举个例子。2006 中科院 高等代数(一) 设是有理数域上的多项式。（1） 如果是二次多项式，求证：不可约的充分必要条件是没有有理
8、根；（2） 试举例说明当的次数大于的时候，没有有理根只是不可约的必要条件。（3） 试举例说明艾森斯坦判别法只是判别不可约的充分条件，而不是必要条件。（二）（1）设矩阵 且为维列向量，求证：（2）用上面的公式计算行列式。（三）设，其中分别为阶可逆矩阵。（1）求；（2）设，如果，求和。（四）设为一组同型向量，求证：（1）若，则为奇数；（2）若为极大无关组，且，如果，求证：。（五）设为实矩阵，已知，且。求证：（1）；（2）.（六）已知（其中为不全为的实数且）如果：，求的所有特征值；进一步当是的特征值时，求关于特征值为的所有特征向量.（七）设是阶实对称方阵且可逆，是维实列向量，是实数.对于实二次型：（
9、1）求证：是正定二次型的充分必要条件是矩阵是正定矩阵；（2）当，是偶数时，求证：是负定二次型的充分必要条件是为正定矩阵.（八）设是阶复矩阵，如果.（1）求的最小多项式；（2）求证：在复数域上与对角矩阵相似；（3）求证：可逆.（九）设是维线性空间上的非零线性变换，且，（1）求证：充分必要条件是；（2）试举一个的例子.（十）设为欧式空间上的线性变换，记：，显然，为的子空间，试分别就是上的对称变换和正交变换求证：2007 中科院 高等代数（一） 设求此向量组的极大无关组，并将其它向量用此向量组的极大无关组表示出来.（二） 设，为阶方阵，且，求和.（三） 设，且是阶矩阵，若。（1） 求证：与对角矩阵相
10、似.（2） 求证：.（四） 设是数域上维线性空间上的线性变换.如果存在向量，使得，但，证明：（1） 线性无关.（2） 在某一组基下的矩阵为：.（五） 设，其中为互不相同的整数，求证：如果为奇数，则在有理数域上不可约.（六） 设.（1） 求行列式.（2） 求的解（为维列向量）.（七） 已知经过一个正交变换可以把二次型：化为标准型.求：，及正交矩阵.（八） 设，而且，其中为数域上多项式环.假设是数域上维线性空间上的线性变换.（1） 如果，求证：，（2） 利用上面结论求证：（其中为上的恒等变换）.（九） 设是阶实对称矩阵，且矩阵方程有唯一矩阵解.（1） 求证：为实对称矩阵.（2） 如果为正定矩阵，求
11、证：为正定矩阵.2008 中科院 高等代数（一）设，其中为阶矩阵，且，求.（二）设是阶可逆方阵，.（1）计算（是整数）.（2）假设 ，为阶矩阵，且，求.（三）设是阶矩阵，如果的伴随矩阵不为零矩阵，且（1）求线性方程组的通解。（2）进一步如果为阶对称矩阵，且每行只有两个非零元素，求.(四) 设,其中为互不相同的整数，求证:存在整系数多项式其在有理数域上不可约和整数使得.(五) 设是阶实对称矩阵,而且正定.(1)求证:存在正定矩阵使得,而且唯一.(2)如果,求的特征值和特征向量,由此求(1)中正定矩阵使得.(六) 设，为维空间的子空间,且=,则且,或者而且.(七) 设为维欧式空间, 为欧式空间上的
12、线性变换,若对任意的,有,则称为反对称变换.(1)求证: 为反对称变换的充要条件是在任意一组标准正交基下矩阵为反对称矩阵.(2)若是反对称变换的不变子空间,求证: 也是的不变子空间.(八) 设为线性空间, 上线性变换称为幂等变换,如果,现设为上的两个幂等变换.求证: 是幂等变换的充分必要条件是;进一步证明:也是是幂等变换的充分必要条件.2009 中科院 高等代数(一) 填空（1）为上所有三阶矩阵组成的集合,令（其中且为上三角矩阵），则.（2）为上多项式，且在复数域上无公共根，则，在上的首相系数为的最大公因式为.（3）设是阶矩阵，则.（4）为阶对称矩阵, 为其特征值，则的伴随矩阵与对角矩阵相似.（二）不定项选择（三）计算或证明（16）求（17）为上维线性空间，且为的子空间，证明：（18）为实数域，为上的线性变换，且在基：，下的矩阵是.证明：（1）若，则是的不变子空间.（2）不存在的不变子空间，使.（19）（为正整数），证明：整除.（20）已知阶矩阵，满足，而，则称的幂零指数为，证明：幂零指数为的矩阵都相似.（21）设是阶矩阵，证明：.（22）上齐次方程组 ，令，对做一系列的初等变换化为，其中为一行满秩，为阶可逆方阵.证明：的最后行即为的一个基础解系.（23）阶实对称矩阵的特征值都是正数，为正定矩阵，的特征向量都是的特征向量.证明：（1）为正定阵（2）专心-专注-专业
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