高考数学二轮复习 专题辅导与训练 3.1 任意角的三角函数及三角恒等变换教学课件

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1、专题三三角函数及解三角形第一讲任意角的三角函数及三角恒等变换【主干知识主干知识】1.1.必记公式必记公式(1)(1)同角三角函数之间的关系同角三角函数之间的关系: :平方关系平方关系:_;:_;商数关系商数关系:_.:_.(2)(2)诱导公式诱导公式: :公式公式:S:S+2k+2k;S;S;S;S-; ; 巧记口诀巧记口诀: :奇变偶不变奇变偶不变, ,符号看象限符号看象限,当锐角看当锐角看. .sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1sintancos2S;(3)(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式: :sin(sin()=)=_;cos(cos(

2、)=_;)=_;tan(tan()=_.)=_.辅助角公式辅助角公式: :asin+bcosasin+bcos=_=_= = cos(+cos(+).).sincossincoscossincossincoscoscoscos sinsinsinsintantan1 tan tan22ab sin()22ab(4)(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式: :sin2=_;sin2=_;cos2=_=2coscos2=_=2cos2 2-1=1-2sin-1=1-2sin2 2;tan2=_.tan2=_.(5)(5)降幂公式降幂公式: :sinsin2 2=_;=_;c

3、oscos2 2=_.=_.2sincos2sincoscoscos2 2-sin-sin2 222tan1 tan1 cos 221 cos 222.2.易错提醒易错提醒(1)(1)同角关系应用错误同角关系应用错误: :利用同角三角函数的平方关系开方时利用同角三角函数的平方关系开方时, ,忽略判断角所在的象限或判断出错忽略判断角所在的象限或判断出错, ,导致三角函数符号错误导致三角函数符号错误. .(2)(2)诱导公式的应用错误诱导公式的应用错误: :利用诱导公式时利用诱导公式时, ,三角函数名变换出三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错错或三角函数值的符号出错. .(3)(3)忽视角的范

4、围忽视角的范围: :给值求角或给值求值时给值求角或给值求值时, ,忽视角的范围忽视角的范围. .【考题回顾考题回顾】1.1.（20142014绍兴模拟）绍兴模拟）coscos 38 38sin 98sin 98-cos 52-cos 52sin 188sin 188的值为（的值为（ ）【解析解析】选选C.cosC.cos 38 38sin 98sin 98-cos 52-cos 52sin 188sin 188= =sin 98sin 98cos 38cos 38-cos 98-cos 98sin 38sin 38=sin(98=sin(98-38-38)=)=2233A.B.C.D.2222

5、 3.22.(20142.(2014温州模拟温州模拟) )已知已知，为锐角，为锐角，coscos = , = ,tan(-tan(-)=- )=- ，则，则tan tan 的值为（的值为（ ）【解析解析】选选B.B.因为因为，为锐角，为锐角，coscos = , = ,所以所以tan = ,tan =tantan = ,tan =tan-（-）= =35131913A.B.3C.D.3139354341()tan tan333.411 tan tan1()33 （）3.3.（20132013新课标全国卷新课标全国卷）已知）已知sin 2= sin 2= ，则，则coscos2 2(+ )=(

6、)(+ )=( )【解题提示解题提示】利用利用“降幂公式降幂公式”将将coscos2 2(+ )(+ )化简，化简，建立与建立与sin 2sin 2的关系，可得结果的关系，可得结果. .【解析解析】选选A.A.因为因为2341112A.B.C.D.63234221 cos2()1 cos(2)1 sin 242cos ()4222211 sin 213cos ()A.4226，所以，选4.4.（20132013浙江高考）已知浙江高考）已知RR，sin +2cos =sin +2cos =则则tan 2=( )tan 2=( )102，4334A.B.C.D.3443 【解析解析】选选C.C.2

7、210sin 2cos 2sincos1，由，2222103 10sin sin 10103 1010cos cos 10101tan tan 3.3212tan 33tan tan 2.131 tan41 ()32tan 63tan 3tan 2.1 tan1 34 ，解得或，所以或当时，当时，5.5.（20142014嘉兴模拟）若嘉兴模拟）若 的值的值为（为（ ）【解析解析】选选B.B.因为因为coscos( -)=( -)=coscos +( -) +( -)=-sin( -)=-sin( -)，所以，所以coscos( -)=- .( -)=- .15sin(),cos()336 则1

