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1、2.4 二次函数基础自测1.方程a2x2+ax-2=0 (|x|1)有解，则 （ ）A.|a|1 B.|a|2 C.|a|1 D.aR答案A2.已知函数f(x)=4x2-mx+5在区间-2，+）上是增函数，则f(1)的范围是 （ ）A.f(1)25 B.f(1)=25 C.f(1)25 D.f(1)25答案A3.若函数f(x)=ax2+bx+c满足f(4)=f(1),那么 （ ）A.f(2）f(3) B.f(3)f(2)C.f(3)=f(2) D.f(3)与f(2)的大小关系不能确定答案C4.若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,则f(x)的表达式为 （ ）A.f
2、(x)=-x2-x-1 B.f(x)=-x2+x-1 C.f(x)=x2-x-1 D.f(x)=x2-x+1答案D5.（2008湖北理，13）已知函数f（x）=x2+2x+a，f（bx）=9x2-6x+2，其中xR，a，b为常数，则方程f（ax+b）=0的解集为 .答案 例1 已知f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间0，1内有一最大值-5，求a的值及函数表达式f(x).解 f（x）=-4-4a，此抛物线顶点为.当1，即a2时，f(x)取最大值-4-a2.令-4-a2=-5,得a2=1,a=12(舍去).当01,即0a2时，x=时，f(x)取最大值为-4a.令-4a=-5,得a=(0,2
3、).当0,即a0时，f(x)在0，1内递减，x=0时，f(x)取最大值为-4a-a2,令-4a-a2=-5,得a2+4a-5=0,解得a=-5,或a=1，其中-5（-，0.综上所述，a=或a=-5时,f(x)在0，1内有最大值-5.f(x)=-4x2+5x-或f(x)=-4x2-20x-5.例2 设二次函数f(x)=x2+ax+a,方程f(x)-x=0的两根x1和x2满足0x1x21.（1）求实数a的取值范围；（2）试比较f(0)f(1)-f(0)与的大小，并说明理由.解 方法一 （1）令g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a,则由题意可得,故所求实数a的取值范围是（0，3-2）.（2
4、）f(0)f(1)-f(0)=f(0)g(1)=2a2,令h(a)=2a2.当a0时，h(a)单调递增，当0a3-2时，0h(a)h(3-2)2(3-2)2=2(17-12)=2即f(0)f（1）-f（0）.方法二 （1）同方法一.（2）f（0）f（1）-f（0）=f（0）g（1）=2a2，则由(1)知0a3-2,4a-112-170.又4a+10,于是2a2-=(32a2-1)= (4a-1)(4a+1)0,即2a2-0,即2a2,故f(0)f(1)-f(0)=2a2.方法三 (1）方程f(x)-x=0x2+(a-1)x+a=0由韦达定理，得x1+x2=1-a,x1x2=a,于是0x1x21
5、故所求实数a的取值范围是（0,3-2）.（2）依题意可设g(x)=(x-x1)(x-x2)，则由0x1x21,得f(0)f(1)-f(0)=f(0)g(1)=g(0)g(1)=x1x2(1-x1)(1-x2)=x1(1-x1)x2(1-x2)故f(0)f(1)-f(0).例3 （14分）已知二次函数y=f(x)的图像与x轴交于A，B两点，且|AB|=2，它在y轴上的截距为4,又对任意的x都有f(x+1)=f(1-x).（1）求二次函数的表达式；（2）若二次函数的图像都在直线l:y=x+c的下方，求c的取值范围.解 （1）方法一 f（x+1）=f（1-x），y=f（x）的对称轴为x=1，又f(x
6、)为二次函数，可设f(x)=a(x-1)2+k (a0),又当x=0时，y=4,a+k=4,得f(x)=a(x-1)2-a+4,令f(x)=0,得a(x-1)2=a-4.x=1|AB|=2. 6分|AB|=2,a=-2.即f(x)=-2(x-1)2+6=-2x2+4x+4. 8分方法二 令二次函数y=f(x)的图像与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），（x2x1）, f（x+1）=f（1-x），|AB|=2.x1+x2=2，x2-x1=2，得x1=1-,x2=1+. 3分设二次函数f(x)=ax-(1-)x-(1+).又f(0)=4,则a=-2.即f(x)=-2(x-1)2+6=-2x2+
7、4x+4. 8分(2)由条件知-2x2+4x+4x+c在xR上恒成立.即2x2-3x-4+c0对xR恒成立. =9+8（4-c）0，得c, 12分c的取值范围是（，+）. 14分1.已知二次函数f（x）同时满足条件：（1）f（1+x）=f（1-x）；（2）f（x）的最大值为15；（3）f（x）=0的两根的立方和等于17，求f（x）的解析式.解 f（1+x）=f（1-x），函数f（x）关于直线x=1对称，又f（x）的最大值为15，故可设f（x）=a（x-1）2+15（a0).f（x）=ax2-2ax+a+15，x1+x2=2，x1x2=1+，x+x=（x1+x2）3-3x1x2（x1+x2）=2
8、3-32（1+）=2-=17.a=-6.故所求函数的解析式为f（x）=-6x2+12x+9.2.已知函数f(x)=|x2-2ax+b| (xR).给出四个命题：f(x)必是偶函数；若f(0)=f(2),则f(x)的图像必关于直线x=1对称；a2-b0，则f(x)在a，+）上是增函数；f(x)有最小值|a2-b|.其中正确命题的序号是 .答案 3.（2009武汉武昌区模拟）已知a、b、c、d是不全为零的实数，函数f(x)=bx2+cx+d,g(x)=ax3+bx2+cx+d,方程f(x)=0有实数根，且f(x)=0的实数根都是g(f(x)=0的根，反之，g(f(x)=0的实数根都是f(x)=0的
