求函数极限方法的探讨毕业论文

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1、1本科学生毕业论文（设计）题 目（中文）： 求求函函数数极极限限方方法法的的探探讨讨（英文）：Beg function limit method is discussed 姓 名： 学 号： 院 （系）： 数数学学与与计计算算机机科科学学系系 专业、年级 ： 数数学学与与应应用用数数学学 2 20 00 07 7级级 指导教师： 教教授授 2011年 3月202目录目录目录目录.2 21 1绪论绪论 .6 62 2一元函数极限概念与求法一元函数极限概念与求法 .7 72.1一元函数极限的概念.72.2一元函数极限的求解方法.72.2.1利用一元函数的定义求解 .72.2.2利用极限的四则运算求

2、函数极限 .82.2.3利用函数的性质求函数极限 .92.2.4利用等价无穷小代换求函数极限 .102.2.5利用无穷小量性质法 .112.2.6利用无穷小量与无穷大量的关系 .112.2.7利用数学公式，定理求函数极限 .122.2.8利用变量替换求函数极限 .162.2.9用左右极限与极限关系 .173 3二元函数极限的概念与求法二元函数极限的概念与求法 .18183.1二元函数极限的概念.183.2二元函数极限的求法.183.2.1利用二元函数的极限的定义求极限 .183.2.2利用连续函数的定义及初等函数的连续性求解 .193.2.3利用极限的四则运算求 解.2033.2.4利用有界函

3、数与无穷小量之积仍为无穷小量求解 .203.2.5利用等价无穷小替换求解 .213.2.6利用分子或分母有理化求解 .213.2.7利用夹逼定理求解 .213.3小结 .224 4结语结语 .22225 5致谢致谢 .23236 6参考文献参考文献 .23234求函数极限的方法探讨求函数极限的方法探讨摘要摘要 函数极限概念与函数极限求法是近代微积分学的基础，本文主要对一元函数、二元函数极限定义和它们的求解方法进行了归纳和总结，并在某些具体的求解方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明，以便于我们了解函数的各种极限以及对各类函数极限进行计算。函数极限的求法有很多，每种方法都有其优缺点，对某个具体的

4、求极限问题，我们应该选择最简单的方法。【关键词】：函数定义，数学定理，公式，函数极限5Beg function limit method is discussedAbstractFunction limit concept and function limit of modern calculus is introduced, this paper mainly based on a circular function, dual function limit definition and their solving methods, and summarizes some concrete,

5、 and the solving method of should pay attention to in the details and skills so that we understand that various extreme and the function of various function limit to calculate. We have many function limit, each method has its advantages and disadvantages, to a specific ask, we should choose the limi

6、t of the most simple method 【 key words 】 : a function definition, mathematical theorems, formula, function limit 61绪论绪论极限研究的是函数的变化趋势, 在自变量的某个变化过程中, 对应的函数值能无限接近某个确定的数，那这个数就是函数的极限了。极限是高等数学中一个非常重要的概念, 是贯穿高等数学的一条主线, 它将高等数学的各个知识点连在了一起。所以,求极限的方法显得尤为重要的。我们知道,函数是高等数学研究的对象,而极限方法则是在高等数学中研究函数的重要方法, 因此怎样求极限就非常

7、重要。早在我国古代刘徽的九章算术中提到“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”就涉及了到了极限。古希腊人的“穷竭法”也蕴含了极限思想 。到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义。在有了极限的定义之后，为了判断具体某一函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的 充分条件和必要条件进行探讨。在经过了许多数学家的不断努力之后，法国数学家柯 西获得了完善的结果 ，即柯西收敛原理。到了近代，在数学家们的努力下给了极限一个专业的定义.有了极限的定义自然就有了许多求极限的方法。求函数极限的方法有很多，

8、其中有利用定义求函数极限、利用夹逼定理求函数极限、利用函数的连续性求极限、利用极限的四则运算、利用变量替换、利用等价无穷小代换、利用定积分求合公式、利用导数定义、利用泰勒公式、利用黎曼引理、利用柯西收敛原理、利用罗必达法则求极限等一些方法，而其中大部分是用于求解一元函数的极限。二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的,二者之间既有联系又有区别。比如,极限的四则运算法则是相同的,但是随着变量个数的增加,二元函数的极限比一元函数极限变得要复杂得多。因此本文除了对一元函数的求解方法进行概括总结外，还对二元函数的求极限方法进行了一些简单的归纳和说明，并与求一元函数的极限方法进行了比较，从而使阅读

