基本不等式课时实用教案

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1、问题(wnt)提出 1.不等式有许多(xdu)基本性质，同时还有一些显而易见的结论，如a20，|a|0，|a|a等，这些性质都是研究不等式问题的理论依据.在实际应用中，我们还需要有相应的不等式原理.第1页/共43页第一页，共44页。 2.如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客.在这个图案中既有一些相等关系，也有一些不等关系， 对这些等与不等的关系， 我们(w men)作些相应研究.第2页/共43页第二页，共44页。第3页/共43页第三页，共44页。探究（一）:基本(jbn)不等式的原理 |ab

2、 | 22ab22ab思考1：将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形ABCD和EFGH的边长分别为多少？ABCDEFGH第4页/共43页第四页，共44页。思考2：图中正方形ABCD的面积与4个直角三角形的面积之和有什么不等关系(gun x)？由此可得到一个什么不等式？a2b22ab 思考3：从图形(txng)分析,上述不等式在什么情况下取等号？ 当直角三角形为等腰直角三角形，即 ab时， a2b22ab. ABCDEFGH第5页/共43页第五页，共44页。思考4：在上面的图形(txng)背景中，a,b都是正数，那么当a

3、，bR时，不等式a2b22ab成立吗？为什么？ 一般(ybn)地，对于任意实数a，b，有:a2b22ab，当且仅当ab时等号成立.ABCDEFGH第6页/共43页第六页，共44页。思考5：特别地，如果a0，b0，我们(w men)用 、 分别代替a、b ，可得什么不等式? 当且仅当ab时等号成立(chngl).aab2abab( 0, 0)2abab ab第7页/共43页第七页，共44页。a思考6：不等式称为基本不等式，它沟通了两个正数的和与积的不等关系，在实际问题中有广泛(gungfn)的应用，你能用分析法证明吗？ ( 0, 0)2abab ab第8页/共43页第八页，共44页。思考7：我们

4、称 和 分别为a，b的算术平均数和几何平均数，如何用文字语言(yyn)表述基本不等式？ 两个正数的算术平均数不小于它们(t men)的几何平均数. 2ab+2ab+ab第9页/共43页第九页，共44页。思考8：如图，在直角三角形ABC中，CD为斜边上的高， CO为斜边上中线，你能利用这个图形对基本不等式作出几何(j h)解释吗？2ab+AB CDO第10页/共43页第十页，共44页。探究（二）：基本(jbn)不等式的变通 思考1：将基本不等式两边平方可得什么结论？它与不等式a2b22ab有什么内在联系？ 2abababba2)2(第11页/共43页第十一页，共44页。思考2：在不等式a2b22

5、ab两边同加上a2b2可得什么结论？所得(su d)不等式有什么特色？ 000cbxaxy20a)(,2121xxxx 它反映了两个实数的平方和与它们的和的平方的不等关系，称为(chn wi)平方平均不等式，其数学意义是：两个实数的平方的算术平均数不小于它们的算术平均数的平方. 222)2(2baba第12页/共43页第十二页，共44页。思考3:将不等式 两边同乘以 ，可变通(bin tng)出一些什么结论？ 2(0,0)abab abab211abab+baabab2baab112第13页/共43页第十三页，共44页。理论(lln)迁移 例1 已知x、y都是正数(zhngsh)，求证： (x

6、y)(x2y2)(x3y3)x3y3 例2 已知 a2b2c21， 求证(qizhng)：(abc)33.第14页/共43页第十四页，共44页。小结(xioji)作业2.基本不等式有多种形式，应用时具有很大的灵活性，既可直接应用也可变式应用.一般(ybn)地，遇到和与积，平方和与积，平方和与和的平方等不等式问题时，常利用基本不等式处理 1.不等式a2b22ab与 都是基本不等式，它们成立的条件不同(b tn)，前者a、b可为任意实数，后者要求a、b都是正数，但二者等号成立的条件相同. 2abab第15页/共43页第十五页，共44页。3.当a、b都是正数(zhngsh)时，有不等式链 作业(zu

7、y)： P100习题3.4 A组：1，2.baabbaba1122222第16页/共43页第十六页，共44页。第二(d r)课时 3.4 基本(jbn)不等式 2abab第17页/共43页第十七页，共44页。问题(wnt)提出1.基本(jbn)不等式有哪几种基本(jbn)形式？ （1） a2b22ab（a，bR），当且仅当ab时等号成立(chngl)； （2） (a0，b0)，当且仅当ab时等号成立；2abab（3） (a0，b0)，当且仅当ab时等号成立；222()22abab+第18页/共43页第十八页，共44页。 2.函数(hnsh)的最大值和最小值的含义分别是什么？ 3.在一定条件下，

8、利用基本不等式可以求出变量的极端值，因此，利用基本不等式求最值就成为一种(y zhn)重要的数学方法. 最大值:f(x)M，且等号成立(chngl);最小值:f(x)m，且等号成立.第19页/共43页第十九页，共44页。第20页/共43页第二十页，共44页。探究（一）：基本(jbn)不等式与最值原理 思考1：在基本不等式 (a0，b0)中，如果abP为定值，能得到什么原理？2abab原理一：若两个正数的积为定值，则当这两个正数相等(xingdng)时它们的和取最小值. 第21页/共43页第二十一页，共44页。思考2：在基本不等式 (a0，b0)中，如果abS为定值，又能得到什么原理？ 2aba