8、12 22 2A.B.C.D.3333 562335613热点考向一热点考向一 三角函数的定义三角函数的定义【考情快报考情快报】难度难度: :基础题基础题命题指数命题指数: :题型题型: :以选择题、填空题为主以选择题、填空题为主考查方式考查方式: :主要考查三角函数的定义的应用主要考查三角函数的定义的应用, ,一般和求三角函数一般和求三角函数值或角的大小有关值或角的大小有关, ,常与解析几何、平面向量交汇常与解析几何、平面向量交汇【典题典题1 1】（1 1）（）（20142014杭州模拟）已知角杭州模拟）已知角的终边上一点的终边上一点的坐标为的坐标为 则角则角的最小正值为（的最小正值为（ ）

9、（2 2）（）（20142014南昌模拟）已知角南昌模拟）已知角的顶点与原点重合，始边的顶点与原点重合，始边与与x x轴的正半轴重合，终边在直线轴的正半轴重合，终边在直线y=2xy=2x上，则上，则coscos 2=( ) 2=( )55(sin,cos),6652511A.B.C.D.63364334A.B.C.D.5555 【信息联想信息联想】(1)(1)看到终边看到终边上一点的坐标上一点的坐标 想到想到_._.(2)(2)看到终边在直线看到终边在直线y=2xy=2x上上, ,想到想到_;_;看到看到cos2,cos2,想到想到_._.55(sin,cos),66三角函数的定义三角函数的定

10、义三角函数的定义三角函数的定义二倍角公式二倍角公式【规范解答规范解答】（1 1）选）选C.C.由三角函数的定义知：由三角函数的定义知：所以所以是第四象限角，因此是第四象限角，因此的最小正值为的最小正值为53coscos55662tan 3. sin0,cos0.5166sinsin662又5.3(2)(2)选选B.B.方法一：在角方法一：在角的终边上任取一点的终边上任取一点P P（a,2aa,2a）(a0).(a0).则则r r2 2=|OP|=|OP|2 2=a=a2 2+(2a)+(2a)2 2=5a=5a2 2. .所以所以coscos2 2=coscos 2=2cos 2=2cos2

11、2-1= -1=- .-1= -1=- .方法二：由方法一知方法二：由方法一知tan = =2,tan = =2,cos 2=coscos 2=cos2 2-sin-sin2 2=22a1,5a525352aa222222cossin1 tan3.cossin1 tan5【互动探究互动探究】若将本例（若将本例（1 1）中点的坐标变为）中点的坐标变为则结果如何？则结果如何？【解析解析】选选D.D.由三角函数定义知：由三角函数定义知：所以所以是第四象限角，是第四象限角，的最小正值为的最小正值为1111(cos,sin),66111sinsin3662tan .1133coscos6621111co

12、s0,sin0.66又11.6【规律方法规律方法】运用定义可求解的两类问题运用定义可求解的两类问题1.1.求三角函数值（或角）求三角函数值（或角）当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时，一般先当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时，一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值，再求其他根据三角函数的定义求这个角的三角函数值，再求其他. .但当但当角经过的点不固定时，需要进行分类讨论角经过的点不固定时，需要进行分类讨论. .2.2.建模建模由于三角函数的定义与单位圆、弧长公式等存在一定的联系，由于三角函数的定义与单位圆、弧长公式等存在一定的联系，因此在命题思路上可以把圆的有关知识

13、同三角函数间建立联系因此在命题思路上可以把圆的有关知识同三角函数间建立联系. .【变式训练变式训练】1.1.（20142014广州模拟）如广州模拟）如图所示，在平面直角坐标系图所示，在平面直角坐标系xOyxOy中，角中，角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点A A，点，点A A的纵坐标的纵坐标为为 ，则，则coscos =_. =_.【解析解析】易知易知A A点的横坐标为点的横坐标为- ,- ,所以所以coscos =- . =- .答案：答案：- - 453535352.2.角速度为角速度为 的质点的质点P P，从点，从点( (1,0)1,0)出发，逆时针沿单位圆出发，逆时针沿单位圆x