9、本文的人更快更好的掌握一元函数，二元函数极限的求解技巧和它们的异同点。72一元函数极限概念与求法一元函数极限概念与求法 2.1 一元函数极限的概念一元函数极限的概念 设 f:(a,+)R 是一个一元实值函数， aR.如果对于任意给定的0，存在正数 X，使得对于适合不等式 xX 的一切 x，所对应的函数值 f(x)都满足不等式 . f(x)-A , 则称数 A 为函数 f(x)当 x+时的极限，记作 f(x)A(x+).2.2 一元函数极限的求解方法一元函数极限的求解方法2 2. .2 2. .1 1 利用一元函数的定义求解利用一元函数的定义求解设 f:(a,+)R 是一个一元实值函数， aR.

10、如果对于任意给定的0，存在正数 X，使得对于适合不等式 xX 的一切 x，所对应的函数值 f(x)都满足不等式 . f(x)-A1,n0)xnxaxlim解: 当 x1 时,存在唯一的正整数 k,使得 k xk+1于是当 n0 的时候有:10 knxnakax) 1( 以及 aakakaxknknxn11又因为当 x时,k 有 knkak) 1(lim00) 1(lim1aaakknk及 1limknkak 0101limaaakknk则：=0 xnxaxlim小结：利用函数的基本性质来求解函数极限对一些特定的函数极限的求解有着十分重要的作用，熟悉和了解函数的基本性质是解决此类函数极限方法的重

11、要前提。2.2.4利用等价无穷小代换求函数极限利用等价无穷小代换求函数极限设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有：, ， 存在，,lim则 也存在，且有= limlimlim例题：求极限 2220sincos1limxxxx 解: ,sin22xx2)(cos1222xx11=2220sincos1limxxxx212)(2222xxx注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”此外不仅无穷小量代换能求函数极限，还能运用无穷小量与无穷大量的关系，以及无穷小量的性质法来求解函数极限。2.

12、2.52.2.5 利用无穷小量性质法利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数 f(x)、g(x) 满足：（1）0)(lim0 xfxx(2) (M 为正整数)Mxg)(则：0)()(lim0 xfxgxx例题: 求 的极限xxx1sinlim0 解: 由 而 0lim0 xx11sinx故 原式 =01sinlim0 xxx2.2.62.2.6 利用无穷小量与无穷大量的关系利用无穷小量与无穷大量的关系 （1）若： 则 )(limxf0)(1limxf(2) 若: 且 f(x)0 则 0)(limxf)(1limxf例题: 求下列极限（1） （2）51lim

13、xx11lim1xx解: （1）由 故 )5(lim xx051limxx12（2） 由 故 =0) 1(lim1xx11lim1xx2.2.72.2.7 利用数学公式，定理求函数极限利用数学公式，定理求函数极限2.2.7.12.2.7.1罗比塔法则（适用于未定式极限）罗比塔法则（适用于未定式极限）定理：若AxgxfxgxfAAxgxfiiixgxuxgfiixgxfixxxxxxxxxx)()(lim)()(lim()()(lim)(0)()()(0)(lim, 0)(lim)(00000000），则或可为实数，也可为内可导，且的某空心邻域在与此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类

14、似的法则。00注注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：1、要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。,002、应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求)()(limxgxfax极限须用另外方法。例题：（1） )1ln()21 (lim2210 xxexx （2）)0, 0(lnlimxaxxax解：（1）令 f(x)= , 21)21 (xex g(x)= l)1n(2x, 21)2

