第8章-数字信号的最佳接收PPT优秀课件

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1、2021/5/2618 数字信号的最佳接收2021/5/2628.1 概述n在前面的各种调制方式的接收（即：解调）时已经知道，不同的在前面的各种调制方式的接收（即：解调）时已经知道，不同的接收（解调）方法获得不同的抗噪声性能。如：接收（解调）方法获得不同的抗噪声性能。如：FSK可以采用相可以采用相干、非相干和过零检测等方法，其结果具有一定的差别。因此，干、非相干和过零检测等方法，其结果具有一定的差别。因此，数字通信系统采用不同的接收方式，其传输质量是有差异的。度数字通信系统采用不同的接收方式，其传输质量是有差异的。度量的准则主要是错误判决的概率（误码率）。量的准则主要是错误判决的概率（误码率）

2、。n如何以最小的差错概率接收如何以最小的差错概率接收，或者，或者如何以最大信噪比接收如何以最大信噪比接收等问题，等问题，理想接收机是否在任何情况下都不出现差错等问题，需要深入分理想接收机是否在任何情况下都不出现差错等问题，需要深入分析析n在现代通信中，太空通信、在现代通信中，太空通信、3G等方面，最佳接收都有广泛的应用。等方面，最佳接收都有广泛的应用。宇宙探测宇宙探测2021/5/2638.2 最佳接收准则n最佳是以什么为最佳是以什么为“标准标准”的的?是需要研究的。如：田是需要研究的。如：田径比赛中，跳远、百米、铅球等项目不同，最佳的径比赛中，跳远、百米、铅球等项目不同，最佳的含义也不同。含

3、义也不同。n分析方法，在前面，都是分析方法，在前面，都是先给出接收机模型先给出接收机模型然后分然后分析其性能的分析方法，析其性能的分析方法，n在本章，未知接收机的结构，依据某种最佳接收准在本章，未知接收机的结构，依据某种最佳接收准则，寻找或则，寻找或推导推导出相应的出相应的最佳接收机结构最佳接收机结构，然后再，然后再分析其分析其性能性能。n方法类似寻找无码间干扰的信道特性方法类似寻找无码间干扰的信道特性乘法器低通滤波器)t(n)t(sC(t)判决器时钟2021/5/2648.2 最佳接收准则及最佳接收机n1、“最小差错率准则最小差错率准则” （等价于最大后验概率准则最大后验概率准则） - 理想

4、理想接收机。接收机。 数字通信系统传输质量的主要指标是错误概率，因此，将错数字通信系统传输质量的主要指标是错误概率，因此，将错误概率最小作为误概率最小作为“最佳最佳”的准则是恰当的。或者，当接收端收到的准则是恰当的。或者，当接收端收到某个符号，而判决最有可能的发送符号，即正确接收的概率最大，某个符号，而判决最有可能的发送符号，即正确接收的概率最大，即最大后验概率。即最大后验概率。 如何使噪声引起的错误概率最小，从而达到如何使噪声引起的错误概率最小，从而达到最佳接收的效果。最佳接收的效果。 在二元数字通信中，误码率Pe如下表示：使使Pe达到最小，其中，达到最小，其中，P(s1)和和P(s2)，分

5、别为发端的发送概率，分别为发端的发送概率s1错成错成s2的概率的概率s2 错成错成s1的概率的概率)()()()(222111sPsPsPsPPeeedyypsPyse)()(0111dyypsPyse)()(0222 2021/5/2658.2 最佳接收准则n2、最大输出信噪比准则最大输出信噪比准则匹配滤波器匹配滤波器 在抽样时刻按照抽样所得的信噪比对每个码元作在抽样时刻按照抽样所得的信噪比对每个码元作判决，从而决定误码率。信噪比越大，误码率越判决，从而决定误码率。信噪比越大，误码率越小。小。0002N)t (sH()x(t)=s(t)+n(t)y(t)=s0(t)+n0(t)2021/5/

6、2668.2 最佳接收准则n3、最小均方误差准则最小均方误差准则相关接收机相关接收机n根据接收的信号，与样品对照，计算误差，哪种符号的误差根据接收的信号，与样品对照，计算误差，哪种符号的误差最小，就判决为哪种符号，也是正确接收的思路。最小，就判决为哪种符号，也是正确接收的思路。dt) t (s) t (x) t (e2121dt) t (s) t (x) t (e2222思考：以上三个准则是否是一致的？思考：以上三个准则是否是一致的？2021/5/267数字通信系统的统计模型数字通信系统的统计模型8.2 最小差错率准则在数字通信系统中，符号在数字通信系统中，符号S0，S1，S2，.Sn分别是分

7、别是发端的符号集，如果发端的符号集，如果n=2，则为二元数字通信系统，则为二元数字通信系统，如如S0=0，S1=1，或者，或者 S0= -1，S1=1。判决器输入为信号判决器输入为信号y=x+s2021/5/268如图，在横坐标上可以找到一个划分点如图，在横坐标上可以找到一个划分点y0。在区间。在区间(-, y0， q1q2；在区间；在区间(y0, )， q1q2。 分析判决原理，当观察时刻分析判决原理，当观察时刻得到的观察值得到的观察值yi(-, y0)时，判为时，判为r1出现；若观察时刻得到的出现；若观察时刻得到的观察值观察值yi(y0, )时，判为时，判为r2出现。出现。 如果发送的是如

8、果发送的是s1(t)，但是观察时刻得到的观察值，但是观察时刻得到的观察值yi落在落在(y0,)区间区间, 被判为被判为r2出现，这时将造成错误判决，其错误概率出现，这时将造成错误判决，其错误概率为为 yy 0PPr1r2)(1yps)(2ypsa1a22021/5/269 同理，同理， 如果发送的是如果发送的是s2(t)， 但是观察时刻得到的观察值但是观察时刻得到的观察值yi落在落在(-, y0)区间区间, 被判为被判为r1出现，这时也将造成错误判出现，这时也将造成错误判决，其错误概率为决，其错误概率为 此时系统总的误码率为此时系统总的误码率为系统总的误码率与系统总的误码率与先验概率先验概率、