9、根.（1）求d的值；（2）若a=0，求c的取值范围.解 （1）设r为f(x)=0的一个根，即f(r)=0,则由题意得g(f(r)=0，于是,g(0)=g(f(r)=0,即g(0)=d=0.所以，d=0.（2）由题意及(1)知f(x)=bx2+cx,g(x)=ax3+bx2+cx.由a=0得b,c是不全为零的实数，且g(x)=bx2+cx=x(bx+c),则g(f(x)=x(bx+c)bx(bx+c)+c=x(bx+c)(b2x2+bcx+c).方程f(x)=0就是x(bx+c)=0. 方程g(f(x)=0就是x(bx+c)(b2x2+bcx+c)=0. ()当c=0，b0时，方程的根都是x=0
10、符合题意.()当c0,b=0时，方程的根都是x=0符合题意.()当c0,b0时，方程的根为x1=0,x2=-.也都是的根，但不是方程b2x2+bcx+c=0的实数根.由题意方程b2x2+bcx+c=0无实数根，=(bc)2-4b2c0,得0c4.综上所述：c的取值范围为0，4）.一、选择题1.不等式f(x)=ax2-x-c0的解集为x|-2x1，则函数y=f(-x)的图像为 （ ）答案C2.若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间（-，4上是减函数，那么实数a的取值范围是 （ ）A.a3 B.a-3 C.a5 D.a-3答案B3.设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,
11、则关于x的方程f(x)=x的解的个数为 （ ）A.1 B.2 C.3 D.4答案C4.对于任意k-1，1,函数f(x)=x2+(k-4)x-2k+4的值恒大于零，则x的取值范围是 （ ）A.x0 B.x4 C.x1或x3 D.x1答案C5.已知二次函数f（x）=x2+x+a（a0），若f（m）0，则f（m+1）的值为 （ ）A.正数 B.负数 C.零 D.符号与a有关 答案A6.（2008江西理，12）已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任一实数x,f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是 （ ）A.（0，2） B.（0，8） C.（2，8
12、） D.（-，0）答案B二、填空题7.（2008浙江理，15）已知t为常数，函数y=|x2-2x-t|在区间0，3上的最大值为2，则t= .答案 18.设函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),给出下述命题：f(x)有最小值；当a=0时，f(x)的值域为R；当a0时，f(x)在区间2，+）上有反函数；若f(x)在区间2，+）上单调递增，则实数a的取值范围是a-4.则其中正确的命题的序号是 .答案 三、解答题9.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x）的最大值是8，试确定此二次函数的解析式.解 方法一 利用二次函数一般式.设f(x)=ax2+bx+c (a0),由题
13、意得解之得所求二次函数为y=-4x2+4x+7.方法二 利用二次函数顶点式.设f（x）=a（x-m）2+n，f（2）=f（-1），抛物线对称轴为x=即m=.又根据题意函数有最大值为n=8,y=f（x）=a（x-）2+8.f（2）=-1，a（2-）2+8=-1.解之，得a=-4,y=f（x）=-4（x-）2+8=-4x2+4x+7.方法三 由f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又由函数有最大值ymax=8,.解之，得a=-4.所求函数解析式为f (x)=a2+8=-4x222222+4x+7.10.已知f（
14、x）=x2+ax+3-a，若x-2，2时，f（x）0恒成立，求a的取值范围.解 令f（x）的最小值为g（a），则 （1）当-2,即a4时，g（a）=f（-2）=7-3a0，得a，又a4，故此时a不存在；（2）当-2，2，即-4a4时，g（a）=3-a-0，得-6a2，又-4a4，故-4a2；（3）当-2，即a-4时，g（a）=f（2）=7+a0，得a-7，又a-4，故-7a-4.综上，得-7a2.11.f(x)=-x2+ax+-在区间0，1上的最大值为2，求a的值.解 f(x)=-当0，1，即0a2时，f(x)max=2,则a=3或a=-2，不合题意.当1，即a2时，f(x)max=f(1)=
15、2a=.当0，即a0时，f(x)max=f(0)=2a=-6,f（x）在区间0，1上的最大值为2时，a=或a=-6.12.设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0（a0）有两个实根x1,x2.（1）求(1+x1)(1+x2)的值；（2）求证：x1-1且x2-1;（3）若,试求a的最大值.（1）解 x1、x2为方程ax2+x+1=0的两个实根,x1+x2=-，x1x2=（1+x1）（1+x2）=1+（x1+x2）+x1x2=1-+=1.（2）证明 令f(x)=ax2+x+1,=1-4a0得02a,抛物线对称轴x=-2-1.又f(-1)=a0.f(x)图像与x轴交点均在（-1，0）的左侧，x1-1且x2-1.（3）解 由（1）得x1=,-,a=-，即x2=-2时，a的最大值为.
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