正项级数判敛的新的比值判别法及推广

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1、正项级数判敛的新的比值判别法及推广苏艳华( 沈阳教育学院 ,辽宁 沈阳 110015) 摘 要 为了判别正项级数的敛散性 ,本文给出一种新的比值判别法及其推广 ,同时证明了它优于柯西判别法 ,达朗贝尔判别法和拉贝判别法 。 关键词 正项级数 ;比值判别法 ;收敛 ;发散 文章编号 10032191X(2002) 0920013203 中图分类号 0173 文献标识码 A下去 ,经过有限次后总能得到 nk - 1 = 2nk + i (i = 0 ,1) ,使我们已经知道关于正项级数的达朗贝尔判别法的Un + 1an1 an2ankan极限形式 :有正项级数 6 Un (Un 0) ,且 lim

2、 = L , 得 n0 nk p ,此时 k 成立n Unbn bn1 bn2bnkn = 1 an ai 若 L 1 ,则级数 6 Un 发散 。n n0 ,都有 k = max 成立n = 1n = 1bn n i N 时) 不等式 a , ba2na2n + 1bn annn 定理 1 给定正项级数 6 an ,若 lim = lim =n = 1 n an n an成立 ,则级数 (B) 收敛蕴含着级数 (A) 收敛 ,级数 (A) 发散蕴含着级数 (B) 发散 。证明 :取定自然数 n0 ,取 q = 2n0 n0 ,设对于 n 则 1 时 6 an 发散 。2 n = 12 n =

3、 111证明 : 当 0 ,使得+= r 0 , N N , n N , 有a2n ana2n + 1 ana2n + 1 an (n ann an形为 b2n , ,即 b i = 0 ,1) bnb2n + 1bnbna2na2n + 1a2n12n + 1an - - , , 则 an + = r 2 和aian令 k = max n i 1 ,使得 + = r 2,又 0 r 2anan当 n0 n p 时 ,有 bn k 成立 。1 1110 r N1 时 , 有bn n 2n + 1 2b2n + 1a2n + 1b2n 1a2na2n + i anan r , 又= S r ,

4、由 引 理 1 可 知 :1 1若 n0 n1 p 时 ,则 bn = b2n + i 成立bnan bnan2bn116 an 收敛 。n = 1若 n1 p ,可将 n1 写成 n1 = 2n2 + i (i = 0 ,1) ,则一定有 n2 n0若 n2 1 时 ,取 0 ,使得- 1当22 n an 收稿日期 2002 - 07 - 18 作者简介 苏艳华 (1964 ) ,女 ,内蒙赤峰人 ,沈阳教育学院数学系讲师 。14辽宁教育学院学报2002 年第 9 期a2n + 1a2nanan1 an2 anlim =知 : 0 , N N , n N ,有- k - 1) ,使得 n0

5、nd p ,则有 n anbn bn1 bn2a2n + 1- a2n- a2n + 1, - 11an4,m 成立anan2 an2bn4b2n + 1 n 1b2n令 bn = 1 ,则 6 bn = 6 1 发散 ,且 = , a nn n = 1 n = 1 nbn 12n + 12 bnn n0 ,都有 b m 成立n b2n 1 2n 2n + 1a b ,an = 1 2n + 1=, =,由引理根据比较判别法知 :级数 (B) 收敛则级数 (A) 收敛 ;级数 (A) 发散则级数 (B) 发散 。2n 2 bn 2n an bn2an1 知 : 6 an 发散 。n = 1ak

6、n + i6 an ,若 lim =(i = 0 ,1 定理 2 给定正项级数n = 1a2n + 1n an 推论 1 给定正项级数 6 an ,若 lim = 1 ,且 limn = 1 n ank - 1) 则当 1 时 , 6 a 发n nnk n = 1k n = 1a2n11an =存在 ,则当 2 时 n = 16 an 发散 。证明 : 当 0 ,使得+= r k N , n N , 有a2n + 1 a2n + 1 a2nan + 1a2n证明 : an = ,又 lim = 1 ,lim =akn + 1a2nann ann an0 , Nlimn ana2n + 1lim