9、 似然函数似然函数及及划分点划分点 有关，有关，条件概率密度条件概率密度ps1(y0)和和ps2(y0) 叫做似然函数叫做似然函数0ydyypsPyss)()(0111dyypsPyss)()(0222020121)()()()()()()()(212211ysyseeedyypsPdyypsPsPsPsPsPP2021/5/2610 在先验概率和似然函数一定的情况下，系统总的误码率在先验概率和似然函数一定的情况下，系统总的误码率Pe是划分点是划分点y0的函数。不同的的函数。不同的y0将有不同的将有不同的Pe，我们希望选择一，我们希望选择一个划分点个划分点y0使误码率使误码率Pe达到最小。使误

10、码率达到最小。使误码率Pe达到最小的划分点达到最小的划分点y0称为最佳划分点。称为最佳划分点。y0可以通过求可以通过求Pe的最小值得到。的最小值得到。 即即00yPe-P(s1)Pe1(y0)+P(s2)Pe2(y0)=0 由此可得最佳划分点将满足如下方程由此可得最佳划分点将满足如下方程:11200)()()()(21ssPsPyPyPee判为020121)()()()()()()()(211221ysyseeedyypsPdyypsPsPsPsPsPP21200)()()()(21ssPsPyPyPee判为2021/5/2611n根据随机信号分析理论可知，若噪声是高斯白噪声，则它根据随机信号

11、分析理论可知，若噪声是高斯白噪声，则它在任意两个时刻上得到的样值都是互不相关的，同时也是在任意两个时刻上得到的样值都是互不相关的，同时也是统计独立的；若噪声是带限高斯型的，按抽样定理对其抽统计独立的；若噪声是带限高斯型的，按抽样定理对其抽样，则它在抽样时刻上的样值是互不相关的，同时也是统样，则它在抽样时刻上的样值是互不相关的，同时也是统计独立的。计独立的。n设信号的持续时间为设信号的持续时间为Ts，在，在(0,Ts)时间内观测噪声，第时间内观测噪声，第i次次抽样其概率密度为抽样其概率密度为222exp21)(nininnpkiinikninnnp12222exp)2(1)(2021/5/261

12、2根据帕塞瓦尔定理， 当k很大时有dttnnnTkiin)(11020122)(n1exp)2(1)(020Tknidttnnpkiinikninnnp12222exp)2(1)(2021/5/2613),.,2 , 1()()(n1exp)2(1)(020midttstyypTiknsi), 2 , 1()()()(mitstntyi信号通过信道叠加噪声后到达观察空间，在信号通过信道叠加噪声后到达观察空间，在s为已知情况下，为已知情况下，观察空间的观察波形为观察空间的观察波形为 。由于在一个码元期间。由于在一个码元期间T内，内，信号集合中各状态信号集合中各状态s1，s2，sm 中之一被发送，

13、因此在观察中之一被发送，因此在观察期间期间T内观察波形为内观察波形为sny2021/5/26148.3 确知信号的最佳接收机确知信号的最佳接收机 在数字通信系统中，接收机输入信号根据其特性的不同在数字通信系统中，接收机输入信号根据其特性的不同可以分为两大类，一类是确知信号，另一类是随参信号。所可以分为两大类，一类是确知信号，另一类是随参信号。所谓确知信号是指一个信号出现后，它的所有参数谓确知信号是指一个信号出现后，它的所有参数(如幅度、如幅度、频率、频率、 相位、到达时刻等相位、到达时刻等)都是确知的。如数字信号通过恒都是确知的。如数字信号通过恒参信道到达接收机输入端的信号。在随参信号中，根据

14、信号参信道到达接收机输入端的信号。在随参信号中，根据信号中随机参量的不同又可细分为随机相位信号、随机振幅信号中随机参量的不同又可细分为随机相位信号、随机振幅信号和随机振幅随机相位信号和随机振幅随机相位信号(又称起伏信号又称起伏信号)。先讨论确知信号。先讨论确知信号的最佳接收问题。的最佳接收问题。 信号统计检测是利用概率和数理统计的工具来设计接收信号统计检测是利用概率和数理统计的工具来设计接收机。所谓机。所谓最佳接收机设计最佳接收机设计是指在一组给定的假设条件下，利是指在一组给定的假设条件下，利用信号检测理论给出满足某种最佳准则接收机的用信号检测理论给出满足某种最佳准则接收机的数学描述和数学描述

15、和组成原理框图组成原理框图，而不涉及接收机各级的具体电路。本节分析，而不涉及接收机各级的具体电路。本节分析中所采用的最佳准则是最小差错概率准则。中所采用的最佳准则是最小差错概率准则。 2021/5/2615 8.3.1二进制确知信号最佳接收机结构二进制确知信号最佳接收机结构 接收端原理图如图所示。设到达接收机输入端的两个确接收端原理图如图所示。设到达接收机输入端的两个确知信号分别为知信号分别为s1(t)和和s2(t)，它们的持续时间为，它们的持续时间为(0, T)，且有相，且有相等的能量，即等的能量，即 T02220211)(S)(EdttEdttST 噪声噪声n(t)是高斯白噪声，均值为零，

16、单边功率谱密度为是高斯白噪声，均值为零，单边功率谱密度为n0。 要求设计的接收机能在噪声干扰下以最小的错误概率检测信要求设计的接收机能在噪声干扰下以最小的错误概率检测信号。号。 根据前面的分析可知，在加性高斯白噪声条件下，根据前面的分析可知，在加性高斯白噪声条件下， 最小差最小差错概率准则与似然比准则是等价的。可以直接利用似然比准错概率准则与似然比准则是等价的。可以直接利用似然比准则对确知信号作出判决。则对确知信号作出判决。 在观察时间在观察时间(0，T)内，接收机输入内，接收机输入端的信号为端的信号为s1(t)和和s2(t)， 合成波为合成波为最佳接收机s(t)n(t)输出2021/5/26