15、1 ()(xexfx13212)(xxxg22223)1 ()1 (2)(,)21 ()(xxxgxexfx由于0)0()0(, 0)0()0(ggff但2)0(, 2)0(gf从而运用罗比塔法则两次后得到122)1 ()1 (2)21 (lim12)21 (lim)1ln()21 (lim22223022102210 xxxexxxexxexxxxxx（2） 由 故此例属于型，axxxxlim,lnlim由罗比塔法则有：)0, 0(01lim1limlnlim1xaaxaxxxxaxaxax小结：对于一些特定类型的函数求极限（型，型）可以适用罗比00塔法则进行求解，关系是要知道此类函数的类型

16、是属于型还是型。002.2.7.22.2.7.2利用泰勒公式利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：1、)(! 212nnxxonxxxe2、)()!12() 1(! 5! 3sin212153nnnxonxxxxx3、)()!2() 1(! 4! 21cos12242nnnxonxxxx4、)() 1(2)1ln(12nnnxonxxxx5、)(!) 1() 1(! 2) 1(1)1 (2nnxoxnnxxx146、)(xx1 112nnxoxx上述展开式中的符号都有:)(nxo0)(lim0nnxxxo例题: 求)0(2lim0ax

17、xaxax解:利用泰勒公式，当 有0 x)(211xoxx于是 xxaxax2lim0=xaxaxax)121(lim0=xxoaxxoaxax)(211)()2(211lim0=axxoxaxxoaxaxx21)(21lim)(2lim00小结：此类题型考验的是我们对泰勒展式的熟悉程度，因此解决此类题目要十分熟悉泰勒展式的结构以及用途。2.2.7.32.2.7.3利用拉格朗日中值定理求函数极限利用拉格朗日中值定理求函数极限原理:若函数 f 满足如下条件： (I) f 在闭区间上连续 (II)f 在(a ,b)内可导则在(a ,b)内至少存在一点,使得abafbff)()()(此式变形可为:1

18、5 ) 10( )()()(abafabafbf例题: 求 xxeexxxsinlimsin0解:令 对它应用中值定理得xexf)() 1(0 )sin(sin)sin()(sin)(sinxxxfxxxfxfeexx即: 1)(0 )sin(sinsinsinxxxfxxeexx连续xexf)(1)0()sin(sinlim0fxxxfx从而有: 1sinlimsin0 xxeexxx小结：利用拉格朗日中值定理求函数极限关键至于拉格朗日中值定理的合理运用。2.2.7.4 利用黎曼引理求函数极限利用黎曼引理求函数极限 求（a0）20coslim1appxdxx 解：原式=0001 cos211

19、1cos21limlimlimln(1)2(1)21212aaappppxpxdxdxdxaxxx2.2.7.5 利用夹逼定理求函数极限利用夹逼定理求函数极限 若存在正整数 N,当 nN 时,有XnYnZn,且,aZnXnnnlimlim则有.aYnnlim例题：16求 f(n)=的极限.21nn 解: 对任意正整数 n,显然有 ,nnnnnn221122 而,由夹逼性定理得01n02n 01lim2nnn 即 f(n)=的极限是 021nn数学公式，定理在求函数极限的方法中有着大量的运用。不仅仅只有上述公式，定理能求解出函数极限，还有柯西收敛准则，定积分求和公式等一些数学公式定理能将函数极限

20、求解出来。2.2.82.2.8 利用变量替换求函数极限利用变量替换求函数极限此方法适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型特别地有： m、n、k、l 为正整数。nkmlxxmnklx11lim1例题：求下列函数极限（1） 、n （2） mxxmnx(11lim1)N1)1232(limxxxx 解: （1）令 t= 则当 时 ,于是mnx1x1t原式=nmttttttttttnmtnmt)1)(1 ()1)(1 (lim11lim121211（2）由于1)1232(limxxxx=1)1221 (limxxx令： tx121217 则 ：2111tx=1)1232(limxxxx1)1221

21、(limxxx2110)1 (limttt =eettttt1)1 (lim)1 (lim210102.2.92.2.9用左右极限与极限关系用左右极限与极限关系(此方法适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。原理：函数极限存在且等于 A 的充分必要条件是左极限 )(lim0 xfxx)(lim0 xfxx及右极限都存在且都等于 A。即有：)(lim0 xfxx=AAxfxx)(lim0)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx例题：设= )(xf1,10 ,0,212xxxxxxxex 求 及 )(lim0 xfx)(lim1xfx1) 1(lim)(lim)(lim1)2