7、 =由定理 1 知 :推论 1 成立 。akn + iakn + i1 1n an 注 对于定理 1 和推论 1 ,当 =- ,则有 += r 。又 0 r 1 ,使得 0 r N 时 ,有 r r ,由引 bkn + i kn + i1bnbnan理 2 可知 : 6 an 收敛 。n = 1 引理 2 给定两个正项级数 (A) 6 an 和 (B) 6 bn ,若n = 1n = 1akn + i11akn bkn akn + 1 bkn + 1当 k 时 , 取 0 ,- , 由 lim =从某项起 ( 如 n N 时) 不 等 式 a b , b ,k n anan n nnakn +

8、 iakn + k - 1 bkn + k - 1知 : 0 , N N , n N , 有- - 令 b(A) 收敛 ,级数 (A) 发散蕴含级数 (B) 发散 。证明 :取定自然数 n0 ,使得 p = kn0 n0 ,设 n n0 ,= 1 1, 则 6 bn = 6发 散 , 且 ,nanknn = 1 n = 1 nbkn + i n= akn + ib1 1 kn + iakn bkn akn + 1 bkn + 1akn + k - 1 bkn + k - 1, 由 引 理 2 知 :不等式 an bn , bn ,成bn kn + i k bn k bnananbnakn an

9、akn + 1 an6 an 发散 。n = 1立 , 上 述 不 等 式 可 变 形 为 bn bn , bkn + 1 bn ,an + 1akn + k - 1anakn + 1an (i = 0 ,1 , 推论 2 给定正项级数 6 an ,若 lim = 1 ,且 limk - 1) . 令 m = maxbkn + k - 1 n ,即 kn + 1 nn ann = 1n b bbn i p0akn 1 1=存在 ,则当 时 , 6 an 发 ai bi an散 。k n = 1k n = 1an当 n0 n p 时 ,有 bn m 成立 。akn + i akn + i akn

10、 + i - 1akn + 1 akn证明 : =,anakn + i - 1 akn + i - 2aknan当 n p 时 ,可将 n 写成 n = kn1 + i (i = 0 ,1k - 1) ,an + 1 akn akn + i其中 i = 0 ,1 ,k - 1 又 lim = 1 ,lim =lim则n an n an=(i = 0 ,1 ,k - 1) 由定理 2 知推论 2 成立 。n ann = kn1 + i p = kn0 所以 n1 n0akn i+an1an 1若 n0 n1 p 时 ,则 bn = bkn + i m 成立 注 当= 时 ,定理 2 和推论 2

11、失效 。bn1k对于不同的 k 值是相互独立的 , 在 判 别 使用时应根据题来选择适当的 k 值 。1若 n1 p ,可将 n1 写成 n1 = kn2 + i (i = 0 ,1 k - 1) ,则一定有 n2 n0若 n0 n2 1 ,取 0 ,使得 p - 1 ,则 (p - ) 1 柯西判别法 :有正项级数 6 Un , 若 N N , n n = 1aknakn + ilim = + ,同理 lim = + 。nN ,有 Un q (常数) 1 ,则级数 6 Un 收敛 ; 若存在无n ann ann = 1由此命题可以看出 ,凡是能用达朗贝尔判别法进行判别的 ,用定理 2 也一定

12、可行 , 可见 , 定理 2 优于达 朗贝尔判别法 。定理 2 与拉贝判别法的比较拉贝 判 别 法 : 对 于 正 项 级 数 6 Un , 若 lim n ( 1 -nUn 1 ,则级数 6 Un 发散 。n = 1限个 n ,有n其极限形式为 : 有正项级数 6 Un , 若 lim Un = L ,n = 1 n 则 L 1 时 , 级 数 6 Un 发散 。n = 1n = 1n = 1n Un + 1 ) = p ,则当 1 p + 时 ,级数 6 Un 收敛 ; 当 - n 命题 1 给定正项级数 6 an ,若 lim an = p ,则当 0n = 1 n Unn = 1akn