17、1600yPe 由此可得最佳划分点将满足如下式由此可得最佳划分点将满足如下式11200)()()()(21ssPsPyPyPee判为020121)()()()()()()()(211221ysyseeedyypsPdyypsPsPsPsPsPP21200)()()()(21ssPsPyPyPee判为)()()()(020121yPsPyPsPee得到得到2021/5/2617y(t)= s1(t)+n(t),发送s1(t)时, s2(t)+n(t),发送s2(t)时, 发送 s1(t)时发送 s2(t)时 由前面分析可知，当出现s1(t)或s2(t)时观察空间的似然函数分别为 dttstyny

18、pTkns0210)()(1exp)2(1)(1dttstynypTkns0220)()(1exp)2(1)(2其似然比判决规则为TknTkneedttstyndttstynyPyP0220021000)()(1exp)2(1)()(1exp)2(1)()(212021/5/2618 则判为s2(t)出现。式中，P(s1)和P(s2)分别为发送s1(t)和s2(t)的先验概率。判决式为TTdttstyUdttstyU022011)()()()(判为s1(t)出现，而TTdttstyUdttstyU022011)()()()(则判为s2(t)出现。 式中： U1= lnP(s1)U2= lnP(

19、s2)20n20n2021/5/2619在先验概率在先验概率P(s1)和和P(s2)给定的情况下，给定的情况下，U1和和U2都为常数。都为常数。 根据判决规则，根据判决规则， 可得到最佳接收机的结构，其中比较器是比较抽样时可得到最佳接收机的结构，其中比较器是比较抽样时刻刻t=T时上下两个支路样值的大小。这种最佳接收机的结构是按比较观察波时上下两个支路样值的大小。这种最佳接收机的结构是按比较观察波形形y(t)与与s1(t)和和s2(t)的相关性而构成的，因而称为相关接收机。其中相乘器的相关性而构成的，因而称为相关接收机。其中相乘器与积分器构成相关器。接收过程是分别计算观察波形与积分器构成相关器。

20、接收过程是分别计算观察波形y(t)与与s1(t)和和s2(t)的相的相关函数，在抽样时刻关函数，在抽样时刻t=T，y(t)与哪个发送信号的相关值大就判为哪个信号与哪个发送信号的相关值大就判为哪个信号出现。出现。 积分器y(t)s1(t)输出积分器s2(t)U1U2比较器二进制确知信号最佳接收机结构-理想接收机2021/5/2620 如果发送信号如果发送信号s1(t)和和s2(t)的出现概率相等，即的出现概率相等，即P(s1)=P(s2)，可得可得U1=U2。此时，图。此时，图 中的两个相加器可以省去，则先验等中的两个相加器可以省去，则先验等概率情况下的二进制确知信号最佳接收机简化结构。概率情况

21、下的二进制确知信号最佳接收机简化结构。积分器y(t)s1(t)输出积分器s2(t)比较器二进制确知信号最佳接收机简化结构 -相关接收机2021/5/2621 8.3.2二进制确知信号最佳接收机误码性能下面从相关器形式的最佳接收机角度来分析这个问题。 最佳接收机结构如图 所示，输出总的误码率为 Pe=P(s1)Pe1(s2)+P(s2)Pe2(s1)其中其中, P(s1)和和P(s2)是发送信号的先验概率。是发送信号的先验概率。Pe1(s2)是发送是发送s1(t)信号时错误判决为信号时错误判决为s2(t)信号出现的概率；信号出现的概率；Pe2(s1)是发送是发送s2(t)信信号时错误判决为号时错

22、误判决为s1(t)信号出现的概率。分析信号出现的概率。分析Pe1(s2)与与Pe2(s1)的的方法相同，我们以分析方法相同，我们以分析Pe1(s2)为例。为例。 2021/5/2622当发送信号为当发送信号为s1(t)，接收机输入端合成波为，接收机输入端合成波为 y(t)=s1(t)+n(t）其中其中, n(t)是高斯白噪声，其均值为零，方差为是高斯白噪声，其均值为零，方差为2n。若。若 U1+ y(t)s1(t)dtU2+ y(t)s2(t)dtT0T0则判为s1(t)出现，是正确判决。若 U1+ dttstyUdttstyTT02021)()()()(则判为s2(t)出现，是错误判决。 将

23、y(t)=s1(t)+n(t)代入式可得2021/5/2623dttstntsUdttstntsUTT)()()()()()(20121011代入U1= lnP(s1)和U2= lnP(s2)， 并利用s1(t)和s2(t)能量相等的条件可得20n20ndttstssPsPndttststnTT2201120201)()(21)()(ln2)()()(左边设为随机变量，令为，即上式右边是常数， 令为a, 即dttststnT)()()(201dttstssPsPnaT2021120 )()(21)()(ln22021/5/2624可简化为可简化为 a 判为判为s2(t)出现，则产生了错误判决。

24、则发送出现，则产生了错误判决。则发送s1(t)将其错误将其错误判决为判决为s2(t)的条件简化为的条件简化为a事件，相应的错误概率为事件，相应的错误概率为 Pe1(s2)=P(a) 只要求出随机变量只要求出随机变量的概率密度函数，的概率密度函数， 即可计算出误码即可计算出误码率。率。 根据假设条件，根据假设条件， n(t)是高斯随机过程，是高斯随机过程， 其均值为零，方其均值为零，方差为差为2n。根据随机过程理论可知，高斯型随机过程的积分是。根据随机过程理论可知，高斯型随机过程的积分是一个高斯型随机变量。所以一个高斯型随机变量。所以是一个高斯随机变量，只要求出是一个高斯随机变量，只要求出的数学

25、期望和方差，就可以得到的数学期望和方差，就可以得到的概率密度函数。的概率密度函数。 2021/5/2625的数学期望为 0)()()()()( )(201210dttststnEdttstsTnEETT的方差为d)()()()()( ) t (21210022dtssntstsnEDTT 式中En(t)n()为高斯白噪声n(t)的自相关函数，由随机信号分析可知 )(2)()(0tnntnE20n(0) 0t=tdttstsT220102)()(2n2021/5/2626将上面的结果代入前式将上面的结果代入前式dttstsT220102)()(2n于是可以写出于是可以写出的概率密度函数为的概率密

