GPS整周未知数求算方法

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1、GPS整周模糊度求解算法南京信息工程大学资源环境与城乡规划管理系，南京 210044摘要：分析几种常用的整周模糊度求解算法，并归纳这几种方法的求解优缺点，在此基础之上提出一种新的快速求解整周模糊度的方法，即先对系数阵进行QR分解，然后通过矩阵变换使模糊度参数和位置参数分离，从而降低矩阵的维数，满足实时动态求解的要求，最后应用整数高斯变换和构造极值条件来提高整周模糊度的搜索速度。关键词：GPS整周模糊度；求解方法；系数矩阵；整数高斯变换；构造极值条件1 引言整周模糊度的确定是载波相位测量中的关键问题。首先，因为模糊度参数一旦出错，将导致解算中的卫星到测站天线的距离出现系统性的误差，严重损害定位的

2、精度和可靠性；而且，实践表明，载波相位定位所需的时间就是正确确定整周模糊度的时间，如何快速准确的整周模糊度，对提高定位解算的精确性、实时性有着极其重要的意义，对开拓GPS定位技术的应用领域，将其推广到低等级控制测量和一般的工程测量等领域也具有极其重要的作用。2 整周模糊度的一般求解方法在过去的十几年中，国内外的学者一直在研究如何提高整周模糊度的计算效率，使模糊度解算方法更加实用，为此，提出了各种不同的模糊度解算方法，有快速解算法 FARA，双频 P 码伪距法、最小二乘搜索法、模糊度函数法、卡尔曼滤波法、最小二乘降相关平差法(LAMBDA)等。除卡尔曼滤波法外，其它方法均基于搜索的原理。其基本思

3、想是首先采用某种近似方法求得模糊度的初值，再以此初值为中心建立一个适当的搜索区域；该区域可定义为模糊度数学空间，也可定义于模糊度物理空间；然后根据某一算法在该空间逐组地(或逐点地)进行搜索，直到某组的待检定的模糊度(或某待定的点)满足预先设定的检验阀值和约束条件，即可将该组模糊度(或该点所对应的那组模糊度)确定下来。各种模糊度解算法所采用的搜索算法、选用的检验阀值类型、数值的大小、收敛的准则以及所加的约束各不一样；另外，确定初值的方法以及搜索区域的建立方法也各有区别，这些都直接影响到模糊度的解算速度、所需的观测时间以及解的可靠性。由于 P 码的保密性，双频 P 码伪距法的应用受到了限制，目前较

4、广泛的快速解算方法主要有 FARA、AFM、LSAST、OTF和 LAMBDA法，下面针对这几种算法做简单介绍。2.1 快速静态模糊度解算法(FARA-Fast Ambiguity Resolution Approach)该法于1990 年 由Frei 和 Beutler 提出，与确定整周模糊度常规方法相比，这种方法所需的观测时间大大缩短。当两站相距 10km 以内，则仅需几分钟的观测数据，就可求得整周模糊度，且定位精度与常规静态相对定位精度大致相当。FARA 方法的基本思想是以数理统计理论的假设检验为基础，利用初次平差(双差浮点解)提供的基线向量、协因数阵、单位权方差等信息，确定在某一置信区

5、间内整周模糊度一切可能的整数解的组合，并依次将整周模糊度的组合作为已知值代入方程通过平差进行搜索，寻找平差后方差(或方差和)最小的一组整周模糊度作为最佳估计值。在双差平差模型中，整周模糊度的可能组合数，在置信水平确定的情况下，其数量主要取决于初始平差后所得整周模糊度方差的大小和所观测卫星的数量。当同步观测的时间较短，经初始平差后所得整周模糊度的方差较大时，计算工作量将会很大。因此，如何减少计算工作量、缩短搜索整周模糊度最佳估值的时间、提高其可靠性便是当前研究快速静态相对定位技术的一个具有重要现实意义的问题。FARA 算法的出现对 GPS 静态定位产生了重大的影响，实践经验表明，在基线较短时(如