22、1 (lim)(lim00000 xxxxxfexfxxxxxx解：由1)(lim)(lim00 xfxfxx1)(lim0 xfx不存在由（又)(lim)01 ()01 (1lim)(lim0) 1limlim)(lim1211111xfffxxfxxxxxfxxxxxx183 3二元函数极限的概念与求法二元函数极限的概念与求法3.13.1 二元函数极限的概念二元函数极限的概念设为定义在上的二元函数,为的一个聚点,是一个确定的实fD2R0PDA数.若对任给正数,总存在某正数,使得当时,都有00;PUPD,则称在上当时,以为极限,记作 f PAfD0PPA 0limPPP Df PA3.2 二

23、元函数极限的求法二元函数极限的求法3.2.13.2.1 利用二元函数的极限的定义求极限利用二元函数的极限的定义求极限根据点沿任意连续曲线趋于时00,lim,x yxyf x yA, x y00,xy趋于.我们可取某一特殊方向,求出当趋于时, ,f x yAykx, x kx00,xy的极限,然后再利用定义验证这一极限是即为二重极限.,f x y例例 设11sinsin,00,0,00,0 xyxyyxf x yxo yxy当且当或求 ,0,0lim,x yf x y解解 取特殊方向,求出沿直线趋于时的极限yx, x yyx0,0 ,0,00011lim,lim,limsinsinx yxxy

24、xf x yf x xxxxx01lim2 sin0 xxx现在用定义证明 ,0,0lim,0 x yf x y19对,当或时,则当,0 10,0 xyx0, y=0 0，0 x,时,有0y ,0,0 x y ,0f x y 当,时,当, 20 x 0y 20 x0y时,有 ,0,0 x y =,0f x y 11sinsinxyyx11sinsinxyyx 11sinsinxyyxxy 2于是,对,当,时,有0 2xy ,0,0 x y ,0f x y所以 ,0,0lim,0 x yf x y3.2.2利用连续函数的定义及初等函数的连续性求解利用连续函数的定义及初等函数的连续性求解若在点处连

25、续,则,f x y00,xy0000,lim,x yxyf x yf xy例例 求极限 22,0,11limx yxyxy解解 因为在处连续221xyxy0,1所以= 22,0,11limx yxyxy220,111 010 1xyxy3.2.3利用极限的四则运算求解利用极限的四则运算求解设时函数和的极限存在,则00,x yxy,f x y,g x y； 00,1lim,x yxyf x yg x y0000,lim,lim,x yxyx yxyf x yg x y； 000000,2lim,lim,lim,x yxyx yxyx yxyf x y g x yf x yg x y20 . 30

26、0,lim,x yxyf x yg x y0000,lim,lim,x yxyx yxyf x yg x y00,lim,0 x yxyg x y例例 求极限 22,limx yx yxye 解解 22,limx yx yxye 22,limx yx yxye 22,11limxyyxx yxye ee e 因为且2lim0 xxxe1lim0yye故 2,1lim0 xyx yxe e 同理 2,1lim0yxx yye e 所以 22,limx yx yxye 3.2.4利用有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量求解利用有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量求解若当时,而为有界变量 ,则当00,x

27、 yxy,0f x y ,g x y时,00,x yxy,f x y,g x y0例例 求极限 3,0,011limsincosx yxyxy解解 因为 3,0,0limx yxy0当时,与均有界0,0 xy1sinx1cosy所以 3,0,011limsincos0 x yxyxy3.2.5利用等价无穷小替换求解利用等价无穷小替换求解设与,与均是等价无穷小量,且,则当时,必limA或有limlimA或21例例 求极限 222222,0,01 coslimx yxyxyx y解解 因为2222211 cos2xyxy,0,0 x y 22222222222122xyxyx yxyx y1xy又

