幂的运算总结及方法归纳

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1、幕的运算、知识网络归纳二、学习重难点学习本章需关注的几个问题：在运用 am ?an am n m、n 为正整数,am an am n a 0, m、n 为正整数且m n , amn amn m、n为正整数,abn anbn n为正整 数,a01a0 , a n $ a 0 , n为正整数时,要特别注意各式子成a立的条件.上述各式子中的底数字母不仅仅表示一个数、一个字母,它还可以表示一个单项式,甚至还可以表示一个多项式.换句话说,将底数看作是一个“整体 即可.注意上述各式的逆向应用.女口计算0.252004 42005,可先逆用同底数幕的乘法法那么将4 2005写成42004 4 ,再逆用积的乘

2、方法那么计算0.252004 420040.25 42004120041,由此不难得到结果为 1.通过对式子的变形,进一步领会转化的数学思想方法.如同底数幕的乘法就是将乘法运算转化为指数的加法运算,同底数幕的除法就是将除法运算转化为 指数的减法运算,幕的乘方就是将乘方运算转化为指数的乘法运算等.在经历上述各个式子的推导过程中,进一步领悟“通过观察、猜测、验证 与发现法那么、规律这一重要的数学研究的方法,学习并体会从特殊到一般的归 纳推理的数学思想方法.一、同底数幕的乘法 1同底数幕的乘法同底数幕相乘,底数不变,指数相加公式表示为：am an am n m n为正整数2、同底数幕的乘法可推广到三

3、个或三个以上的同底数幕相乘,即m n p m m p “注意点：(1)a a a a (m、n、p为正整数)同底数幕的乘法中,首先要找出相同的底数,运算时,底数不变,直接把指数 相加,所得的和作为积的指数 .如杲底数不同,先设法将其转化为相同的底数,(2) 在进行同底数幕的乘法运算时,再按法那么进行计算.例题:例1:计算列以下各题a3 a4 ；(2)b b2b3简单练习：一、选择题以下计算正确的选项是235a + a = a B.以下计算错误的选项是2 221.A.2.(B.)2a)m m _ m C.3+2 =5 D.2 2a + a =2 aA.5 x - x =4x3.以下四个算式中ap

4、2+p2+p2=3p2 正确的有()B.2m m+ a =23=2 aC.3xm m _m+2 =56D.b 3bxx32m-12mX25=bA.1 个4.2 3C.3F列各题中,计算结果写成底数为B.1000D.100A.100 x 10 =103 5C.100 x 10 =10二、填空题4a103 5a 6、 ( a +1)中等练习：31、(-10)A.10 8D.410的幕的形式,x 1010=1034x1000=10个其中正确的选项是1.3、5、?_=1010=a 2(4+a44=a5)-(1+ a ) ( a +1)=- . 2 、23、(-a ) (- a ) 18b 2 b b7

5、=5a =10+100 (-10 2)的运算结果是()4B.-2x 10C.0D.-10A.2n-1 一 a 与-b2n-1B.2n-1a与 b2n-1 C.a2n与b2n D.2na与b2n5.计算a -b )n(b - a )n1等于A.(a - b )!n-1B.(b、2n-1-a )C. + ( a-b )2n-1 D.非以上答案6.探x 7等于)A.(-X 2 ) x5B、(-X 2) (-X 5) C.(-X )34XD.(-x ) (-x )67、解牟做题(1)-X 2 (-X3)(2：a(-a厂3 a-b 2 (-b)2 (-b )3(4)x(-x 2) (-x )2 (- x

6、3) (- xn14 m4+m(-x)x ?xxx x x6 (-x)5-(-x) 8(-x) 3(8)-3a 幕的乘方的底数是指幕的底数,而不是指乘方的底数(-a )4-(-a)57.计算-21999+(-2)20(00等于)19991999D.22、 x - y 6 y - x 5 =4、a与b互为相反数且都不为 0, n为正整数,.3、10m - 10m-1 100=那么以下两数互为相反数的是)33999A.-28. 假设a较难练习:2n+1a-一一、填空题：1.10m110n2.2 3 x x4 xx :3.103100 4.假设2x1 165.m右a3 a a右xx2 3 4 x x

7、 x15,那么x=4 r,贝 U m=B.-2x 3=aC.-2那么x=,(x100 100Xy,那么 y=6.5,那么a456 ( 6)=y)2(x y)5 =100;右10000 10 10 =x4xax16,那么 a=;假设 ax(a)2,那么x=二、选择题7.下面计算正确的选项是b3b2b6 ； B .a6 ； D . mm58. 81X 27可记为A.3769 ; B. 3 ; C. 3 ; D.y,那么下面多项式不成立的是a. (y2 2x) (x y);B.(yx)3(xy)3;C. ( y2 2x) (x y);D.(x y)23121999200010. 计算(2)( 2)