14、x2 2y y2 21 1运动，经过运动，经过1717个时间单位后，点个时间单位后，点P P的坐标是的坐标是_._.【解析解析】经过经过1717个单位时间，质点运动的弧度是个单位时间，质点运动的弧度是 ，此时，此时质点质点P P在角在角 的终边上，即在的终边上，即在 的终边上，根的终边上，根据三角函数的定义，此时该点的坐标是据三角函数的定义，此时该点的坐标是答案：答案： 41741721445455(cos ,sin )44，22(,).22即22(,)22【加固训练加固训练】1.1.（20142014绍兴模拟）已知角绍兴模拟）已知角 的终边上有一点的终边上有一点P P（1 1，a a）, ,

15、则则a a的值是（的值是（ ）【解析解析】选选D.D.由三角函数的定义可知由三角函数的定义可知33A.3B.3C.D. 33 atana3.31，所以2.2.如图所示如图所示, ,在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中, ,一单位圆的圆心的初始一单位圆的圆心的初始位置在位置在(0,1),(0,1),此时圆上一点此时圆上一点P P的位置在的位置在(0,0),(0,0),圆在圆在x x轴上沿正轴上沿正向滚动向滚动. .当圆滚动到圆心位于当圆滚动到圆心位于(2,1)(2,1)时时, , 的坐标为的坐标为. .OP 【解析解析】设设A A（2 2，0 0），），B B（2 2，1 1），），

16、由题意知劣弧由题意知劣弧 长为长为2 2，ABP= =2.ABP= =2.设设P P（x,yx,y），则），则x=2-1x=2-1cos(2- )=cos(2- )=2-sin 2,y=1+12-sin 2,y=1+1sin(2- )=1-cos 2,sin(2- )=1-cos 2,所以所以 的坐标为（的坐标为（2-sin 2,1-cos 22-sin 2,1-cos 2）. .答案：答案：(2-sin 2,1-cos 2)(2-sin 2,1-cos 2)PA2122OP 热点考向二热点考向二 同角三角函数间的基本关系及诱导关系同角三角函数间的基本关系及诱导关系 【考情快报考情快报】难度难

17、度: :基础题基础题命题指数命题指数: :题型题型: :以选择题、填空题为主以选择题、填空题为主, ,有时也出现在解答题中关键的有时也出现在解答题中关键的一步一步考查方式考查方式: :主要考查平方关系主要考查平方关系, ,商数关系及诱导公式的应用商数关系及诱导公式的应用, ,常常与和差角公式、倍角公式相结合考查与和差角公式、倍角公式相结合考查【典题典题2 2】（1 1）（）（20142014湖州模拟）若湖州模拟）若sin(-sin(-)=)=且且(, ), ),则则sin( )=( )sin( )=( )(2)(2014(2)(2014安庆模拟安庆模拟) )已知已知 =-1,=-1,求下列各式

18、的值：求下列各式的值：coscos2 2( +)-sin(-)cos(+)+2.( +)-sin(-)cos(+)+2.533222 6666A.B.C.D.3663 tan tan 1sin 3cos ;sin cos 2【信息联想信息联想】（1 1）看到）看到sin(-sin(-) )，sin( ),sin( ),想到想到_._.（2 2）看到）看到 , ,想到想到_;_;看到看到 +,-,+,+,-,+,想到想到_._.22 诱导公式及二倍角公式诱导公式及二倍角公式sin 3cos sin cos 商数关系商数关系2诱导公式诱导公式【规范解答规范解答】（1 1）选）选B.sin(-B.s

19、in(-)=sin =- ,)=sin =- ,又又533( ,),222252cos 1 sin1 ().333cos 2cos1,( ,)222 421cos 163cos,22266sin() cos.2226 所以由得所以222222222222131tan 3522tan .12tan 1312sinsin cos 2 sinsin cos2 cossin3sinsin cos2cos3tantan 2sincostan1113 ( )21322.15( )12 （）由已知得原式原式【规律方法规律方法】1.1.利用同角三角函数的关系式化简求值的三种常用方法利用同角三角函数的关系式化简