28、 ,0,01limx yxy 所以 222222,0,01 coslimx yxyxyx y 2222222,0,012limx yxyxyx y 3.2.6利用分子或分母有理化求解利用分子或分母有理化求解若分子或分母的极限为,不能运用商的极限运算法则时,采用通过分子或0分母有理化,消去分母中趋于零的因子,再运用极限运算法则.例例 求极限 2222,0,0lim11x yxyxy解解 2222,0,0lim11x yxyxy 2222,0,0222211lim1111x yxyxyxyxy 222222,0,011lim11x yxyxyxy 22,0,0lim112x yxy3.2.7利用夹

29、利用夹逼逼定理求解定理求解若在的某个领域内,成立不等式,且00,xy,u x yf x yv x y,则00,limx yxy,u x y00,lim,x yxyv x yA00,lim,x yxyf x yA例例 求极限 222,limxx yxyxy 解解 因为2222102xxxyxy22 又21lim02xx 所以 222,lim0 xx yxyxy 3.3 小结小结对于求二元函数极限，其中很多地方都能使用到求解一元函数极限的方法：定义求解法、无穷小替代法，夹逼法等都能从中看到求一元函数极限的方法的踪迹，要解得一个二元函数的极限就必须得熟练的掌握好一元函数极限极限的求解方法，将其方法融

30、入到求解二元函数极限中去，从而使得问更加的简单化，明朗化。4结语结语本文主要是在考虑函数极限存在的前提下撰写的。求函数极限的方法并不是一成不变的，每一个题目适用于它的解决方法也不是唯一的，只要一个函数的极限存在总会有一个或者多个方法与之对应。本文重点在于对一元函数极限的求解方法，对于多元函数，只列举了部分求解二重极限的方法，而其中与一元函数极限的求法有很大的联系，细观一元函数和二元函数极限的解法，可以从中更好的了解到一个函数的性质，乃至用途。函数极限不仅仅是数分中的重点难点，更是近代微积分学的基础，因此了解和熟练的掌握一个函数极限的求法对于整个高等数学来说都是十分重要的。以上只是列举了大部分的

31、函数极限的求解方法，但方法并不只限于以上几种，或许还有未知的方法等着我们去发掘。235 5参考文献参考文献1、王艳,周文丽,张俊丽,汤木兰 .求极限的几种方法J. 西安欧亚学院学报, 2005(3)2、张宏达. 高等数学中求极限的常用方法J.北京交通管理干部学院报, 2004.Vol 4(3)3、胡喜和. 谈求极限的方法J.内蒙古电大学刊, 2005(1)4、徐荣贵.求极限的方法和技巧J.四川工程职业技术学院学报,2006(1)5、王伟珠.常用求极限方法浅析J.中国科教创新导刊, 2007(472)6、欧阳光中、朱学炎、金福临等.数学分析M.高教出版社，19787、华东师范大学数学系.数学分析

32、下册M.第 3 版.北京:高等教育出版社,20018、彭舟,姬燕.数学分析同步辅导下册M.第 3 版.北京:航空工业出版社,20059、西北工业大学高等数学教研室.高等数学中的典型问题与解法M.第 2 版.上海:同济大学出版社,200110、费定晖,周学圣.数学分析习题集题解(五)M.济南:山东科学技术出版社,200511、J. A. FRIDY, C. ORHAN STATISTICAL LIMIT SUPERIOR AND LIMIT INFERIOR Department of Mathematics and Computer Science, Kent State University

33、; Faculty of Science, Ankara University 199724 6致谢致谢论文撰写结束了，在此期间我遇到了许多困难，同样得到了老师和同学们的热心帮助，使我得以按时完成我的任务，没有辜负大家的一片苦心.这次毕业设计和论文能够顺利的完成，要感谢很多人无私的帮助.首先我要感谢的是我的论文导师邓春红老师，感谢她在我不断的学习新知识的过程中给我的帮助和支持.在完成毕业设计的过程中，我不仅获得了丰富的理论知识，这对我今后进一步学习英语教学方面的知识有极大的帮助.在此就要感谢我周围的同学，在撰写论文时他们给我很大的帮助，在整个毕业设计的过程中，也得到了多位老师的帮助，无论在理论还是实践中都给我提出了许多宝贵的意见和建议，并指出了许多不足之处，正因为有了这些帮助和支持，我的毕业设计才得以顺利完成，因此，我衷心的对他们说一声“谢谢”