2007年全国各地中考数学压轴题赏析

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1、2007年全国各地中考数学压轴题赏析浦东教育发展研究院 杨正家2007年全国各地中考数学试题压轴题多姿多彩，经学习、研究后有不少体会。这些成功试题值得大家进行深入分析，细细品味。本人从中选取一部分加以分析，供教学、命题和研究参考。希望从考试试题的研究出发，在研究、讨论中我们共同获得对数学和数学教学的启发，进而提高对数学和数学教学的认识。ABCDOExy试题1（湖北省十堰市）已知矩形ABCD中，AB2，AD4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)。(1)写出A、B、C、D及AD的中点E的坐标；(2)求以E为顶点、对称轴平行于y轴，并且经过点B、C的抛物线的解

2、析式；(3)求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；(4)PEB的面积SPEB与PBC的面积SPBC具有怎样的关系？证明你的结论。略解：（1）所求各点坐标为A（0，1），B（0，-1），C（4，-1），D（4，1），E（2，1）。（2）设抛物线的解析式为，由于抛物线经过点B(0,-1)，可求得，所以抛物线的解析式为，经验证，该抛物线过C。（3）直线BD的解析式为，与抛物线解析式联列，解得点P坐标为。（4）。赏与析： 第（2）小题看起来有多余条件，但实际上正好考查学生解题中的自检能力，如果学生用顶点式求抛物线解析式，根据点B坐标求出解析式后须检查C在抛物线上。如果学生运用一般式求解

3、，根据E、B、C的坐标求出解析式后，须检验E是顶点。这一自检步骤不可忽略，也不可默认。试题2（泰安市，非课改）如图，在中，是边上的高，是边上的一个动点（不与重合），垂足分别为。（1）求证：；（2）与是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；（3）当时，为等腰直角三角形吗？并说明理由。略解：（1）可证，。（2）与垂直。先证四边形为矩形，由（1）知，。为直角三角形，。又，。（3）当时，为等腰直角三角形。，由（2）知：，。又， 为等腰直角三角形。赏与析：（1）本题对几何图形的性质作了比较有趣的研究，探究其中比较有意义的数量关系、位置关系、形状关系等，形成一类探索性试题的特点。（2）试题较有

4、整体感，小题设计之间、小题解法之间联系均较_结束_输出y_y与x的关系式_输入x_开始紧密，对于探究性问题中研究主题不断生成，环环相扣，又不断解决有一种流畅感。试题3（安徽省）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（）新数据都在60100（含60和100）之间；（）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。（1）若y与x的关系是yxp(100x)，请说明：当p时，这种变换满足上述两个要求； （

5、2）若按关系式y=a(xh)2k(a0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）略解：（1）当P=时，y=x,即y=。y随着x的增大而增大，即P=时，满足条件（）。又当x=20时，y=60，当x=100时，y=100。而原数据都在20100之间，所以新数据都在60100之间，即满足条件（），综上可知，当P=时，这种变换满足要求； （2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a）h20；（b）若x=20,100时，y的对应值m，n能落在60100之间，则这样的关系式都符合要求。如：。赏与析：（1）用流程图的

6、方法叙述函数关系，比较生动。同时这也是对函数的意义作了一个形象化的解释。其实函数的表达有多种方法，用解析式表示只是其中一种，而且不是所有函数都可以用解析式表示的。（2）通过隐含的方法对函数的几个有意思的性质，比如值域、单调性等进行描述、探究，引导学生学习数学研究的方法。（3）问题设计考虑到验证性证明和构造性证明等，试题比较注重数学思想方法的考查。试题4(淮安市)在平面直角坐标系中，放置一个如图所示的直角三角形纸片AOB，已知OA=2，AOB=30,D、E两点同时从原点O出发，D点以每秒个单位长度的速度沿x轴的正方向运动，E点以每秒1个单位长度的速度沿y轴的正方向运动，设D、E两点运动的时间为t

7、秒。 （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 。（2）在点D、E运动的过程中，直线DE与直线OA垂直吗？请说明理由(3)当t在什么范围时，直线DE与线段OA有公共点？（4）将直角三角形纸片AOB在直线DE下方的部分沿直线DE向上折叠，设折叠后重叠部分的面积为s，请写出s与t的函数关系式，并求出s的最大值。略解：（1）。（2）可求得，这时可得EDO=30，EDOA.(3)0t。(4)当0t时，当t时，当t时，。S最大值略。赏与析：（1）几何图形随着问题的展开慢慢展开，一点一点变得丰富起来。各小题的问题解决过程也是慢慢生成，每一小题的解法和结论对后一小题都有一定的启发性。（2）本题对于点的运动位置要进