8、等于()3999A. 2;B.-2; C.2999D.299911. 以下说法中正确的选项是()A.an 和(a)n定是互为相反数B.当n为奇数时,an和(a)n相等C.当n为偶数时,an和(a)n相等D.an和(a)定不相等三、解做题：12. 计算以下各题:2(x y) (xy)3 (yx)2 (yx)1 2 3 ；(2) (a b23c) (b c a) (c a b)42x ( x)(x) xm4) x x13.1km2的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧1.3 108kg煤所产生的能,. 6 2量,那么我国9.6 10 km的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤多少千 克？

9、14. (1)计算并把结果写成一个底数幕的形式：3运用积的乘方法那么时,应把每一个因式都分别乘方,不要遗漏其中任何一个因式 9 81 :625 125 56.(2)求以下各式中的 x： ax 运用积的乘方法那么时,数字系数的乘方,应根据乘方的意义计算出结果: a2x 1(a 0, a 1): px p6p2x( p 0, p 1).15计算(-x2 y3) 24 x5 y5.2n 1n西假设5x (x 3) 5x 9,求x的值.二、幕的乘方与积的乘方1、幕的乘方幕的乘方,底数不变,指数相乘n公式表示为：amamn(m、n都是正整数).2、积的乘方积的乘方,把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幕

10、相乘公式表示为：ab “ anbn(n为正整数).例题:3 4 一1. 计算： a 表示.2. 计算：(x4) 3 =.3计算：(1) (am)3 an；(2)( 1)3 a2简单练习：一、判断题1、3 2x3 2x5 x()22 367、aaa a a ()3、3 2329()m333m 9/、4、(x )x()xxx5、(xy)2 (yx)35(x y)()、填空题:1、( 2)23 ,( 22)3;2、(a4)2 ( a2)3, ( a3)2 ( a)3；3、 ( x4)5 ( x5)4, ( am1)3 (a2)1m4、 3(x2)2 (x2)4 (x5)2 (x2)2；5n3n、右

11、x 3,贝y x .三、选择题1 (2 2nx )1等于()A、4n 1B、4n1小4n 2D4n 2xxC、x、 x2 (n 1、2 a )等于()A、2n 2B、2n22n 1D2n 2aaC、a、 a3、y3n 1可写成()A、z 3、n1“ n、3 13n“ n、n 1(y )B、(y)C、yyd、(y )4.2 n1 n1gp等于()2nA.pB .2rp1C .n 2pD.无法确定5.计算x32 y3 2 xy的结果是()510=58 一58a. x y B . x y c . x y D .6 12x y6.假设N= a a2 b3 4,那么N等于A.8 12 12 12.a b

12、 C . a b D12 7a b7.ax 5,ay3,那么ax y的值为A.15 Ba2 D .以上都不对中等练习：一、填空题1.计算：y3(y2.计算：a3)2?( a2)33 2(3. (2 )4(在括号内填数二、选择题4.计算以下各式,结果是x8的是.24A. x x ;5.以下各式中计算正确的选项是.(x2)44.x +x ;A.(x4) 3=x7;B.(-a)2510=a ;C.(am) 2= (a2 )c 2m=a ;D.(a2)3= ( a2 = a66.计算x23的结果是A.x5 ; B.C.x6D.7.以下四个算式中：S a3 3=a3+3=a6;b2 2 2=b2x2x2

13、一y2 5=y10,正确的算式有A. 0 个； B.1个;=b8;)C(-x)2 个;3 4=(x)12J 12=x ;8.以下各式：a5(a)2a4a)3;(a2)33 24 3(a3)2:a4 ,计算结果为 a12的有A.和；较难练习：n n2 2、n1、2(a b )2+(a b )2、 (-2 x2y) 3+8(x2)2 (-x 2) (-yB.和;C.和;D.和.3)3. -2100XO.5 100X(-1) 1994+丄24. 2m=3, 2n=22,那么22m+的值是多少3.835. 9a2 g -4 ,求a的值36. 105,106,求102 3的值7. xn=5,y n=3,

14、求(x 2y)2n 的值.&比拟大小：2 X3与2 X39. 假设有理数 a,b,c 满足(a+2c-2) 2+|4b-3c-4|+|a -4b-1|=0,试求 a3n+1b3n+2-c 4n+2210、 太阳可以近似的看作是球体,如果用V、r分别代表球的体积和半径,那么V单r3太3阳的半径约为6X105千米,它的体积大约是多少立方千米？( n取3)三、同底数幕的除法1、同底数幕的除法同底数幕相除,底数不变,指数相减公式表示为：am an am n a 0,m n是正整数,且 m n 2、零指数幕的意义任何不等于0的数的0次幕都等于1.用公式表示为：a0 1 a 0 .3、负整数指数幕的意义任