6、 S(S 一般选择为 0.850.95 之间)，则该网格点将被保存记录下来，以便在后续处理检测中进一步的搜索。第二步，搜索以第一步中NA( X , Y , Z ) S的网格点为中心重新建立较小的搜索空间，其边长选为第一步搜索中网格的边长，然后再划分为较小的网格，小网格的边长选为 0.01 量级，对网格点按式(5-11)计算标准化模糊度函数值，并保存NA( X , Y ,Z)S(S一般选择为 0.950.99 之间)的网格点及其 NA值。在该步中对于每一个小搜索区域只需保存一个 NA 值最大的网格点。3. 固定整周模糊度若从上一步得到的NA( X , Y , Z )S的检测点唯一，则以该点的坐标

7、反向求各双差模糊度，并取整为整数值即可。若NA( X , Y , Z ) S的检测点有多个，则说明数据量不够，不足以将正确的整周模糊度区分出来，所以必须增加参与计算的历元数，直到NA( X , Y , Z ) S的检测点只有一个为止。值得注意的是，当某一历元数据不足以确定出最大模糊度函数值的点，而需要下一历元的观测数据时，应精确地考虑到历元间天线的移动量，以便将搜索区域相应地移动。Mader(1992)的研究表明，利用单历元的观测量，必须同步观测七到八颗卫星，并且是双频观测，即可求得模糊度，单频则至少需要两个历元的观测数据。这一成果有些过于理想化，在实际的动态定位中，由于各种误差源的影响，所需

8、历元数往往要更多些，因此难于应用在实时动态定位中。2.3最小二乘搜索法（LSAST)该法是由 Hatch(1989)最早提出的。其基本思想是，由于载波相位的观测噪声远小于载波波长，在双差模糊度和三维空间位置存在线性关系的情况下，在所有的双差载波相位整周模糊度中，只有 3 个是独立的，即，只要确定 3 个双差载波相位整周模糊度，其它双差载波相位模糊度就可以唯一的确定。在这种情况下，即可以建立模糊度域的搜索空间，以载波波长为单位，进行搜索和验证，进而确定整周模糊度，最小二乘搜索法是目前使用较多的一种模糊求解方法。最小二乘搜索法可分为三个步骤：1. 确定未知点的坐标并建立模糊度搜索空间：未知点的初始

9、坐标可采用伪距双差观测量，采用最小二乘法计算得到。在求得未知点的初始坐标后，以初始解的精度作为指标(一般取各坐标分量的三倍标准差)建立一个三维坐标搜索空间，用该空间的 8 个顶点坐标和选择的 3 个基本双差观测量分别解算出相应的模糊度初值。然后根据每个顶点上计算得到的模糊度初值，确定这三个双差模糊度参数各自的最大整数值和最小整数值。在这一搜索空间中需要检测的模糊度组合总数为： (2-3)2. 最小二乘搜索： (1) 从模糊度搜索空间中选取一组待检测的模糊度(称为基本模糊度组)，利用相应的 3 个双差载波相位观测量计算出动态点坐标。(2) 利用求得的动态点坐标计算其它双差载波相位的整周模糊度(称

10、为剩余模糊度组)。(3) 根据(1)，(2)中得到的双差载波相位整周模糊度，利用该历元所有的双差载波相位观测值再次进行最小二乘解算，得到动态点的坐标及相应的残差向量 V。(4) 计算方差因子 = （2-4）式中：V 为双差观测值的残差向量，C 为双差观测值的协因数阵，n 为双差载波相位观测值的方程的个数，u 为模糊度的个数，n-u 为自由度。 若小于某一限值，则将该组整周模糊度参数和存入结果文件。否则将该组整周模糊度参数剔除。(5) 重复(1) (4)，直到检测完所有的整周模糊度组合。3. 固定整周模糊度：若某历元进行第 2 步后仅剩下一组模糊度参数，则该组模糊度为正确的模糊度。否则对结果文件

11、中保存的进行 Ratio 检验(Lachaplle 等，1993) （2-5）若 Ratio 大于某一限值(一般选取大于 2 的常数)，则认为最小所对应的模糊度参数组为正确的模糊度，否则还需要利用下一历元的数据对剩下的模糊度组进行最小二乘搜索，直到剩下唯一的一组或 Ratio 大于某一限值为止。2.4集成OTF法2.4.1 集成OTF法求解在最小二乘搜索法的基础上，Abidin(1993)提出了集成OTF方法。集成 OTF 方法继承了最小二乘搜索法的基本特点，即选择四颗卫星构成 3 个双差作为基本模糊度组的思想。但在搜索空间的建立以及搜索方法上都作了较大的改进。集成 OTF 方法采用了顾及几何