20、求值的三种常用方法（1 1）切弦互换法：利用）切弦互换法：利用tan tan 进行转化进行转化. .（2 2）和积转化法：利用）和积转化法：利用(sin (sin coscos ) )2 2=1=12sin 2sin coscos 进行变形、转化进行变形、转化. .（3 3）常值代换法：其中之一就是把）常值代换法：其中之一就是把1 1代换为代换为sinsin2 2coscos2 2.同角三角函数关系同角三角函数关系sinsin2 2coscos2 21 1和和tan tan 联合联合使用，可以根据角使用，可以根据角的一个三角函数值求出另外两个三角函的一个三角函数值求出另外两个三角函数值数值.

21、.根据根据tan tan 可以把含有可以把含有sin sin ，coscos 的齐次式的齐次式化为化为tan tan 的关系式的关系式. .sin cos sin cos sin cos 2.2.利用同角三角函数的关系式化简求值的三个关注点利用同角三角函数的关系式化简求值的三个关注点（1 1）函数名称和符号：利用诱导公式化简求值时，先利用公）函数名称和符号：利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角的三角函数，其步骤是：去负式化任意角的三角函数为锐角的三角函数，其步骤是：去负脱周脱周化锐化锐求值求值. .特别注意解题过程中函数名称和符号的确特别注意解题过程中函数名称和符号的确定

22、定. .（2 2）开方：在利用同角三角函数的平方关系时，若开方特别）开方：在利用同角三角函数的平方关系时，若开方特别注意根据条件进行讨论取舍注意根据条件进行讨论取舍. .（3 3）结果整式化：解题时注意求值与化简的最后结果一般要）结果整式化：解题时注意求值与化简的最后结果一般要尽可能整式化尽可能整式化. .【变式训练变式训练】1.1.（20142014北京模拟）若北京模拟）若sin(3+)=sin(3+)=(- ,0),(- ,0),则则tan =_.tan =_.【解析解析】由由sin(3+)= (- ,0)sin(3+)= (- ,0)得得sin =-sin =-coscos = , =

23、,故故tan =- .tan =- .答案：答案：- - 1,221,221,23233332.2.直线直线2x-y+1=02x-y+1=0的倾斜角为的倾斜角为,则则 的值为的值为_._.【解析解析】由题意可知，由题意可知，tan =2,tan =2,则则答案：答案：221sincos222222221sincostan15.sincossincostan1353【加固训练加固训练】1.1.已知已知2sin( +2sin( +)-sin(-)-sin(-)=0)=0，则，则sinsin2 2+sin +sin coscos -2cos -2cos2 2=( )=( )【解析解析】选选D.D.因

24、为因为2sin( +2sin( +)-sin(-)-sin(-)=0,)=0,所以所以tan =2.tan =2.sinsin2 2+sin +sin coscos -2cos -2cos2 2=24534A.B.C.D.3445 22222sinsin cos 2cossincos22tantan 24 2 24.tan14 15 2.2.计算：计算：tan 300tan 300=_.=_.【解析解析】tan 300tan 300=tan(360=tan(360-60-60)=-tan 60)=-tan 60=- .=- .答案：答案：- - 333.3.已知已知为第二象限角，为第二象限角，

25、sin +cos = sin +cos = ，则，则cos 2cos 2=_.=_.【解析解析】因为因为sin sin +cos+cos = , = ,所以两边平方得所以两边平方得1+2sin 1+2sin coscos = = ，所以，所以2sin 2sin coscos = = 0 0，因为，因为已知已知为第二象限角，所以为第二象限角，所以sin sin 0,cos 0,cos 0 0，sin sin coscos = = 所以所以coscos 2 2=cos=cos2 2sinsin2 2=(=(coscos sin sin )(cos)(cos +sin+sin )= )=答案：答案：

