医用高等数学：反三角函数(正课)

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1、 反三角函数反三角函数(1)什么样的函数有反函数什么样的函数有反函数?一一对应函数有反函数一一对应函数有反函数没有没有,因为他不是一一对应函数因为他不是一一对应函数(2)互为反函数图象之间有什么关系互为反函数图象之间有什么关系关于直线关于直线y=x对称对称(4)正弦函数y=sinx在 上有反函数吗？(3)正弦函数正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx,正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗在定义域上有反函数吗? 余弦函数y=cosx在0， 上有反函数吗？正切函数y=tanx在 上有反函数吗？,2 2 (,)2 2 xyo-2 - 2 3 4 1-1 正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函

2、数吗？)(sinRxxy22 没有没有,因为他不是一一对应函数，因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应同一个三角函数值会对应 许多角。许多角。 正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函数吗？)(sinRxxysin (, )2 2yx x 正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函数吗？ 有有,因为它是一一对应函数，因为它是一一对应函数，同一个三角函数值只对应一个角。同一个三角函数值只对应一个角。一、反正弦函数一、反正弦函数 1、定义：、定义：正弦函数正弦函数 的反函的反函数数sin (, )2 2yx x 叫反正弦函数，记作叫反正弦函数，记作 (本义反函数本义反函数) arcsinxyarcs

3、inyx 习惯记作习惯记作 (矫正反函数矫正反函数) 1,1, 2 2xy 1,1,arcsin ,xaya 若有理解和掌握 符号arcsin (1)a a （1）、）、 表示一个角表示一个角（2）、这个角的范围是）、这个角的范围是,2 2 （3）、这个角的正弦值是）、这个角的正弦值是即即, aarcsinaarcsin,.2 2a 即sin(arcsin )( 1,1)aa a (4)arcsin(sin ),.2 2aa a 21.510.5-0.5-1-1.5-2-3-2-1123221-1sin , 1,12 2yx xy arcsin , 1,1,2 2yx xy 2、反正弦函数、反

4、正弦函数y=arcsinx,x-1，1的图象与性质：的图象与性质：yxyx22(1)定义域定义域:-1，1。(2)值域值域:,2 2 (3)奇偶性奇偶性:是奇函数，是奇函数，其图象关于坐标原点对称，其图象关于坐标原点对称，arcsin()arcsin 1,1.xxx (4)单调性单调性:是增函数是增函数。o例例1、求下列各式的值：、求下列各式的值：34(1)tan arcsin(2)cos arcsin253(1)tan arcsin2tan33,cos0,2 2 23cos1 sin,543cos arcsin55解：解：4(2)arcsin5设设4sin5则则xyo-2 - 2 3 4 1

5、-1 没有没有,因为他不是一一对应函数，因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应同一个三角函数值会对应 许多角。许多角。 余弦函数余弦函数 有反函数吗？有反函数吗？cos ()yx xRcos (0, )yx x 余弦函数余弦函数 有反函数吗？有反函数吗？ 有有,因为它是一一对应函数，因为它是一一对应函数，同一个三角函数值只对应一个角。同一个三角函数值只对应一个角。二、反余弦函数二、反余弦函数 1、定义：、定义：余弦函数余弦函数 的反函的反函数数cos (0, )yx x 叫反余弦函数，记作叫反余弦函数，记作 (本义反函数本义反函数) arccosxyarccosyx 习惯记作习惯记作

6、(矫正反函数矫正反函数) 1,1,0, xy 1,1,arccos ,xaya 若有理解和掌握 符号arccos(1)a （1）、）、 表示一个角表示一个角（2）、这个角的范围是）、这个角的范围是0,（3）、这个角的余弦值是）、这个角的余弦值是即即, aarccosaarccos0,.即cos(arccos )( 1,1)aa a (4)arccos(cos ),0, .aa a54.543.532.521.510.5-0.5-1-4-3-2-11234y=cosx,x0，y-1，1y=arccosx,x-1，1y0，-112、反余弦函数、反余弦函数y=arccosx,x-1，1的图的图象与性

7、质象与性质oxyyx(1)定义域：定义域：-1，1。(2)值域值域:0，。(3)奇偶性奇偶性: 非奇非偶函数非奇非偶函数(4)单调性单调性:是减函数。是减函数。arccos()arccos 1,1.xxx arccos()arccos ( 1,1).xx x 证明：证明：11,x11,x cos(arccos )cos(arccos ),xxxarccos0, ,arccos0, ,xx arccos()arccos ( 1,1).xx x 证明：证明：(1)arccos1 _(2)arccos( 1)_1(3)arccos0_(4)arcsin_212(5)arccos()_(6)arcco

8、s_2223(7)arcsin()_(8)arcsin_223(9)arccos()_2 找错题找错题20342334656tan (,)2yx xkkz 没有没有,因为他不是一一对应函数，因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应同一个三角函数值会对应 许多角。许多角。 正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函数吗？tan ,(, )2 2yx x 正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函数吗？ 有有,因为它是一一对应函数，因为它是一一对应函数，同一个三角函数值只对应一个角。同一个三角函数值只对应一个角。三、反正切函数三、反正切函数 1、定义：、定义：正切函数正切函数 的反函的反函数数tan (

9、, )2 2yx x 叫反正切函数，记作叫反正切函数，记作 (本义反函数本义反函数) arctanxyarctanyx 习惯记作习惯记作 (矫正反函数矫正反函数) ,(, )2 2xR y ,arctan ,xaRya 若有理解和掌握 符号arctan ()a aR（1）、）、 表示一个角表示一个角（2）、这个角的范围是）、这个角的范围是(,)2 2 （3）、这个角的正切值是）、这个角的正切值是即即, aarctanaarctan(,).2 2a 即tan(arctan )()aa aR(4)arctan(tan ),(,).2 2aa a 32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3-4-3-2-112342、反正切函数、反正切函数y=arctanx,xR的图象与性质的图象与性质22)2,2(,arctanyRxxy(1)定义域定义域R(2)值域值域: (,)22 (3)奇偶性奇偶性:是奇函数是奇函数arctan(-x)=-arctanx(xR)其图象关于坐标原点对称。(4)单调性单调性:是增函数是增函数yx