12、位置的时空性和模糊度之间的数学相关性的椭球空间替代了最小二乘搜索法的立方体搜索空间。 （2-6）式中：为初始基本模糊度组的协方差阵，是自由度为3，置信水平为1-的分布百分位值。采用椭球搜索空间无论在初始模糊度组的数量、搜索所需的计算时间还是搜索正确模糊度组所需的观测历元数都比立方体搜索空间要少。集成 OTF 还设计了一套理论严密、高效的搜索算法，它包括以下八项检验:(1) 检验点坐标与由测码伪距计算得到的坐标之间的相容性检验；(2) 闭合差向量的L范数检验；(3) 检验点坐标与更新后坐标之间的相容性检验;(4) 残差的 L 范数检验；(5) 残差二次型的检验；(6) 单个模糊度函数值的检验；(

13、7) 标准化模糊度函数值的检验；(8) RATIO 检验。这八项检验从前到后越来越严格，逐步将搜索空间中不正确的模糊度删除，有利于减少 OTF 解算所需的历元数。2.4.2 最小二乘搜索法和集成 OTF缺点最小二乘搜索法和集成 OTF 都采用了基本模糊度组的基本思想。这一思想有助于减少模糊度搜索空间中模糊度组的数量，提高搜索效率，不少文献中也给出了许多成功的实例。但是它们也存在一些问题。首先，基本卫星的选择是极为重要的，为了减少基本待定模糊度组的数量、提高解算效率、同时兼顾采用基本卫星组的四颗卫星进行定位解算能有较高的精度，以保证剩余双差整周模糊度能正确解算，选作基本卫星组的四颗卫星的 GDO

14、P 值应适中，既不能太大也不能太小。事实上选用不同的基本卫星计算效率差异是很大的。因而如何选择基本卫星是OTF 解算面临的一个首要问题。另外，采用最小二乘搜索法或集成 OTF 方法，除第一个搜索历元检测搜索空间中所有模糊度组外，后续历元均只对前一历元中通过各项检验的模糊度进行检验，这样做虽然提高了计算效率，但若某一历元中某一观测值有较大的误差，则极有可能使正确模糊度组被某一检验项所拒绝，从而导致搜索失败或求得错误的整周模糊度。2.5 最小二乘降相关平差法(LAMBDA)最小二乘降相关平差法(Least-square AMBiguity Decorrelation Adjustment)是由Te

15、auissen(1993)率先提出的。该方法是对最小二乘平差法的改进，可明显缩小搜索范围，加快定位速度。该方法一种公认的较好的确定整周模糊度的方法，即可用于静态定位也可用于动态定位。LAMBDA法首先通过最小二乘法得到模糊度的浮点解和其协方差阵 ,对协方差阵和双差模糊度去相关处理 ,并建立相应的模糊度搜索空间 ,最后在确定的搜索空间内进行模糊度搜索。根据整周模糊度的浮点解及方差，整周模糊度的理想搜索空间由下式确定： (2-7)由于上式是一个二阶约束条件,实际计算时不容易实现,通常用每个模糊度参数的置信区间来代替: （2-8）式中,是 的第i 行、 第 i 列元素, k 为对应于不同置信水平的置

16、信系数,一般取 35。 为削弱模糊度浮点估计值的相关性,使置信椭球体各主轴尽可能与坐标轴平行,并且使变换后模糊度的整数性质不变,采用了LAMBDA法中的整数高斯变换(Z变换) 的方法。 对 的整数高斯变换步骤如下:（1) 对 进行上三角变换: = ,并对上三角矩阵 U1 中各元素取整后求逆得到 ;（2) 计算上三角整数高斯变换后的方差阵: ;（3) 对进行下三角变换: ,并对下三角矩阵 L1 中各元素取整后求逆得到 ;（4) 计算下三角整数高斯变换后的方差阵: ;重复上述过程,如迭代 k 次后变为单位阵,则计算结束,可得整数高斯变换矩阵为: (2-9)对于加权最小二乘法得到的整周模糊度的浮点解

