数学 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 文 新人教A版

4.1任意角、弧度制 及任意角的三角函数-2-3-知识梳理考点自测1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(3)终边相同的角:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S=|=+k360,kZ.端点 正角 负角 零角 象限角 -4-知识梳理考点自测2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.用符号rad表示.(2)公式:半径长 |r -5-知识梳理考点自测3.任意角的三角函数 -6-知识梳理考点自测MP OM AT -7-知识梳理考点自测1.象限角 -8-知识梳理考点自测2.轴线角 -9-知识梳理考点自测1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)小于90的角是锐角. ()(2)三角函数线的长度等于三角函数值;三角函数线的方向表示三角函数值的正负. ()(3)若sin 0,则是第一、第二象限的角. ()(4)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等. ()(5)若角为第一象限角,则sin +cos 1;若 ,则tan sin . () -10-知识梳理考点自测2.已知扇形的半径为12 cm,弧长为18 cm,则扇形圆心角的弧度数是()3.sin 2cos 3tan 4的值()A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在B A解析解析:sin 20,cos 30,sin 2cos 3tan 40.-11-知识梳理考点自测4.(2017河北石家庄模拟,文13)已知角的终边在直线y=-x上,且cos 0,则tan =.-1 -12-知识梳理考点自测-13-考点一考点二考点三学科素养微专题角的表示及象限的判定角的表示及象限的判定 第一、第二象限或y轴的非负半轴 -14-考点一考点二考点三学科素养微专题-15-考点一考点二考点三学科素养微专题-16-考点一考点二考点三学科素养微专题CC-1-17-考点一考点二考点三学科素养微专题-18-考点一考点二考点三学科素养微专题三角函数定义的应用三角函数定义的应用(多考向多考向)考向1利用三角函数定义求三角函数值例2已知角的终边在直线3x+4y=0上,则5sin +5cos +4tan =.-2或-4 思考如何求已知角的终边上一点,且已知点坐标(或可表示出该点的坐标)的三角函数值?求角的终边在一条确定直线上的三角函数值应注意什么?-19-考点一考点二考点三学科素养微专题考向2利用三角函数的定义求参数的值例3已知角终边上一点P(m,4),且 ,则m的值为.思考应用怎样的数学思想求参数m的值? -20-考点一考点二考点三学科素养微专题考向3利用三角函数线解三角不等式例4(1)已知点P(sin -cos ,tan )在第一象限,且0,2,则角的取值范围是()B -21-考点一考点二考点三学科素养微专题-22-考点一考点二考点三学科素养微专题-23-考点一考点二考点三学科素养微专题思考三角函数的几何意义是什么?该几何意义有哪些应用?解题心得1.用三角函数定义求三角函数值的两种情况:(1)已知角终边上一点P的坐标,则直接用三角函数的定义求解三角函数值;(2)已知角的终边所在的直线方程,注意终边位置有两个,对应的三角函数值有两组.2.三角函数线是三角函数的几何表示,正弦线、正切线的方向同纵轴一致,向上为正,向下为负;余弦线的方向同横轴一致,向右为正,向左为负.-24-考点一考点二考点三学科素养微专题B -25-考点一考点二考点三学科素养微专题-26-考点一考点二考点三学科素养微专题-27-考点一考点二考点三学科素养微专题扇形弧长、面积公式的应用扇形弧长、面积公式的应用例5(1)已知扇形的半径为10 cm,圆心角为120,则扇形的弧长 为cm,面积为cm2.(2)已知扇形的周长为c,则当扇形的圆心角=弧度时,其面积最大,最大面积是.2 -28-考点一考点二考点三学科素养微专题-29-考点一考点二考点三学科素养微专题思考求扇形面积最值的常用思想方法有哪些?解题心得求扇形面积的最值常用的思想方法是转化法.一般从扇形面积公式出发,在弧度制下先使问题转化为关于的函数,再利用基本不等式或二次函数求最值.-30-对点训练对点训练3(1)一个半径为r的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的弧长,则扇形的圆心角是弧度,扇形的面积是.(2)已知在半径为10的圆O中,弦AB的长为10,则弦AB所对的圆心角的大小为,所在的扇形弧长l为,弧所在的弓形的面积S为.-2 考点一考点二考点三学科素养微专题-31-考点一考点二考点三学科素养微专题1.在三角函数定义中,点P可取终边上任一点,但|OP|=r一定是正值.2.在解简单的三角不等式时,利用三角函数线是一个小技巧.3.三角函数也是一种函数,它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数.1.相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定相等.2.在同一个式子中,不能同时出现角度制与弧度制.3.已知三角函数值的符号求角的终边位置时,不要遗忘终边在坐标轴上的情况.4.三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值,方向表示三角函数值的正负.-32-考点一考点二考点三学科素养微专题审题线路图挖掘隐含条件寻找等量关系典例如图,在平面直角坐标系xOy中,某单位圆的圆心的初始位置在点(0,1)处,此时圆上一点P的位置在点(0,0)处,圆在x轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于(2,1)时, 的坐标为.审题要点审题要点(1)已知条件:滚动后的圆心坐标为(2,1)和圆的半径长为1;(2)隐含条件:点P转动的弧长是2;(3)等量关系:P转动的弧长等于弧长所对的圆心角;(4)解题思路:求点P坐标可借助已知坐标(2,1),通过构造直角三角形,并在直角三角形中利用三角函数定义可求出.答案:(2-sin 2,1-cos 2)-33-考点一考点二考点三学科素养微专题反思提升1.解决本例应抓住在旋转过程中角的变化,结合弧长公式、解直角三角形等知识来解决.2.审题的关键是在明确已知条件的基础上,寻找出隐含条件;解题的关键是依据已知量寻求未知量,通过未知量的转化探索解题突破口.