26、度函数为 222exp21)(p至此至此, 可得发送可得发送s1(t)将其错误判决为将其错误判决为s2(t)的概率为，变量带换的概率为，变量带换后后da-222e2exp21)a(P)s (P1dttstssPsPnaT2021120 )()(21)()(ln22021/5/2627dsPbe22122exp21)(系统总的误码率为系统总的误码率为)2exp(21)()2exp(21)()()()()(222221122211dxxsPdxxsPsPsPsPsPPbaeee式中式中b为为 利用相同的分析方法，可以得到发送利用相同的分析方法，可以得到发送s2(t)将其错误判决为将其错误判决为s1

27、(t)的概率为的概率为dttstssPsPnbT2012210 )()(21)()(ln22021/5/2628 最佳接收机的误码性能与先验概率最佳接收机的误码性能与先验概率P(s1)和和P(s2)、噪声功、噪声功率谱密度率谱密度n0及及s1(t)和和s2(t)之差的能量有关，而与之差的能量有关，而与s1(t)和和s2(t)本身本身的具体结构无关。的具体结构无关。 一般情况下先验概率是不容易确定的，通常选择先验等概的一般情况下先验概率是不容易确定的，通常选择先验等概的假设设计最佳接收机假设设计最佳接收机。在发送。在发送s1(t)和和s2(t)的先验概率相等时，的先验概率相等时， 误码率误码率P

28、e还与还与s1(t)和和s2(t)之差的能量有关，如何设计之差的能量有关，如何设计s1(t)和和s2(t)使误码率使误码率Pe达到最小，是我们需要解决的另一个问题。达到最小，是我们需要解决的另一个问题。2021/5/2629当发送信号先验概率相等时，当发送信号先验概率相等时，a=b，此时误码率可表示为，此时误码率可表示为)2(212exp21P2eAerfcdxxA式中式中:TdttstsnA02210)()(21 为了分析方便，我们定义为了分析方便，我们定义s1(t)和和s2(t)之间的互相关系数为之间的互相关系数为EdttstsT021)()(式中式中, E是信号是信号s1(t)和和s2(

29、t)在在0tT 期间的平均能量。当期间的平均能量。当s1(t)和和s2(t)具有相等的能量时，有具有相等的能量时，有dttstsbaT2012 )()(21dttstsT220102)()(2n2021/5/2630 E=E1=E2=Eb 将Eb和代入式Pe中，可得: 此时，此时， Pe可表示为可表示为 0)1 (AnEb上式即为二进制确知信号最佳接收机误码率的一般表示式。上式即为二进制确知信号最佳接收机误码率的一般表示式。 它与信噪比它与信噪比 及发送信号之间的互相关系数及发送信号之间的互相关系数有关。有关。 0nEb2)1 (erfc21P0enEb2021/5/2631 上式即为发送信号

30、先验概率相等时，二进制确知信号最上式即为发送信号先验概率相等时，二进制确知信号最佳接收机所能达到的最小误码率，此时相应的发送信号佳接收机所能达到的最小误码率，此时相应的发送信号s1(t)和和s2(t)之间的互相关系数之间的互相关系数= -1。也就是说，当发送二进制信。也就是说，当发送二进制信号号s1(t)和和s2(t)之间的互相关系数之间的互相关系数= -1时的波形就称为是最佳时的波形就称为是最佳波形，也叫反相关。波形，也叫反相关。 当互相关系数当互相关系数=0时，时， 叫不相关，误码率为叫不相关，误码率为 21P0enEerfcb 若互相关系数若互相关系数=1， 叫全相关，则误码率为叫全相关

31、，则误码率为21Pe8.3.3 公式分析2021/5/2632 若发送信号若发送信号s1(t)和和s2(t)是不等能量信号，如是不等能量信号，如E1=0，E2=Eb，=0，发送信号，发送信号s1(t)和和s2(t)的平均能量为的平均能量为E=Eb/2，在这种情况下，在这种情况下，误码率表示式，变为误码率表示式，变为421P0enEerfcb关系曲线如图关系曲线如图 所示。所示。 在数字基带传输系统误码率性能分析中我们知道，在数字基带传输系统误码率性能分析中我们知道， 双极双极性信号的误码率低于单极性信号，其原因之一就是双极性信性信号的误码率低于单极性信号，其原因之一就是双极性信号之间的互相关系

32、数号之间的互相关系数=-1，而单极性信号之间的互相关系数，而单极性信号之间的互相关系数=0。 2021/5/2633二进制最佳接收机误码率曲线 1.010 110 210 310 410 5 14 10 6 20261014Ebn0/ dBPe =-1=0 =0，OOK2021/5/2634 在数字调制系统误码性能分析中，在数字调制系统误码性能分析中，2PSK信号能使互相关信号能使互相关系数系数= -1，因此，因此2PSK信号是最佳信号波形；信号是最佳信号波形；2FSK和和2ASK信号对应的互相关系数信号对应的互相关系数=0, 因此因此2PSK系统的误码率性能优于系统的误码率性能优于2FSK和

33、和2ASK系统；系统；2FSK信号是等能量信号，而信号是等能量信号，而2ASK信号信号是不等能量信号，因此是不等能量信号，因此2FSK系统的误码率性能优于系统的误码率性能优于2ASK系系统。但是，本质上无码率相同，但由于统。但是，本质上无码率相同，但由于ASK的误码率计算是的误码率计算是在最佳判决门限下得到的，因此，很难在实际系统中获得。在最佳判决门限下得到的，因此，很难在实际系统中获得。 一种调制方式的优劣不能简单比较抗噪声性能，还需要取一种调制方式的优劣不能简单比较抗噪声性能，还需要取决于实现的复杂度。工程上，以满足需要为目标决于实现的复杂度。工程上，以满足需要为目标 2021/5/263

34、5例8-1 n某FSK信号，s1(t)=Acos(1t), 0 tTs s2(t)=Acos(2t) 0 tTs 在先验等概率的条件下，噪声功率谱n0/2时： (1)画出最佳接收机的结构 (2)计算误码率2021/5/2636最佳接收机的模型XXdtdt+-判决x(t)s1(t)=Acos(1t)s2(t)=Acos(2t)2021/5/2637n计算：n=0)2nTA(erfc21)nE(erfc21P020beTA21dt) t(cosAE2T0122b2021/5/2638例题例题8-2 某PSK信号，s1(t)=Acos(ct), 0 tTs s2(t)=Acos(ct) 0 tTs