8、行分类讨论，要求还是比较高的。分类讨论是初中数学比较重要的思想方法，讨论的两个难题，一是想到要用讨论的方法求解，一是确定讨论分界的不重不漏。试题5（武汉市）填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，ABAC，ECED，BACCED，直线AE、BD交于点F。(1)如图，若BAC60，则AFB_；如图，若BAC90，则AFB_；(2)如图，若BAC，则AFB_(用含的式子表示)；(3)将图中的ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图或图。在图中，AFB与的数量关系是_；在图中，AFB与的数量关系是_。请你任选其中一个结论证明。AABBCCDDEEFF图图AAABBBCC

9、CDDDEEEFFF图图图略解：（1）AFB60, AFB45。（2）AFB90-。（3）AFB=90-，AFB=90+。证明略。赏与析：（1）“填空或解答”，这是一种试题类型，这种类型试题的考查容量比较大，同时又让学生可以避免重复书写类似解题过程。比如本题中的三角形全等、三角形相似的书写过程。试题类型视为考查服务的，不同的题型的产生都是为了提高考查的有效性，所以试题类型值得我们一起去研究。（2）容易看出这道试题并不是原创的，但是在一道传统试题的基础上进行改编，挖掘出新意来，也会是一道有意思的试题，由此使我们体会到，学生和教师在学习或教学中，经常去改编、挖掘陈题，这是一项很有意义的劳动，这是一

10、种试题研究，也是一种数学研究和教学研究，但是要注意的是应避免原题对新题的负面干扰。试题6（北京市课标卷）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在中，点分别在上，设相交于点，若，请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论略解：（1）答案不唯一，如平行四边形，等腰梯形等。（2）BOD=。猜想四边形BCED是等对边四边形。（3）作于

11、F ，于G ，可先证BCFCBG，从而BF=CG。然后可证BFDCGE，所以BD=CE。即四边形BCED是等对边四边形。赏与析：这是一道围绕着鲜明主题的主题研究式学习试题，它可以引导学生步步深入地研究、解剖一个有意义的数学主题。引导学生接受试题暗示的启发，学会分析思考。而且第（2）小题只要猜想不要证明，与第（3）小题的配合，设计比较合理巧妙，有错落的层次感，而避免小题解答书写时的雷同、重复。另外，本题第（3）小题还可以在BE上截取F，使得BF=CD，进而证明CE=CF=BD。试题7（常德市）如图1，已知四边形是菱形，是线段上的任意一点时，连接交于，过作交于，可以证明结论成立（考生不必证明）图1

12、图2（1）探究：如图2，上述条件中，若在的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； ABCFHGD图4（2）计算：若菱形中，在直线上，且，连接交所在的直线于，过作交所在的直线于，求与的长 BADC图3FHGQ（3）发现：通过上述过程，你发现在直线上时，结论还成立吗？ 略解：（1）结论成立。证明：由已知易得，。FH/GC， 。（2）G在直线CD上，分两种情况讨论如下： G在CD的延长线上时，DG=10，如图3，过B作BQCD于Q，由于ABCD是菱形，ADC=60，BC=AB=6，BCQ=60，BQ=，CQ=3BG=，由AB CG，即，。 G在DC的延长

13、线上时，CG=16，如图4，过B作BQCG于Q，由于ABCD是菱形，ADC=600，BC=AB=6，BCQ=600，BQ=，CQ=3，BG=14，由AB CG，即，FG=。（3）G在DC的延长线上时，所以成立。结合上述过程，发现G在直线CD上时，结论还成立。赏与析：试题采用探究、计算、发现这样的形式，生动活泼，给出学生学习过程的明确引导性。指导学生对于一个问题不满足于被动解答，而是把问题作为一种特殊情形，然后多角度去扩充问题的各种情形，并一一解答。这样的试题样式，间接教育学生：数学学习中要追求深入问题内部追根究底的良好品格，逐步达到对问题举一反三的目标。ACByx011试题8（龙岩市）如图，抛