17、 ,则变换后的整周模糊度和协方差阵为: (2-10)对进行 Z 变换并对其协方差阵解除了相关后,所得的 则为彼此相关性很弱的模糊度值,即其协方差阵 接近于对角阵。 将式(2-10) 代入式(2-8)可得变换后的搜索空间为: (2-11)根据这个搜索空间来剔除整周模糊度 ,满足残差检验的留下 ,不满足的剔除。最后正确的整周模糊度进行 Z反变换后得到整周模糊度的最终真值。为减小备选整周模糊度组合 ,利用最小二乘搜索的基本思想在所有的双差模糊度中只有三个是独立的 ,将所有的使用卫星分为两组:选4颗卫星作为主组 ,用来确定模糊度的搜索空间 ,其余卫星作为从组 ,用于模糊度的检验。最小二乘法建立的搜索空

18、间再通过LAMBDA中的高斯变换变换为新的整周模糊度搜索空间,解除了高度相关的模糊度,使原来的模糊度置信扁长的椭圆变换为近似圆形的搜索空间,从而提高了搜索效率减少了备选整周模糊度的组合数,再采用俯仰角极限值、 基线长度、 冗余卫星模糊度整数约束等多种约束信息来剔除不正确的模糊度组合,进一步缩小模糊度搜索空间并快速确定正确的整周模糊度。正确的模糊度组合解算的基线长度应该和真值的误差很小 ,当某个历元得到一个模糊度组合时 ,在下一历元认为该模糊度组为正确的模糊度组合 ,进行解算得到一个基线的长度 ,对这个长度进行检验 ,如果在连续的一段时间内解算的基线长度都满足约束条件 ,可以认为这个模糊度组合为

19、正确的模糊度组合。由于在解除相关时引入了 Z变换 ,所以正确的整周模糊度值还要经 Z反变换来求得整周模糊度的真值。最小二乘法与LANBDA法相结合的整周模糊度解算法的程序流程图如图1。3 一种新GPS整周模糊度的快速测算方法以L 1观测值为例, 假设第一历元的双差观测方程组为 (1)式中,双差载波相位观测向量; 包括三个基线坐标分量的向量;N 双差模糊度向量; 系数矩阵;观测误差, 包括与接收机钟有关的误差、多路径效应以及未消除掉的对流层和电离层的影响等;B 1 N 的系数矩阵B 1 =权阵为P 1 , 为L 1 载波的波长。式( 1 ) 两边都除以 , 得到新的L 1 、A 1 和 , 则式

20、( 1 ) 变为设投影算子：用 乘式( 2 ) 的两边, 同时令V 1 = 为残差向量, 由于= 0, 则有又由,则这样, 对于m 个历元的观测量就有将式( 5 ) 右边展开, 得令 1时，H为满秩矩阵，式( 5 ) 可表示为：上式又可变换为 （7）可以先搜索使比较小的为数不多的模糊度组合组, 然后从中找出满足的点。其中, V 为固定N 后, 由全部观测数据平差得到的残差向量, P 为全部观测值对应的权阵。由式( 7 ) , C 为常数, 所以应使所寻找N 的对应的 比较小。适当给定界值, 下面不等式：就构成了一个关于N 的搜索空间。其中, 可将N 取整后代入上式左边而给定。然而, 由于短时间

21、内, 双差模糊度之间的相关性很强, 矩阵H 的结构很差, 基于上式的搜索点较多, 而且会遇到很多不满足条件的点, 使搜索速度变慢。为了提高搜索速度, 进行如下处理：1.整数高斯变换将H 进行整数高斯变换, 即Z 变换, 其基本思想是H 矩阵通过一系列变换, 得到一个行列式值为1,元素为整数的转换矩阵Z, 使得变换后的H 矩阵结构比原矩阵好, 从而改善整数模糊度搜索空间。先对H 进行Cho lesky 分解, 其中, ,式( 8 ) 变成构成了一个关于的搜索空间, 其中, 为新的搜索范围界定系数, 其值的给定类似于。新的搜索空间式( 9 ) 的各主轴大致等长, 比原搜索空间式( 8 ) 特性大大