35、在先验等概率的条件下，噪声功率谱n0/2时， 试画出最佳接收机的结构。XXdtdt+-判决x(t)s1(t)=cos(ct)s2(t)=-cos(ct)Xdt判决x(t)s(t)=cos(ct)TcTcTctdttxdtttxtdttx000cos)(2cos)(cos)(2021/5/2639青海湖青海湖小结 ：最佳接收准则有哪些？理想接收机的结构抗噪声性能如何思考题思考题8-18-4 习题习题8-12021/5/26408.5 匹配滤波器n 最大输出信噪比准则 在抽样时刻按照抽样所得的信噪比对每个码元作判决，从而决定误码率。信噪比越大，误码率越小。0002N)t (sH()x(t)=s(t

36、)+n(t)y(t)=s0(t)+n0(t)滤波器输出信噪比在某一特定时刻达到最大，导滤波器输出信噪比在某一特定时刻达到最大，导出的出的最佳线性滤波器最佳线性滤波器称为匹配滤波器。称为匹配滤波器。最小差错率准则复习最小差错率准则复习2021/5/2641 选择滤波器传输特性使滤波器输出信噪比尽可能大。当选选择滤波器传输特性使滤波器输出信噪比尽可能大。当选择的滤波器传输特性使输出信噪比达到最大值时，该滤波器择的滤波器传输特性使输出信噪比达到最大值时，该滤波器就称为输出信噪比最大的最佳线性滤波器。就称为输出信噪比最大的最佳线性滤波器。 设输出信噪比最大的最佳线性滤波器的传输函数为设输出信噪比最大的

37、最佳线性滤波器的传输函数为H(), 滤波器输入信号与噪声的合成波为滤波器输入信号与噪声的合成波为 x(t)=s(t)+n(t) 其中，其中， s(t)为输入数字信号，为输入数字信号， 其频谱函数为其频谱函数为S()。n(t)为高斯为高斯白噪声，白噪声， 其双边功率谱密度为其双边功率谱密度为n0/2。2021/5/2642 由于该滤波器是线性滤波器，满足线性叠加原理，因此由于该滤波器是线性滤波器，满足线性叠加原理，因此滤波器输出也由输出信号和输出噪声两部分组成，即滤波器输出也由输出信号和输出噪声两部分组成，即 y(t)=so(t)+no(t) 式中输出信号的频谱函数为式中输出信号的频谱函数为So

38、()，其对应的时域信号为，其对应的时域信号为 deHsdestjtj)()(21)(21) t (soo滤波器输出噪声的平均功率为滤波器输出噪声的平均功率为dHpdPNinno2)()(21)(210dHndHn2020)(4)()(221t=t0时刻的瞬时功率为时刻的瞬时功率为20|)()(21|0deHsStj2021/5/2643 在抽样时刻在抽样时刻t0，线性滤波器输出信号的瞬时功率与噪声平，线性滤波器输出信号的瞬时功率与噪声平均功率之比为均功率之比为 dHndesHNtstj20202000)(4)()(21)(r0dYdXdYX222)(21)(21)()(21可见，可见， 滤波器

39、输出信噪比滤波器输出信噪比ro与输入信号的频谱函数与输入信号的频谱函数S()和滤波和滤波器的传输函数器的传输函数H()有关。在输入信号给定的情况下，输出信噪有关。在输入信号给定的情况下，输出信噪比比ro只与滤波器的传输函数只与滤波器的传输函数H()有关。有关。使输出信噪比使输出信噪比ro达到最大的传输函数达到最大的传输函数H()就是我们所要求的最就是我们所要求的最佳滤波器的传输函数。佳滤波器的传输函数。ro是一个泛函求极值的问题，采用施瓦是一个泛函求极值的问题，采用施瓦兹兹(Schwartz)不等式可以容易地解决该问题。不等式可以容易地解决该问题。 施瓦兹不等式为施瓦兹不等式为2021/5/2

40、644dYdXdYX222)(21)(21)()(21式中，式中， X()和和Y()都是实变量都是实变量的复函数。的复函数。 当且仅当当且仅当 X()=KY*() 等式才能成立。式中等式才能成立。式中K为任意常数。将施瓦兹不等式用于为任意常数。将施瓦兹不等式用于求求ro， 并令并令)()(HX0)()(tjeSY2021/5/2645可得 dHndeSHtj2020)(22)()(21r02)(21)(22)()(2210220220ndsdHndesdHtj根据帕塞瓦尔定理，有根据帕塞瓦尔定理，有 EdttSdS)()(21222021/5/2646根据施瓦兹不等式中等号成立的条件根据施瓦兹

41、不等式中等号成立的条件X()=KY*()， 可得不可得不等式中等号成立的条件为等式中等号成立的条件为 00max2rnE0tj*e )()( KSH式中式中E为输入信号的能量。为输入信号的能量。 线性滤波器所能给出的最大输出信线性滤波器所能给出的最大输出信噪比为噪比为式中，式中，K为常数，通常可选择为为常数，通常可选择为K=1。S*()是输入信号频谱函是输入信号频谱函数数S()的复共轭。的复共轭。 H()就是我们所要求的最佳线性滤波器的就是我们所要求的最佳线性滤波器的传输函数，传输函数，该滤波器在给定时刻该滤波器在给定时刻t0能获得最大输出信噪比。能获得最大输出信噪比。 2021/5/2647

42、 由于滤波器的传输函数除相乘因子由于滤波器的传输函数除相乘因子Ke-jt0外，与外，与信号频谱信号频谱的复共轭相一致，所以称该滤波器为匹配滤波器。的复共轭相一致，所以称该滤波器为匹配滤波器。deeKSdeHthtjtjtj0)(21)(21)(*)()( s210deKttjw) tt (ks)( s 0*0ttK若若s(t)是实信号，上式成立是实信号，上式成立8.5.1 匹配滤波器的冲击响应 从匹配滤波器传输函数从匹配滤波器传输函数H()所满足的条件，我们也可以得所满足的条件，我们也可以得到匹配滤波器的单位冲激响应到匹配滤波器的单位冲激响应h(t)：0tj*e)()( KSH2021/5/2