26、3333132325151 2sin cos 1333，1535.33353热点考向三热点考向三 三角恒等变换三角恒等变换 【考情快报考情快报】高频考向高频考向多维探究多维探究难度难度: :基础、中档题基础、中档题命题指数命题指数: :题型题型: :选择题、填空题、解答题均可考查选择题、填空题、解答题均可考查考查方式考查方式: :主要考查和差角公式、倍角公式及其变形主要考查和差角公式、倍角公式及其变形, ,常与三角常与三角函数式的化简求值及三角函数的图象、性质相结合函数式的化简求值及三角函数的图象、性质相结合命题角度一命题角度一 利用三角恒等变换求值利用三角恒等变换求值( (求角求角) )【典

27、题典题3 3】（1 1）（）（20142014天津模拟）已知天津模拟）已知则则coscos +sin+sin 等于（等于（ ）（2 2）已知锐角）已知锐角，满足满足sin = ,cos =sin = ,cos =则则+=_.=_.cos22,2sin()4 7711A.B.C.D.2222553 10,10【信息联想信息联想】（1 1）看到）看到 想到想到_._.（2 2）看到求）看到求+，想到，想到_._.cos222sin()4 ，利用诱导利用诱导公式、差角公式、倍角公式化简公式、差角公式、倍角公式化简先求出先求出+的某一三角函数值的某一三角函数值【规范解答规范解答】（1 1）选）选D.

28、D. cos2cos 22sin()(sin cos )42 2222cossincos sin 21,sincos .2222sin cos 2253 102sin cos .5102 510cos 1 sin,sin 1 cos.5102coscos cos sin sin .20.44 所以（）由锐角 ， 满足，得所以又因为，所答案：以命题角度二命题角度二 利用三角恒等变换化简利用三角恒等变换化简【典题【典题4 4】（1 1）（）（20142014金华模拟）已知函数金华模拟）已知函数f(xf(x)=)=2sin x( 2sin x( coscos x-sin x)+1, x-sin x)

29、+1,若若f(x-f(x-) )为偶函数，则为偶函数，则可以为（可以为（ ）(2)(2014(2)(2014西安模拟西安模拟) )已知函数已知函数f(xf(x)=(2cos)=(2cos2 2x-1)x-1)sin 2x+ sin 2x+ coscos 4x. 4x.求求f(xf(x) )的最小正周期及最大值；的最小正周期及最大值；若若( ,)( ,)，且，且f(f()= )= ，求，求的值的值. . A.B.C.D.2346122223【信息联想信息联想】(1)(1)看到看到f(xf(x) )的表达式，想到的表达式，想到_._.(2)(2)看到看到f(xf(x)=(2cos)=(2cos2

30、2x-1)x-1)sin 2x+ sin 2x+ coscos 4x 4x，求最小正周，求最小正周期及最大值，想到期及最大值，想到_._.利用三角恒等利用三角恒等变换将变换将f(xf(x) )化为化为y=y=Asin(x+Asin(x+) )的形式的形式12将将f(xf(x) )化为化为f(xf(x)=)=Asin(x+Asin(x+) )的形式的形式【规范解答规范解答】(1)(1)选选B.f(xB.f(x)=2 sin )=2 sin xcosxcos x-2sin x-2sin2 2x+1=x+1= sin 2x+cos 2x=2sin(2x+ ). sin 2x+cos 2x=2sin(

31、2x+ ).因为因为f(x-f(x-) )为偶函数，为偶函数，所以所以-2-2+ =+ =kk+ + =- - (kZ),=- - (kZ),当当k=-1k=-1时，时，= =33662k26.3(2)(2)因为因为f(xf(x)=(2cos)=(2cos2 2x-1)x-1)sin 2x+ sin 2x+ coscos 4x 4x= =coscos 2xsin 2x+ 2xsin 2x+ coscos 4x 4x= (sin 4x+cos 4x)= sin(4x+ ).= (sin 4x+cos 4x)= sin(4x+ ).即即f(xf(x)= sin(4x+ ).)= sin(4x+ )

32、.所以所以f(xf(x) )的最小正周期为的最小正周期为 ，最大值为，最大值为 . .因为因为f(f()= ,)= ,所以所以sin(4+ )=1.sin(4+ )=1.因为因为( ,),( ,),所以所以4+ 4+ ，所以，所以4+4+12121222224422222424917(,)4459,.4216故【规律方法规律方法】三角恒等变换的思路与方法三角恒等变换的思路与方法1.1.思路：思路：（1 1）和式：降次、消项、逆用公式）和式：降次、消项、逆用公式. .(2)(2)三角分式：分子与分母约分或逆用公式三角分式：分子与分母约分或逆用公式. .（3 3）二次根式：切化弦、变量代换、角度归

