给你一招鲜妙解一类题

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1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)给你一招鲜.妙解一类题两曲线上两点与原点连线为直角的有关问题的解法 在近几年的高考试题中,流行着满足OPOQ的两点P,Q分别在不同的两条曲线上的问题,该类问题综合性強,解法灵活,已构成高考命题新的生长点;我们通过如下母题,给你一招鲜.妙解该类题.母题结构:已知|OP|=r,|PQ|=R,且OPOQ,若点P(rcos,rsin),则点Q(Rsin,Rcos).母题解析:如图,设POx=,则点P(rcos,rsin),且QOx=900Q(Rcos(900),Rsin(900),即点Q(Rsin,

2、Rcos); 由此可得:若点P(a+rcos,b+rsin),则点Q(aRsin,bRcos); 1.开创范例 子题类型:(2012年上海高考试题)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=1.()过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线,求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积;()设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点,若l与圆x2+y2=1相切,求证:OPOQ;()设椭圆C2:4x2+y2=1,若M、N分别是C1、C2上的动点,且OMON,求证:O到直线MN的距离是定值.解析:()双曲线C1的左顶点A(-,0),渐进线:y=x;不妨设渐进线的平行线:y=(x+),与y=

3、-x联立得:x=-,y=围成的三角形的面积=|OA|y|=;()设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l:y=x+t;由l与圆x2+y2=1相切t2=2;由x2-2tx-t2-1=0x1+x2=2t,x1x2=-3=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+t)(x2+t)=2x1x2+(x1+x2)t+t2=-6+2t2+t2=0OPOQ;()设|OM|=r,|ON|=R,MOx=,则M(rcos,rsin),N(-Rsin,Rcos)r2(2cos2-sin2)=1,R2(4sin2+cos2)=1+=3O到直线MN的距离=是定值.点评:本题的第()问是平凡的,第()问再考高考曾经的热点,

4、只有第()问具有新意,基本特点是满足OPOQ的两点P,Q分别在不同的两条曲线上(不同与第()问的热点问题:点P,Q在同一条曲线上),该题是该类问题的开创范例;命题组给出的解答是分类证明,较繁杂,以上解答简单直接,一步到位. 2.移植示例 子题类型:(2014年北京高考文科试题)已知椭圆C:x2+2y2=4.()求椭圆C的离心率;()设O为原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OAOB,求线段AB长度的最小值.解析:()由a2=4,b2=2椭圆C的离心率e=;()设|OA|=r,|OB|=R,AOx=,则BOx=+900,rsin=2,B(Rcos(+900),Rsin(+900),即B

5、(-Rsin,Rcos)(-Rsin)2+2(Rcos)2=4R2=|AB|2=r2+R2=+=sin2+(sin2+2cos2)(+)(2+2)2=8|AB|2,当sin=1,cos=0时,等号成立AB长度的最小值=2.点评:本题与例1具有异曲同工之妙,满足OPOQ的点P,Q,在例1中,分别在曲线C1:a1x2+b1y2=1,C2:a2x2+b2y2=1(a1+b2=a2+b1),则+为定值;在本题中,分别在曲线C1:b2x2+a2y2=a2b2和直线y=上,则+为定值; 3.本质典例 子题类型:(2000年全国高中数学联赛试题)已知C0:x2+y2=1和C1:+=1(ab0).试问:当且仅

6、当a,b满足什么条件时,对C1上任意一点P,均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形？并证明你的结论.解析:由切线长定理易知,圆外切平行四边形是菱形;(必要性)若菱形的两个顶点是C1的长轴端点A1(-a,0),A2(a,0)时,由菱形的对角线互相垂直平分菱形的另两个顶点必是C1的短轴端点B1(0,-b),B2(0,b)菱形其中一边A2B2方程:+=1;由A2B2与圆C0相切+=1;(充分性)若+=1,设P(rcos,rsin)是C1上任意一点,Q(Rcos(+),Rsin(+)是C1上的另外一点,设点P、Q关于原点O的对称点分别为R、S,则四边形PQRS是C1的内接菱形;由+=1,

7、+=1+=+=(+)+(+)=+=1;又在PQO中,点O到Q的距离d满足:=+=1d=1菱形ABCD是C0的外切四边形.点评:本题结论可推广到:椭圆G: +=1(ab0)的所有内接菱形ABCD的内切于同一个圆:x2+y2=. 4.子题系列:1.(2014年北京高考理科试题)已知椭圆C:x2+2y2=4.()求椭圆C的离心率;()设O为原点,若点A在在椭圆C上,点B直线y=2上,且OAOB,求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.2.(2015年陕西高考试题)已知椭圆E:+=1(ab0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.()求椭圆E的离心率;

8、()如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A、B两点,求椭圆E的方程. 5.子题详解:1.解:()由a2=4,b2=2椭圆C的离心率e=;()设|OA|=r,|OB|=R,AOx=,则BOx=+900,A(rcos,rsin),B(Rcos(+900),Rsin(+900),即B(-Rsin,Rcos),其中,Rcos=2,(rcos)2+2(rsin)=4r2(cos2+2sin2)=4+=cos2+(cos2+2sin2)=;由直线AB:(Rcos-rsin)x+(Rsin+rcos)y-Rr=0原点O到直线AB的距离d=直线AB与圆x2+y2=2相切.2.解:()由d=c椭圆E的离心率e=;()设A(-2+cos,1+sin),则B(-2-cos,1-sin);由椭圆E:x2+4y2=4b2经过A、B两点(-2+cos)2+4(1+sin)2=4b2,(-2-cos)2+4(1-sin)2=4b2,两式相减得:cos=2sinsin2=;两式相加得:21+15sin2=8b2b2=3椭圆E:x2+4y2=12.