15、何不等于0的数的-n(n是正整数)次幕,等于这个数的n次幕的倒数,用公式表示为1a n n a 0, n是正整数a4、绝对值小于1的数的科学计数法对于一个小于1且大于0的正数,也可以表示成a 10n的形式,其中1 a 10,n是负整数.注意点:(1)(3)底数a不能为0,假设a为0,那么除数为0,除法就没有意义了； a0,m n是正整数,且m n是法那么的一局部,不要漏掉只要底数不为0,那么任何数的零次方都等于1.例题:计算以下各题：(1) (m-1) 5 -( m-1) 3;(2) (x-y) 10 +( y-x) 5 +( x-y);(3) (am) n x( -a3m ) 2n + (a

16、mn)5；i/22/ 3 o(4)2- (- 一 )+ ()32简单练习：231.* a =a .2假设 5k 3=1,贝U k=.3. 3 1 + ( - ) =934 .用小数表示-3.021 X 10=5计算： a6 a2=, ( a)5 ( a)6_76=61466.在横线上填入适当的代数式：x ? x , x7.计算：x3、29326x5 ?x5 =5/53、,x (x x )8.计算：(a1)9 (a1)A. a ；B. a ；C. a ；D. a .5. 对于非零实数 m,以下式子运算正确的选项是() =9.计算：(mn)3 (nm)2 =10. (-a2 ) 5 *( -a)

17、3=, 9 20 * 27A. (m ) m ;B. m m m ； * 37=中等练习：1.如果a * aX=am,那么x等于()A. 3B.-2mC.2mD.-32.设az 0,以下的运算结果：27325a =a : a * a =a ;3( -a) 3 * a0 =-a3 ;( -a)2 * a=a 1,其中正确的选项是(A.B.C.D.3 2 a =a .3. 以下各式计算结果不正确的选项是()23 33 2122 33 633A.ab(ab) =a b ; B.a b *2ab=?ab;C.(2ab ) =8a b ; D.a *a52344. 计算：a aa 的结果,正确的选项是(

18、)6 假设 3x 5 , 3y 4,那么 32xy 等于()25A.；B.6 ;C.21；D.20.47.计算： a9?a5 (a4)3 ；a)7(a)4 ( a)3； 83?43 25 ；x4)3(x2)3?( x)3 ( x)28地球上的所有植物每年能提供人类大约6.6 1016大卡的能量,假设每人每年要消耗8 105大卡的植物能量,试问地球能养活多少人？较难练习：1 观察以下算式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,那么 89 的 个位数字是A.2 ;B. 4;C. 8;D . 6.2.假设23x 6 2 x 30有意义,那么x的

19、取值范围是A. x3 ;B. x2 ;C. x工或x工2D. x工且x丰 2.3. 某种植物花粉的直径约为35000纳米,1纳米=10 9米,用科学记数法表示该种花粉的直径为.4. 2 % 旦,那么x=.385计算： 0.125 2021丄2021.86. ：s 1 2 1 2 2 2 32 2021,请你计算右边的算式求出 S的值.7. 解方程：1 28?x 215 ;2 7x 75.mn3m 2 n “ 8. a3,a9,求a 的值.9. 32m 5,3n 10,求 1 9m n ; 2 92m n.13322310.化简求值：(2x-y)r (2x-y) - ( y-2x),其中 x=2

20、, y=-1.运用幕的运算法那么的四个注意、注意法那么的拓展性对于含有三个或三个以上同底数幕相乘(除)、幕(积)的乘方等运算,法那么仍然适用.例1计算：(1) a aa3 4 a1 2 3 4 a10(2) (ab 2n 4m)3 4a3b6 4a12b4(3) xyz 4 x?z4 4、注意法那么的底数和指数的广泛性运算法那么中的底数和指数,可取一个或几个具体的数；也可取单独一个字母或一个单项 式,甚至可以是一个多项式.例2计算:(1)m2 n2y(2)3m 2n 2x y2nx y2mx y3m 2n 2 2n 2mx ym 2三、注意法那么的可逆性逆向应用运算法那么,由结论推出条件,或将

21、某些指数进行分解.例3.在下面各小题的括号内填入适当的数或代数式：(1) x m 1 ( x)( x3()n2 ( x)()(2) a( ) ()n12n 2aa()四、注意法那么应用的灵活性在运用法那么时,要仔细观察题目的特点,采取恰当、巧妙的解法,使解题过程简便.例4计算：125 25n 625m 55352n 54m 5.3 2n 4m 1 25幂的运算方法总结作为整式乘除的前奏,幕的运算看似非常简单,实际运用起来却 灵活多变.不过,只要熟悉运算的一些根本方法原那么,问题就迎刃而 解了.而且通过这些方法原那么的学习,不但能使我们熟悉幕的运算, 还可得到全面的思维练习.现在对此做一探索.幕