9、b原理二：若两个正数的和为定值，则当这两个正数相等(xingdng)时它们的积取最大值 . 第22页/共43页第二十二页，共44页。思考3：能否由 得函数 的最小值是2吗？1yxx=+2121xxxx思考4：当x4时,能否由 得函数 的最小值是4吗？ 21yxx=+4212122xxxxx第23页/共43页第二十三页，共44页。思考(sko)6：利用基本不等式求两个变量的和的最小值(或积的最大值)，应具备哪些基本条件？ 一正二定三相等(xingdng)思考5：当x(0，)时，能否由 ，得函数 的最小值是 吗？ 2si nsi nyxx=+2 222sin2sin2sin2sinxxxx第24页

10、/共43页第二十四页，共44页。探究（二）基本(jbn)不等式求最值的实际应用 【背景材料】在农村，为防止家畜家禽对菜地的破坏，常用篱笆围成一个菜园.如果菜园的面积一定，为节省材料，就应考虑所用篱笆最短的问题；如果所用篱笆的长度一定，为了充分利用材料，就用考虑所围菜园面积最大的问题 第25页/共43页第二十五页，共44页。思考1：如果用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，所用篱笆的总长度是定值？还是(hi shi)变量？ 思考2：如何设计(shj)这个矩形菜园的长和宽，才能使所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？矩形的长、宽都为10m时，所用(su yn)篱笆最短，最短的篱笆是40m.第26页/

11、共43页第二十六页，共44页。思考(sko)3：用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，所围成的矩形菜园的面积是定值？还是变量？ 思考4:如何设计这个矩形菜园(ciyun)的长和宽，才能使菜园(ciyun)的面积最大，最大面积是多少?矩形的长、宽都为9m时，菜园(ciyun)的面积最大，最大面积是81m2.2.2.第27页/共43页第二十七页，共44页。思考5：若矩形菜园的一边(ybin)靠墙，另外三边用一段长为36m的篱笆围成，如何设计这个矩形菜园的长和宽，才能使菜园的面积最大，最大面积是多少? 2.2.矩形的长为18m，宽为9m时，菜园(ciyun)的面积最大，最大面积是162m2.第28

12、页/共43页第二十八页，共44页。理论(lln)迁移 例1 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积(rngj)为4800m3，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？当水池底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价(zoji)最低，最低总造价(zoji)是297600元.第29页/共43页第二十九页，共44页。 例2 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要(xyo)购买面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运输费900元.问该厂每隔多少天购买一次面粉

13、，才能使平均每天所支付的费用最少？最少费用是多少？ 每隔10天购买一次面粉，能使平均每天所支付(zhf)的费用最少，最少费用是10989元.第30页/共43页第三十页，共44页。1.用基本不等式求函数的最值，是一种很重要(zhngyo)的方法，应用时要注意下列三个条件：(1)函数解析式中各变量均为正数；(2)含变量的两项的和或积为定值；(3)含变量的两项可以相等，即“一正二定三相等”.小结(xioji)作业第31页/共43页第三十一页，共44页。2.在实际问题中求最值时，一般先要设定字母表示(biosh)相关变量，再建立变量之间的函数关系，然后求最值.对形如：xy，xy，x2y2, 等结构的最

14、值问题，常用基本不等式求解. baxx+第32页/共43页第三十二页，共44页。作业(zuy)：P100练习：3，4.P101习题3.4 A组：3，4.第33页/共43页第三十三页，共44页。第三课时 3.4 基本(jbn)不等式 2abab第34页/共43页第三十四页，共44页。1.基本(jbn)不等式：（1） a2b22ab（a，bR），当且仅当ab时等号成立(chngl)； 20axbxc+一般(ybn)形式：（2） (a 0，b0)，当且仅当a b时等号成立；2abab（3） (a 0，b0)，当且仅当ab时等号成立222()22abab+知识整理第35页/共43页第三十五页，共44页

15、。2.最值原理(yunl)： （1）若两个正数的积为定值，则当这两个正数相等(xingdng)时它们的和取最小值.（2）若两个正数(zhngsh)的和为定值，则当这两个正数(zhngsh)相等时它们的积取最大值.（3）环境条件：一正二定三相等.第36页/共43页第三十六页，共44页。第37页/共43页第三十七页，共44页。应用(yngyng)举例 例1求函数 的最小值. 1(3)3yx xx=+-当x4时，y取最小值5.例2 求函数 的最小值. 28(1)1xyxx+=-当x4时，y取最小值8.已知第38页/共43页第三十八页，共44页。 例3 已知 ，求函数 的最大值. 103x(13 )y

16、xx=-(13 )yxx=-，求函数当 时，y取最大值 .16x=112第39页/共43页第三十九页，共44页。当x4，y12时，xy取最小值16. 例5 已知x0，y0，且xy1，求 的最大值.1122xy+191+=xy 例4 已知x0，y0，且 求xy的最小值. 当 时， 取最大值2. 12xy=1122xy+第40页/共43页第四十页，共44页。例6 已知a,b,c为正数,且a bc1，求 的最小值. 111+abc例7 已知a,b,c为正数，且a bc1，求 的最大值. +abc当 时， 取最小值9. 111+abc13abc=当 时， 取最大值 +abc13abc=3第41页/共43页第四十一页，共44页。作业(zuy)：P101习题3.4 B组：1，2.第42页/共43页第四十二页，共44页。谢谢您的观看(gunkn)！第43页/共43页第四十三页，共44页。NoImage内容(nirng)总结问题提出。|ab |。b的算术平均数和几何平均数，如何(rh)用文字语言表述基本不等式。思考2：在不等式a2b22ab两边同加上a2b2可得什么结论。求证：(abc)33.。1.基本不等式有哪几种基本形式。思考4：当x4时,能否由。思考5：当x(0，)时，能否由。每隔10天购买一次面粉，能使平均每天所支付的费用最少，最少费用是10989元.。谢谢您的观看第四十四页，共44页。