33、一）二次根式：切化弦、变量代换、角度归一. .2.2.方法：方法：(1)(1)弦切互化：一般是切化弦弦切互化：一般是切化弦. .(2)(2)常值代换：特别是常值代换：特别是“1”1”的代换，如的代换，如1=sin1=sin2 2+cos+cos2 2=tantan 45 45等等. .(3)(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式（降降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式（降幂公式）降次幂公式）降次. .（4 4）公式的变形应用：如）公式的变形应用：如sin =sin =coscos tantan ,sin ,sin2 2= tan tan +tan+tan = =tan(

34、+tan(+) )(1-tan (1-tan tantan ),1 ),1sin =(sin sin =(sin coscos ) )2 2等等. .（5 5）角的合成及三角函数名的统一：）角的合成及三角函数名的统一：asin +bcos = sin(+asin +bcos = sin(+)(tan )(tan = ).= ).(6)(6)角的拆分与角的配凑：如角的拆分与角的配凑：如=(-)+=(-)+，= 可视为可视为( ( 2)2)的半角等的半角等. .21 cos 21 cos 2,cos,222222abba,22 42【变式训练变式训练】1.1.若若 则则 =_.=_.【解析解析】因

35、为因为 则则 所以所以答案：答案：- -1sin()63 ，2cos(2 )3 1sin()63 ，28cos ()69 ，227cos(2 ) cos2() 1 2cos ().3369 792.2.已知函数已知函数f(xf(x)= sin 2x+ )= sin 2x+ coscos 2x,xR. 2x,xR.（1 1）求）求f(xf(x) )的最大值和最小正周期的最大值和最小正周期. .（2 2）若）若 是第二象限的角，求是第二象限的角，求sin 2.sin 2.223f()282，【解析解析】(1)(1)因为因为f(xf(x)=2( sin 2x+ )=2( sin 2x+ coscos

36、 2x) 2x)=2(cos sin 2x+sin =2(cos sin 2x+sin coscos 2x)=2sin(2x+ ). 2x)=2sin(2x+ ).所以所以f(xf(x) )的最大值为的最大值为2 2，最小正周期为，最小正周期为T= =.T= =.（2 2）由（）由（1 1）知，）知，f(xf(x)=2sin(2x+ ),)=2sin(2x+ ),所以所以f( )=2sin = f( )=2sin = ，即，即sin = .sin = .又又是第二象是第二象限的角，所以限的角，所以coscos = =所以所以sin 2=2sin sin 2=2sin coscos = =222

37、2444224283234223131 sin1 ().44313392().448 【加固训练加固训练】1.1.求值：求值： =_.=_.【解析解析】由题意得由题意得: :答案：答案：2cos 10sin 20cos 202cos 10sin 20cos 203cos 20sin 20sin202cos 3020sin 203.cos 20cos 20 32.2.已知已知 的值的值为为_._.【解析解析】由由答案：答案：137sin(),(,),cos()44212 则353(,),().2444 得，115sin(),cos(),44447cos() cos()124315 113153.

38、42428 又则得15383.3.已知函数已知函数f(xf(x)=2sin )=2sin xcosxcos x+cosx+cos 2x(xR). 2x(xR).（1 1）当）当x x取什么值时，函数取什么值时，函数f(xf(x) )取得最大值，并求其最大值取得最大值，并求其最大值. .（2 2）若）若为锐角，且为锐角，且f(f(+ )= + )= ，求，求tan tan 的值的值. .823【解析解析】（1 1）f(x)=2sin xcos x+cos 2x=sin 2x+cos 2xf(x)=2sin xcos x+cos 2x=sin 2x+cos 2x所以当所以当2x+ =2k+ (kZ