22、的运算的根本知识就四条性质,写作四个公式：amXan=am+n (a)n二amn (ab)/rn=am-n只要理解掌握公式的形状特点,熟悉其根本要义,直接应用一般 都容易,即使运用公式求其中的未知指数难度也不大.问题1、a7am=a3a10, 求 m的值.思路探索：用公式1计算等号左右两边,得到等底数的同幕形式, 按指数也相等的规那么即可得 m的值.方法思考：只要是符合公式形式的都可套用公式化简试一试.方法原那么：可用公式套一套.但是,渗入幕的代换时,就有点难度了.问题2、xn=2,yn=3,求(x2y)3n的值.思路探索：(x 2y)3n中没有xn和yn,但运用公式3就可将(x 2y)3n化

23、 成含有xn和yn的运算.因此可简解为,(x 2y)3n =x 6ny3n=(xn) 6(yn) 3=26X 33=1728方法思考：幕和要求的代数式不一致,设法将代数式变形, 变成幕的运算的形式即可代入求值方法原那么：整体不同靠一靠.然而,遇到求公式右边形式的代数式该怎么办呢？问题3、 a3=2,am=3,a n=5,求 am+2n+6的值.思路探索：试逆用公式,变形出与同形的幕即可代入了.简解：am+2n+6=ama2na6=am(an) 2(a3) 2=3x 25x 4=300方法思考：遇到公式右边的代数式时,通常倒过来逆用公式,把 代数式展开,然后代入.方法原那么：逆用公式倒一倒.当底

24、数是常数时,会有更多的变化,如何思考呢？问题4、22x+3 22x+1=48,求x的值.思路探索：方程中未知数出现在两项的指数上,所以必须统一成一项,即用公式把它们变成同类项进行合并.由此,可考虑逆用公式 1,把其中常数的整数指数幕,化作常数作为该项的系数.简解：22x+3 22x+1=22xX 2 3 22xX 21=8 X 22x 2 X 2 2x=6X22x=48 22x=82x=3x=1.5方法思考：幕的底数是常数且指数中有常数也有未知数时,通常 把常数的整数指数幕化成常数作为其它幕的系数,然后进行其它运 算.问题5、64m+1-2n-33m=81,求正整数m n的值.思路探索：幕的底

25、数不一致使运算没法进行,怎样把它们变一致 呢？把常数底数都变成质数底数就统一了简解：64m+1+2 n + 33m =2 4m+1X3 4m+、2 n + 3 3m=24m+1-nX3 m+1=8 仁3t m n 是正整数/ m+1=4,4m+k n=0 /. m=3, n=13方法思考：幕的底数是常数时,通常把它们分解质因数,然后按 公式3展开,即可化成同底数幕了.问题6、2a=3,2b=6,2c=12,求a、b、c的关系.思路探索：求a、b、c的关系,关键看2、2 2的关系,即3、6、12的关系.6是3的2倍,12是6的2倍,所以2c=2X2b=4X2 a,由此可求.简解：由题意知2c=2

26、X2b=4X22c=2b+1=2a+2c=b+ 1=a+2方法思考：底数是相同的常数时,通常把幕的值同乘以适当的常 数变相同,然后比拟它们的指数.方法原那么：系数质数和指数,常数底数造一造.综合用到以上方法就更需要引起注意.问题7、2x=m,2y=n,求22x+3y+1的值.思路探索：要求的代数式与距离甚远,考虑逆用公式将其变 成的代数式的形式.简解：22x+3y+1 =22xX 2 3yX21=(2x)2X (2y)3X2二nWX2=2nW方法思考：综合运用化质数、逆用公式和整体代人的方法.问题&a=244,b=3 33,c=4 22,比拟a、b、c的大小.思路探索：同底数幕比拟大小观察指数

27、大小即可, 底数不能变相 同的,只好逆用公式将指数变相同,比拟底数大小了简解：a=244=24x11=(24) 11 = 1611,b=333.3X11=3=(33) 11=2711c=422.2X11=4= 1611二 a=cv b方法思考：化同指数幕是比拟底数不能化相同的幕的又一种方 法.思考归纳：幕的运算首先要熟练掌握幕的四条根本性质, 不但会 直接套用公式,还要能逆用.其次要注意要求的代数式与条件的 联系,没明显关系时常常逆用公式将其分解.第三,底数是常数时通 常将其化成质数积的乘方的形式,有常数指数的通常求出其值,作为 该项的系数.第四,底数不同而指数可变相同的可通过比拟底数确定 其大小关系,还可通过积的乘方的逆运算相乘.思考原那么可用公式套一套,整体不同靠一靠,逆用公式倒一倒,常数底数造一造,系数质数和指数,综合运用瞧一瞧.(2)指数相乘是指幕的指数与乘方的指数相乘,一定要注意与同底数幕相乘中“指数 相加区分开.