43、648 匹配滤波器的单位冲激响应匹配滤波器的单位冲激响应h(t)是输入信号是输入信号s(t)的镜像函数，的镜像函数，t0为输出最大信噪比时刻。为输出最大信噪比时刻。对于因果系统，对于因果系统， 匹配滤波器的单位冲激响应匹配滤波器的单位冲激响应h(t)应满足应满足:为了满足这个条件，为了满足这个条件， 必须有：必须有：即匹配滤波器的单位冲激响应为即匹配滤波器的单位冲激响应为)()(0ttKsth00)(0ttts000)()(0ttttKsth2021/5/2649匹配滤波器单位冲激响应原理匹配滤波器单位冲激响应原理s(t)OTth(t)Ott02021/5/2650 对于一个物理可实现的匹配滤

44、波器，其输入信号对于一个物理可实现的匹配滤波器，其输入信号s(t)必须在必须在它输出最大信噪比的时刻它输出最大信噪比的时刻t0之前结束。也就是说，若输入信号之前结束。也就是说，若输入信号在在T时刻结束，则对物理可实现的匹配滤波器，时刻结束，则对物理可实现的匹配滤波器， 其输出最大信其输出最大信噪比时刻噪比时刻t0必须在输入信号结束之后，即必须在输入信号结束之后，即t0T。 对于接收机来对于接收机来说，说，t0是时间延迟，通常总是希望时间延迟尽可能小，因此一是时间延迟，通常总是希望时间延迟尽可能小，因此一般情况可取般情况可取t0=T。 dhts)()(h(t)s(t)(t)s0)tt ()( s

45、)(0s0KRdtKts若输入信号为若输入信号为s(t)， 则匹配滤波器的输出信号为则匹配滤波器的输出信号为2021/5/2651)tt ()(0s KRtso积分器y(t)s1(t)输出积分器s2(t)比较器匹配滤波器接收信号时接收机的结构，对比理想接收机的差异匹配滤波器接收信号时接收机的结构，对比理想接收机的差异Rs(t-t0)表明：信号的自相关在t=0时刻达到最大。因此，使得输出有最大瞬时信噪比存在。dtKtstso)( s)()(02021/5/2652信号时间波形信号时间波形 例例8 - 3设输入信号如图设输入信号如图 所示，试求该信号的匹配滤波所示，试求该信号的匹配滤波器传输函数和

46、输出信号波形。器传输函数和输出信号波形。 t0t21) t ( s其他TT2021/5/265320)()(TtjtjdtedtetsS)1 (12Tjej匹配滤波器的传输函数为匹配滤波器的传输函数为00) 1(1)()(2*tjTjtjeejweSH匹配滤波器的单位冲激响应为匹配滤波器的单位冲激响应为 h(t)=s(t0-t)取取t0=T，则有，则有TjTjeejH) 1(1)(2)()(tTsth2021/5/2654匹配滤波器的单位冲激响应如图匹配滤波器的单位冲激响应如图 所示。所示。 (2) 匹配滤波器的输出为匹配滤波器的输出为 dxttxsxsttRts)()()()(000,2tT

47、,23tT, 0TtT223TtT其他= 匹配滤波器的输出波形如图所示。可见，匹配滤波器的匹配滤波器的输出波形如图所示。可见，匹配滤波器的输出在输出在t=T时刻得到最大的能量时刻得到最大的能量E= T/2 。 2021/5/2655H()S()Pn()2/0nN0()0)()(*tjeSH200| )(|2| )(| )()(HnHNNiSo()200| )(| )(| )(| )()(HSHSSi2021/5/2656n例例8-4 信号信号s(t)如图所示，求出匹配滤波器（如图所示，求出匹配滤波器（Match Filter）冲击相应）冲击相应h(t)和和so(t),当当T=0.1us时，计算

48、系统时，计算系统的最大传码率。的最大传码率。-AA-T/2TtS(t)2021/5/2657-AA-T/2Tts(t)第一步：折叠第一步：折叠-AAT3/20th(t)第二步：移动第二步：移动t0=3T/2, 可得可得 RB=1/t0=2/3T2021/5/26588.5.2 匹配滤波器的性质n1、在所有滤波器中，匹配滤波器的输出信噪比最大。n2、匹配滤波器满足时移性，不满足频移性。n3、匹配滤波器的输出信噪比n4、匹配滤波器的输出响应是信号的自相关函数。20max0nEr对于非白噪声的情况下，如何推倒滤波器传输函数问题，可对于非白噪声的情况下，如何推倒滤波器传输函数问题，可参考其他教科书。参

49、考其他教科书。2021/5/2659匹配滤波器的实现n以对正弦信号作为匹配对象为例，可以采用LC谐振电路，要求Q值足够大，成为“共振”的效果，使得谐振信号幅度线性增长。2021/5/26608.6 最小均方误差准则最小均方误差准则相关接收机相关接收机n根据接收的信号，与样品对照，计算误差，哪种符根据接收的信号，与样品对照，计算误差，哪种符号的误差最小，就判决为哪种符号，也是正确接收号的误差最小，就判决为哪种符号，也是正确接收的思路。的思路。dt(t)s-y(t)1) t (eT02121T判决规则判决规则) t (s)()(12221判为tete) t (s)()(22122判为tetedt(

50、t)s-y(t)1) t (eT02222T2021/5/2661dt(t)s-y(t)1) t (eT02121Tdt(t)s-y(t)1) t (eT02222TdttstytstyTdttstytstyTTT02222102)()()(2)(1)()()(2)(121注意，利用注意，利用E1=E2，整理，整理TTdttstydttsty0021)()()()(判决为判决为 s1TTdttstydttsty0012)()()()(判决为判决为 s22021/5/2662相关接收机模型积分器y(t)s1(t)输出积分器s2(t)比较器从理想接收机、匹配滤波器接收和相关接收机的形式来看，从理想