13、 + iakn + ip 1 时 ,级数 6 Un 发散 。n = 1= + , (i = p 1 时 ,limn an0 ,1 ,k - 1)n anan + 1 命题 3 给定正项级数 6 an ,若 limn (1 - ) = p ,n = 1 n an,k - 1)n证明 :由 lim an = p 知 : 0 , N N , n N ,n a1kn + i则 lim = p (i = 0 ,1nnn ank,即- an 0 ,使得-有an - an + 1 an + 1证明 : 由 limn ( 1 - ) = p 知 : n ( 1 - ) = p + 0 ,则 (- ) n an

14、 (+) n (- ) kn akn (+) knanann (- ) akn (+)knkna a 1n + 1kn(+) nan(- ) nn ,其中 limn = 0 于是= 1 -+ 0 ( ) , = 1annnakn - 1an + 1n 若 0 0 ,使得- 0 ,+ 1 ,且 (+akn - 1 1 1-+ 0 ( ) , = 1 -+ 0 ( ) ,= 1kaknakn + i) k - 即 (+) 1 ,取 0 ,使得- 1 ,且 (- ) k +即1 - n+ 0 ln =n n an ttnan(- ) kaknakn + ik - 1 1 lim = + 同理 lim

15、 = + 。n + 0 ( 1 ) 又 由 泰 勒 公 式 得 ln 1 - + 0+n ann an6 ln1 -tntt = n由此命题可以看出 ,当 p 0 ,p + 时 ,定理 2 优于柯西判别法 。定理 2 与达朗贝尔判别法比较k - 1 + 0 ( 1 ) ln akn = l 1 -nt = nn( 1 ) = -( 1 )6+ 0 =n- p ( 1tn antn+ ( ) + 0 ( 1 ) ( k - 1) n 又由欧拉公1+nkn - 1n达朗贝尔判别法 :有正项级数 6 Un (Un 0) , Nn = 1n式知 : 6 = C + ln n +n 其中 limn =

16、0 , C 为欧拉常数 limiUn + 1= 1n n N , n N 有q (常数) 1 ,则级数 6 Un 收敛 ; U( 1 11n = 1n+ + ) = limln ( kn - 1) - ln ( n - 1) n n + 1kn - 1 n Un + 1若 N N , n N 有1 ,则级数 6 Un 发散 。 kn - 1 akn= limln ( ) = lnk limln = - lnk = lnk - limaknUn = 1nn n - 1n ann an其极限形式在本文的开头已给出 。= 1an + 1 命题 2 给定正项级数 6 an ,若 lim = p ,则当

17、 0kn = 1 n anakn + 1 1akn + iakn + i同理 lim = p 1 时 ,lim = + , (i =kn ann an0 ,1 ,k - 1)n an由此命题可以看出定理 2 优于拉贝判别法 。an + 1 参 考 文 献 证明 :由 lim = p 知 : 0 , N N , n N ,n an1 刘玉琏 ,傅沛仁 . 数学分析讲义 M . 长春 :东北师范大学出版社 ,1990.2 李铁烽 . 正项级数判敛的一种新的比值判别法 J .数学通报 ,1990 (1) :46 - 47.3 高军 . 谈谈几种正项数敛散性判别法的比较 J . 数 学通报 ,1994 (12) :34 - 36.an + 1an + 1(- ) ( k - 1) n 有- ,即 - +anan akn akn - 1an + 1( ) ( k - 1) n( ) ( k - 1) nakn - 1 kn - 2 +即-aanakn( ) ( k - 1) n+ 1 , an +若 0 p 0 ,使得aknakn + i则 (+) k - 1 1 lim = 0 同理 lim = 0 。n ann an