39、)2x+ =2k+ (kZ)，即，即x=k+ (kZ)x=k+ (kZ)时，时，函数函数f(xf(x) )取得最大值，其最大值为取得最大值，其最大值为222(sin 2xcos 2x)2sin(2x).2244282.（2 2）因为）因为所以所以coscos 2= . 2= .因为因为为锐角，即为锐角，即0 ,0 ,所以所以02,02,所以所以sin 2=sin 2=所以所以tan 2=tan 2=所以所以所以所以( tan -1)(tan + )=0,( tan -1)(tan + )=0,所以所以tan = tan = 或或tan =- tan =- （不合题意，舍去）（不合题意，舍去）,

40、 ,所以所以tan = .tan = .22f(),2sin(2),8323所以13222 21 cos 2,3sin 22 2,cos 2222tan 2 2,2tantan 20,1 tan所以2222222【备选考向备选考向】三角恒等变换与平面向量、解三角形的交汇问题三角恒等变换与平面向量、解三角形的交汇问题【典题典题】已知锐角三角形已知锐角三角形ABCABC中中, ,向量向量m=(2-2sinB,cosB-sinB),=(2-2sinB,cosB-sinB),n=(1+sinB,cosB+sinB),=(1+sinB,cosB+sinB),且且mn. .(1)(1)求角求角B B的大小

41、的大小. .(2)(2)当函数当函数y=2siny=2sin2 2A+cos A+cos 取最大值时取最大值时, ,判断三角形判断三角形ABCABC的的形状形状. .C 3A2【解析解析】（1 1）因为）因为mn，所以，所以mn=0.=0.即（即（2-2sin B2-2sin B）(1+sin (1+sin B)+(cosB)+(cos B-sin B-sin B)(cosB)(cos B+sinB+sin B)=0, B)=0,即即3-4sin3-4sin2 2B=0,sin B=B=0,sin B=又因为又因为ABCABC为锐角三角形，所以为锐角三角形，所以B=B=（2 2）由（）由（1

42、1）知）知B= B= ，所以，所以y=2siny=2sin2 2A+cosA+cos=2sin=2sin2 2A+cosA+cos= sin 2A- cos 2A+1=sin= sin 2A- cos 2A+1=sin（2A- 2A- ）+1.+1.当当2A- = 2A- = 时，即时，即A= A= 时时y y有最大值有最大值. .此时此时A=B=C= A=B=C= ，所以三角形，所以三角形ABCABC是正三角形是正三角形. .3.2.33C 3A22B A 3A2sin A cos(2A)23 321266233【规律方法规律方法】与三角恒等变换交汇问题的解题思路与三角恒等变换交汇问题的解题

43、思路（1 1）与平面向量交汇：利用平面向量坐标表示、数量积、向）与平面向量交汇：利用平面向量坐标表示、数量积、向量的模、向量的夹角等进行运算，将平面向量问题转化为三角量的模、向量的夹角等进行运算，将平面向量问题转化为三角恒等变换问题恒等变换问题. .（2 2）与三角形交汇：利用三角形内角和为）与三角形交汇：利用三角形内角和为180180度，确定角的范度，确定角的范围，有时结合正余弦定理解答围，有时结合正余弦定理解答. .【加固训练加固训练】已知已知a=(1,cos =(1,cos x),x),b=( ,sin x),x(0,).=( ,sin x),x(0,).（1 1）若）若ab，求，求 的

44、值的值. .（2 2）若）若ab，求，求sin sin x-cosx-cos x x的值的值. .13sin x cos xsin x cos x【解析解析】（1 1）因为）因为ab，所以，所以sin x= sin x= coscos x x，所以，所以tan x=tan x=所以所以 (2)(2)因为因为ab，所以，所以 +sin +sin xcosxcos x=0 x=0，所以，所以sin sin xcosxcos x=- x=- 所以（所以（sin sin x-cosx-cos x x）2 2=1-2sin =1-2sin xcosxcos x= x=又因为又因为xx（0 0，）且）且s