14、物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且。（1）求抛物线的对称轴；（2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式；ACBx011y（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由略解：（1）抛物线的对称轴。（2），。把点坐标代入中，解得，。（3）存在符合条件的点共有3个以下分三类情形探索设抛物线对称轴与轴交于，与交于过点作轴于，易得， 以为腰且顶角为角的有1个：，在中，。以为腰且顶角为角的有1个：在中，以为底，顶角为角的有1个，即画的垂直平分线交抛物线对称轴于，此时平分线必过等腰的顶点过点作垂直轴，垂足为，显然 于是，

15、赏与析：本来将求符合要求的点的坐标与讨论方法相结合并没什么新意，但是同时又结合着作图的过程，就比较别致了。数学中的知识、能力有很多，从本题可见，适当的组合也是一种新意，可以起到有效的考查作用，不一定要去挖掘试题的技巧性和复杂性。试题9（潍坊市）如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其中0m3，连结OA，OB，。OBAxy（1）求证：mn=6；（2）当时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；（3）在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线l，使？若存在，求出直线l对应的函数关系式

16、；若不存在，请说明理由。略解：（1）作轴于C点，轴于D点。点坐标分别为，又，易证，。（2）由（1）得，又，即。又坐标为（2，6），B坐标为（3，1），易得抛物线对应二次函数的关系式为。OCBPMAFDQN（3）直线AB为，且与轴交于F（0，4）点，假设存在直线交抛物线于P，Q，且使，如图。则有PF：FQ=1：3，作轴于M点，轴于N点，在抛物线上，设坐标为，则，易证，点坐标为点在抛物线上，解得，坐标为，Q坐标为，易得直线PQ为。根据抛物线的对称性可得直线PQ另解为。赏与析：（1）对于第（1）小题除了上述提供的几何方法证明之外，还可以根据勾股定理逆定理进行计算证明。如果学生今后学习了高中数学之后，

17、可以运用平面解析几何的方法去解。（2）第（2）小题除了几何方法之外，也可以运用代数方法直接得到，与mn=6联列，求出m,n。（3）借助二次函数图像的对称性，求出直线l的一解之后，立即得到与y轴对称的另一解。而不是完全根据代数方法再计算一遍。我们要培养学生的数学思维、观察的敏锐性，而不是盲目的计算和数学的教条。试题10（浙江省）如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在

18、x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。略解：（1）令y=0，解得或，A（1，0）B（3，0）；将C点的横坐标x=2代入得y=3，C（2，3）。直线AC的函数解析式是y=x1。（2）设P点的横坐标为x（1x2），则P、E的坐标分别为：P（x，x1），E。P点在E点的上方，PE=，当时，PE的最大值=。（3）存在4个这样的点F，分别是赏与析：（1）求函数图像与x轴交点坐标可先将y=0代入函数解析式，与y轴交点即可先取x=0。两个函数图像交点即方程组的解。（2）建议把第（2）小题的“过P点作y轴的平行

19、线”改为“过P点作x轴的垂线”，这样可以更严格一些。（3）问题并没有确定A、C、F、G作为平行四边形顶点的顺序，所以要结合图形研究AC、AF为边或对角线的各种情况来求出F的各个解来。试题11（南昌市）实验与探究（1）在图1，2，3中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点的坐标，它们分别是 ， ， ；图4图1图2图3（2）在图4中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），求出顶点的坐标（点坐标用含的代数式表示）；归纳与发现（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为（如图4）时，则四个顶点的横坐

20、标之间的等量关系为 ；纵坐标之间的等量关系为 （不必证明）；运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线和三个点，（其中）问当为何值时，该抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的点坐标略解：（1），。（2）分别过点作轴的垂线，垂足分别为，分别过作于，于点在平行四边形中，又，又，设由，得由，得（3），（4）若为平行四边形的对角线，由（3）可得要使在抛物线上，则有，即（舍去），此时若为平行四边形的对角线，由（3）可得，同理可得，此时若为平行四边形的对角线，由（3）可得，同理可得，此时综上所述，当时，抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形符合条件的点有，赏与析：（1）本题告诉学生数学也可以在实验中进行探究，数学不仅是单纯的思维，也有很多具体的图形渐变中关系规律的实验探究。（2）从一系列简单特殊的情况推及更一般的情况叫做猜想或者叫归纳，为了解决一个比较复杂的问题，先把它退化为一个比较简单的特殊情形，叫做化归。这些都是解决问题的重要思想方法。（3）根据前一小题研究得到的规律，结合分类讨论图形的各种情况，进行直接的运用。这样的问题显然可以考查学生解决问题的综合水平，但是缺憾是文试题篇幅比较大。