51、接收机、匹配滤波器接收和相关接收机的形式来看，三者是等价的。因此，抗噪声性能也是相同的。三者是等价的。因此，抗噪声性能也是相同的。2021/5/2663小结n最佳接收准则：1最小差错率准则；2最大输出信噪比指责你；3最小均方误差准则。n三种最佳接收机n最佳接收机的抗噪声性能。2021/5/2664高原圣湖青海湖青海湖 小结匹配滤波器的性质有哪些？8-32021/5/26658.7 随相信号的最佳接收机随相信号的最佳接收机 确知信号最佳接收是信号检测中的一种理想情况。确知信号最佳接收是信号检测中的一种理想情况。 实际实际中，中， 由于种种原因，由于种种原因， 接收信号的各分量参数或多或少带有随接

52、收信号的各分量参数或多或少带有随机因素，因而在检测时，除了不可避免的噪声会造成判决错机因素，因而在检测时，除了不可避免的噪声会造成判决错误外，信号参量的未知性使检测错误又增加了一个因素。因误外，信号参量的未知性使检测错误又增加了一个因素。因为这些参量并不携带有关假设的信息，其作用仅仅是妨碍检为这些参量并不携带有关假设的信息，其作用仅仅是妨碍检测的进行。造成随参信号的原因很多，主要有：发射机振荡测的进行。造成随参信号的原因很多，主要有：发射机振荡器频率不稳定，信号在随参信道中传输引起的畸变，器频率不稳定，信号在随参信道中传输引起的畸变， 雷达目雷达目标信号反射等。标信号反射等。 2021/5/2

53、666 随机相位信号简称随相信号，是一种典型且简单的随参随机相位信号简称随相信号，是一种典型且简单的随参信号，其特点是接收信号的相位具有随机性质，如具有随机信号，其特点是接收信号的相位具有随机性质，如具有随机相位的相位的2FSK信号和具有随机相位的信号和具有随机相位的2ASK信号都属于随相信信号都属于随相信号。号。 对于随相信号最佳接收问题的分析，与确知信号最佳接对于随相信号最佳接收问题的分析，与确知信号最佳接收的分析思路是一致的。但是，由于随相信号具有随机相位，收的分析思路是一致的。但是，由于随相信号具有随机相位，使得问题的分析显得更复杂一些，最佳接收机结构形式也比使得问题的分析显得更复杂一

54、些，最佳接收机结构形式也比确知信号最佳接收机复杂。确知信号最佳接收机复杂。 对于上述情况，采用曾经讲过的各种接收机都会面临问题，对于上述情况，采用曾经讲过的各种接收机都会面临问题，比如：采用非相干接收，会遇到门限效应，采用相干接收会比如：采用非相干接收，会遇到门限效应，采用相干接收会遇到相位不同，不能实现同步；采用最佳接收会遇到接收端遇到相位不同，不能实现同步；采用最佳接收会遇到接收端信号样品不能确定等问题。初相位的变化，等效于延迟时间信号样品不能确定等问题。初相位的变化，等效于延迟时间变化。变化。2021/5/2667 8.7.1二进制随相信号最佳接收机结构二进制随相信号最佳接收机结构 二进

55、制随相信号具有多种形式，我们以具有随机相位的二进制随相信号具有多种形式，我们以具有随机相位的2FSK信号为例展开分析。设发送的两个随相信号为信号为例展开分析。设发送的两个随相信号为 s1(t, 1)= Acos(1t+1)0s2(t,2)= Acos(2t+2),0tT 0 0 t T , 其他 0 t T , 其他 式中，式中，1和和2为满足正交条件的两个载波角频率；为满足正交条件的两个载波角频率；1和和2是每是每一个信号的随机相位参数，它们的取值在区间一个信号的随机相位参数，它们的取值在区间0,2上服从上服从均匀分布，即均匀分布，即2021/5/2668,210 012 其他 f(2)=

56、,210012 其他 s1(t, 1)和s2(t, 2)持续时间为(0, T)，且能量相等，即dttsEdttsEETTb),(),(2022210211假设信道是加性高斯白噪声信道，则接收机输入端合成波为假设信道是加性高斯白噪声信道，则接收机输入端合成波为 y(t)= s1(t, 1)+n(t),发送s1(t, 1)时 s2(t, 2)+n(t),发送s2(t, 2)时f(1)= 2021/5/2669 在确知信号的最佳接收中，通过似然比准则可以得到最在确知信号的最佳接收中，通过似然比准则可以得到最佳接收机的结构。然而在随相信号的最佳接收中，接收机输佳接收机的结构。然而在随相信号的最佳接收中

57、，接收机输入端合成波入端合成波y(t)中除了加性高斯白噪声之外，还有随机相位，中除了加性高斯白噪声之外，还有随机相位， 因此不能直接给出似然函数因此不能直接给出似然函数fs1(y)和和fs2(y)。此时，可以先求出。此时，可以先求出在给定相位在给定相位1和和2的条件下关于的条件下关于y(t)的条件似然函数的条件似然函数fs1(y/1)和和fs2(y/2)，即，即 dttstynyfTkns20101)()(1exp)2(1)/(1由概率论知识可得，要消除相位由概率论知识可得，要消除相位的影响，可以通过对其的影响，可以通过对其进行求平均处理进行求平均处理dttstynyfTkns20202)()

58、(1exp)2(1)/(22021/5/267012101200),()(1exp21)2(1ddttstynTkn111111)/()(),()/(11111dyffdyfyfsssdttynnETbkn)(1exp21)2(120020010110)cos()(2ddtttAynT1201100)cos()(2exp2ddtttAynkT式中knTbdttynnEk)2()(1exp0200为常数。2021/5/2671dttttynAdtttAynTT)sinsincos(cos)()cos()(2)(11110001101dttwtynAdtttynATT11000110sinsin)