22、改善。由于, 展开上式得式中, N和F 的第i 个元素;G对应j行.i列的元素;D的第i个元素。2.构造极值条件 满足PV = m in 的一组N 因为是最值点, 所以肯定是一个极值点。而极值点应满足以下条件:此处, N 为形如(0, 0, , 1, 0, , 0) 任一单位向量。上式可以简化为式中,为P的主对角元素。这儿的相乘并用W 来代表, 用高斯消去法化W 为上三角矩阵U , 不等式的两边作相应的变换。左边变为, 右边变为。则不等式(11) 化为在搜索的过程中, 用式(12) 进行判断, 是继续进行还是中断这一轮的搜索, 以提高搜索效率。在应用中可以按如下步骤进行:第一步当接收到第一个历

23、元的观测数据后, 组成双差观测方程组, 求出 四项, 得到并存贮起来。第二步接收到第二个历元的观测数据, 并组成双差方程组后, 同样求出这四项, 并和这四项相加存贮起来, 求得G, J , H , 构造Z 矩阵, 进行Z 变换。第三步利用当前所有的观测方程, 经最小二乘平差, 得到模糊度浮点解后, 构造下式式中第四步 根据上式进行搜索, 搜索到第一个点, 用极值条件来判断该点是否为极值点。如果是极值点, 就将该点和它对应的VTPV 一起存贮起来; 否则, 搜索下一个点。每搜索到一个极值点, 如果它对应的VTPV 比已存贮的极值点的VTPV 小, 则用该点和它对应的VTPV 代替原来存贮的极值点

24、和它对应的VTPV , 否则搜索下一个点。第五步 最后检核剩下的极值点是否为正确的模糊度点, 如是, 这个点即为所求, 搜索完毕。否则, 说明当前观测数据不足以确定模糊度, 需继续观测。第六步 接收到新的观测数据, 并组成双差方程组后, 同样求出这四项, 并和原来的,。四项相加, 存贮起来, 求得C, J , H , 构造Z 矩阵, 进行Z 变换。转到第三步。从上面的步骤中, 可以看出如果当前m 个历元的数据量不足以求解出正确的模糊度, 就需要继续观测,以增加观测量。这时, 只需要根据第m + 1 个历元的双差观测方程组, 求出正确的模糊度, 就需要继续观测,以增加观测量这。时, 只需要根据第

25、m + 1 个历元的双差观测方程组, 求出, , , , 分别加到,中去, 就可以得到新的C, J , H , 并不需要利用所有的观测数据重新计算, 可以节省大量的计算量。同时, 由于采用了整数高斯变换, 从而提高了模糊度的搜索速度。4 结束语GPS载波相位测量中都含有相同的初始整周模糊度 ,只有精确地确定了初始整周模糊度 ,才能获得高精度的定位定向结果。因此在高精度 GPS 定向中 ,核心问题就是整周模糊度的正确解算。GPS精密定位时间实际上就是正确确定模糊度所需的时间, 通过构造极值条件和采用整数高斯变换措施, 提出了一种新的快速模糊度求解方法, 新方法当需要增加观测值时, 不需要使用新旧

26、观测值一并计算,而仅需补充由新观测值引起的残差变化量, 减少了计算时间, 省了存贮空间, 从而提高了模糊度的搜索速度。试验研究表明, 新方法应用于静态和动态定解算模糊度快速、有效。本文虽以L 1观测值为例, 但由新方法原理可见,该方法同样适用于双频观测值。当然, 对于较长基线,如何消除影响解算模糊度的速度和准确性的各类误差是有待进一步研究的问题。而以上对于整周模糊度求解方法的研究仅仅是众多方法中的一部分，还有待于进一步研究。参考文献：【1】 刘立龙，等. 单频 GPS 整周模糊度动态快速求解的研究. 武汉大学学报 信息科学版，2007，30( 10) .【2】 刘基余. GPS卫星导航定位原理

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28、】 刘立龙. 动态对动态 GPS 高精度定位理论的及其应用研究. 武汉: 武汉大学博士学位论文, 2005.【9】 FreiE,BeutlerG.RapidStaticPositioningBasedontheFastAmbiguityResolutionApproach(FARA):TheoryandFirstResultsJ.ManuscriptGeodetic,1990,15:325356.【10】GoadC.RobustTechniqueforDeterminingGPSPhase.AmbiguitiesC.Proceedingsofthe6thInternational.Geodet

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