45、in sin xcosxcos x x0 0，所以，所以x( x( ，)，所以所以sin sin x-cosx-cos x x0 0，所以，所以sin sin x-cosx-cos x= x=1313，11sin x cos xtan x 132.1sin x cos xtan x 1131313，53，215.3转化与化归思想转化与化归思想解决三角恒等变换问题解决三角恒等变换问题【思想诠释思想诠释】三角恒等变换中应用转化与化归思想的常见类型三角恒等变换中应用转化与化归思想的常见类型1.1.求值求值( (求角求角):):三角中的给值求值或给值求角问题三角中的给值求值或给值求角问题, ,常需根据

46、三常需根据三角函数式中角或名或结构的差异角函数式中角或名或结构的差异, ,进行弦切间名称的转化进行弦切间名称的转化; ;和差和差角、倍角、半角与单角的转化角、倍角、半角与单角的转化; ;三角函数分式与整式三角函数分式与整式, ,降次与升降次与升幂的结构的转化等幂的结构的转化等. .2.2.研究三角函数的图象与性质研究三角函数的图象与性质: :常先将函数的解析式利用三角常先将函数的解析式利用三角恒等变换转化为恒等变换转化为y=y=Asin(x+Asin(x+)+B)+B( (或或y=y=Acos(x+Acos(x+)+B)+B, ,y=y=Atan(x+Atan(x+)+B)+B) )的形式的形

47、式, ,进而利用函数进而利用函数y=y=sinxsinx( (或或y=y=cosxcosx, ,y=y=tanxtanx) )的图象与性质解决问题的图象与性质解决问题. .【典例分析典例分析】【典题典题】(2014(2014西安模拟西安模拟) )已知角已知角的顶点在原点的顶点在原点, ,始边与始边与x x轴的正半轴重合轴的正半轴重合, ,终边经过点终边经过点P(-3, ).P(-3, ).(1)(1)求求sin2-tansin2-tan的值的值. .(2)(2)若函数若函数f(xf(x)=)=cos(x-)cos-sin(x-)sincos(x-)cos-sin(x-)sin, ,求函数求函数

48、y= y= 在区间在区间0, 0, 上的取值范围上的取值范围. .3 23f(2x) 2fx223【思想联想思想联想】(1)(1)知道知道终边经过点终边经过点P,P,可得可得的三角函数值的三角函数值, ,联联想到转化与化归思想想到转化与化归思想, ,将待求式用将待求式用的三角函数表示的三角函数表示, ,代入求值代入求值. .(2)(2)题目涉及求题目涉及求y y的取值范围的取值范围, ,联想到转化与化归思想联想到转化与化归思想, ,将将y y化成化成y=y=Asin(x+Asin(x+)+B)+B结构求解结构求解. . 【规范解答规范解答】【能力迁移能力迁移】已知函数已知函数f(xf(x)=

49、cos(2x+ )+2sin)= cos(2x+ )+2sin2 2x.x.（1 1）求函数）求函数f(xf(x) )的最小正周期的最小正周期. .（2 2）设）设,24130, ,f(),f(),f().22422622 求的值【思想联想思想联想】（1 1）涉及求最小正周期，可联想到转化与化归）涉及求最小正周期，可联想到转化与化归思想，利用三角恒等变换将思想，利用三角恒等变换将f(xf(x) )化为化为Asin(x+Asin(x+)+B)+B的结构的结构求解求解. .（2 2）根据所给等式，可联想到转化与化归思想，将等式转）根据所给等式，可联想到转化与化归思想，将等式转化为化为,的三角函数式

50、，进而求得的三角函数式，进而求得 的值的值. .f()2【解析解析】（1 1）f(xf(x)= cos(2x+ )+2sin)= cos(2x+ )+2sin2 2x=x=coscos 2x- 2x-sin 2x+(1-cos 2x)=1-sin 2x.sin 2x+(1-cos 2x)=1-sin 2x.所以函数所以函数f(xf(x) )的最小正周期的最小正周期为为T= =.T= =.（2 2）因为）因为f(xf(x)=1-sin 2x,)=1-sin 2x,所以所以2422f() 1 sin2() 1 sin() 1 cos ,24242f() 1 sin2() 1 sin().26263 111f()1 cos,cos.2422230, ,.f(),23262311 sin(),sin().32320, ,.233636.f() 1 sin() 1 sin()62361 sin0.2 因为，所以所以因为所以因为所以所以因为所以所以所以所以