59、(2coscos)(2)arctancos(2)sincos(21112121011110XYYXnAYXnA)cos(20110MnA式中: tdttyXT011cos)(tdtwtyYT011sin)(21211YXM令随机变量令随机变量(1)为为2021/5/2672于是， 可表示为)2()cos(2exp21)(10010112001MnAkIdMnAkyfs式中，式中， k为常数，为常数， 为零阶修正贝塞尔函数。为零阶修正贝塞尔函数。 同理可得，出现同理可得，出现s2(t)时时y(t)的似然函数的似然函数fs2(y)为为)2(100MnAI2021/5/2673)2()(2002Mn

60、AkIyfsTtdttyX022cos)(TtdttyY022cos)(22222YXM代入代入M1和和M2的具体表示式可得的具体表示式可得: 210212101sin)(cos)(TTtdttytdttyM210222202sin)(cos)(TTtdttytdttyM2021/5/2674 假设发送信号假设发送信号s1(t, 1)和和s2(t, 2)的先验概率相等，采用最的先验概率相等，采用最大似然准则对观察空间样值作出判决，即大似然准则对观察空间样值作出判决，即fs1(y)fs2(y), 判为判为s1 fs1(y)fs2(y),判为判为s2 判为s2可得可得:),2()2(200100M

61、nAKIMnAKI判为S2判决式两边约去常数K后有),2()2(200100MnAIMnAI判为S12021/5/2675),2()2(200100MnAIMnAI判为S2 根据零阶修正贝塞尔函数的性质可知，根据零阶修正贝塞尔函数的性质可知，I0(x)是严格单调是严格单调增加函数，增加函数， 若函数若函数I0(x2)I0(x1)，则有，则有x2x1。因此，根据比。因此，根据比较零阶修正贝塞尔函数大小作出判决，可以简化为根据比较零较零阶修正贝塞尔函数大小作出判决，可以简化为根据比较零阶修正贝塞尔函数自变量的大小作出判决。阶修正贝塞尔函数自变量的大小作出判决。 此时判决规则简此时判决规则简化为化为

62、12010S22判为MnAMnA22010S22判为MnAMnA2021/5/2676 判决式两边约去常数并代入判决式两边约去常数并代入M1和和M2的具体表示式后有的具体表示式后有 M1M2, 判为判为s1 M1M2, 判为判为s2 即 21201202sin)(cos)(tdttytdttyTt21202202sin)(cos)(tdttytdttyTt判为判为s1, 21201201sin)(cos)(tdttytdttyTt21202202sin)(cos)(tdttytdttyTt判为判为s2, 2021/5/2677 对二进制随相信号进行判决的数学关系式，根据以上二式可对二进制随相信

63、号进行判决的数学关系式，根据以上二式可构成二进制随相信号最佳接收机结构如图构成二进制随相信号最佳接收机结构如图 所示。所示。 上述最佳接收机结构形式是相关器结构形式。上述最佳接收机结构形式是相关器结构形式。 可以看出，可以看出， 二进制随相信号最佳接收机结构比二进制确知信号最佳接收机二进制随相信号最佳接收机结构比二进制确知信号最佳接收机结构复杂很多，实际中实现也较复杂。结构复杂很多，实际中实现也较复杂。 与二进制确知信号最佳与二进制确知信号最佳接收机分析相类似，可以采用匹配滤波器对二进制随相信号最接收机分析相类似，可以采用匹配滤波器对二进制随相信号最佳接收机结构进行简化。佳接收机结构进行简化。

64、 由于接收机输入信号由于接收机输入信号s1(t, 1)和和s2(t, 2)包含有随机相位包含有随机相位1和和2，因此无法实现与输入信号，因此无法实现与输入信号s1(t, 1)和和s2(t, 2)完全匹配的匹配完全匹配的匹配滤波器。我们可以设计一种匹配滤波器，滤波器。我们可以设计一种匹配滤波器， 它只与输入信号的频它只与输入信号的频率匹配，而不匹配到相位。与输入信号率匹配，而不匹配到相位。与输入信号s1(t, 1)频率相匹配的频率相匹配的匹配滤波器单位冲激响应为匹配滤波器单位冲激响应为2021/5/2678二进制随相信号最佳接收机结构相关器平方器cos1t相关器平方器sin1t相关器平方器cos

65、2t相关器平方器sin2t输入相加器开方器相加器开方器比较器输出M1M22021/5/2679全书总复习复习方法：复习方法：1、清理概念：把全书中的概念、清理概念：把全书中的概念(逐页逐页) 进行全面清理理，准确进行全面清理理，准确理解，最好能根据自己的理解表述出来，特别注意理解，最好能根据自己的理解表述出来，特别注意思考题。思考题。表达式、波形、频谱、框图、物理含义，数量关系表达式、波形、频谱、框图、物理含义，数量关系、.。2、公式推导：全书公式繁多，但相互关联，选择一个代表性、公式推导：全书公式繁多，但相互关联，选择一个代表性的公式推导一遍。的公式推导一遍。信噪比公式、误码率公式。信噪比公

66、式、误码率公式。3、扫清习题例题。对每一道作业题都要会做。、扫清习题例题。对每一道作业题都要会做。4、知识贯通，比较对比。、知识贯通，比较对比。2021/5/2680n第第1章：章：n主要概念：通信系统的组成，主要概念：通信系统的组成，通信系统的主要通信系统的主要性能指标；性能指标；信源符号及信源符号及信息量的计算信息量的计算，数字通，数字通信系统和信系统和模拟通信系统的组成，质量指标；计模拟通信系统的组成，质量指标；计算进制数不同时传码率的换算，带宽变化算进制数不同时传码率的换算，带宽变化。 2021/5/2681第第2章章n基本概念：平稳随机过程的概念，狭义、广义基本概念：平稳随机过程的概念，狭义、广义平稳随机过程的定义及其广义平稳过程的证明平稳随机过程的定义及其广义平稳过程的证明方法。白噪声的概念，高斯白噪声的概念，方法。白噪声的概念，高斯白噪声的概念，窄窄带高斯噪声同相分量、正交分量的分布特点带高斯噪声同相分量、正交分量的分布特点。余弦信号叠加窄带噪声的包络、相位服从的分余弦信号叠加窄带噪声的包络、相位服从的分布。布。n信号带宽的计算信号带宽的计算（货物重量），信道带宽的计（货