第6部方差分析ANOVATheAnalysisofVariance

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1、数理统计课题组6.1 单因素方差分析单因素方差分析6.2 多重比较多重比较6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.4 非参数方法非参数方法 6.1 单因素方差分析单因素方差分析 (One-Way ANOVA)例例 6.1 研究扑尔敏（氯苯吡胺，研究扑尔敏（氯苯吡胺，Chlorpheniramine ）药）药片的剂量，从片的剂量，从7个药厂生产的扑尔敏药片中，各抽取个药厂生产的扑尔敏药片中，各抽取10片片做检验，测量出每片中含有氯苯吡胺的剂量（做检验，测量出每片中含有氯苯吡胺的剂量（mg）。）。实验指标Y：定量变量，本例为药片的剂量。实验因素(Factors)：定性变量，本例为单因素，只有药厂（

2、Labs）一个实验因素。因素水平：实验因素的不同取值，本例为Lab1，Lab2, , Lab7，也称为处理（Treatments) 6.1 单因素方差分析单因素方差分析 (One-Way ANOVA)例例 6.1Lab1Lab2Lab3Lab4Lab5Lab6Lab74.134.074.044.074.054.044.024.064.104.043.863.854.084.114.084.014.024.043.973.954.004.024.014.014.043.994.033.973.983.983.883.883.913.953.923.973.923.903.973.904.023.

3、954.023.893.914.013.893.893.994.004.023.863.963.974.003.823.983.994.023.934.004.024.034.044.103.813.913.964.054.06 6.1 单因素方差分析单因素方差分析 (One-Way ANOVA)一般情况一般情况第i个处理12 i I第j次观测Y11Y1jY1JY21Y2jY2J Yi1 Yij YiJ YI1YIjYIJ 6.1 单因素方差分析单因素方差分析 (One-Way ANOVA)例例 6.1箱线图箱线图Boxplots 6.1 单因素方差分析单因素方差分析 (One-Way ANO

4、VA)ijiijYIii10 IiiIiJjiijIiJjijYYJYYYY12112112)()()(统计模型：JjijiYJY11 IiJjijYIJY111BWTOTSSSSSS其中i是第i个水平的效应，满足平方和分解式：其中： 6.1 单因素方差分析单因素方差分析 (One-Way ANOVA)1() 1(JISSISSFWB) 1() 1()(222JISSSJISSEWpW212) 1()(IJSSEIiiB构造F统计量0:210IH)1(),1(0JIIFFH 成立时Pooled sample variance 6.1 单因素方差分析单因素方差分析 (One-Way ANOVA)

5、 6.1 单因素方差分析单因素方差分析 (One-Way ANOVA)ANOVAANOVAy.1256.0215.660.000.23163.004.35669Between GroupsWithin GroupsTotalSum ofSquaresdfMean SquareFSig. 6.1 单因素方差分析单因素方差分析 (One-Way ANOVA) IiiiIiJjiijIiJjijYYJYYYYii12112112)()()(当各处理的样本量Ji不全相等时iJjijiiYJY11 IiJjijIiYJJY1111BWTOTSSSSSS平方和分解式：其中： 6.1 单因素方差分析单因素方

6、差分析 (One-Way ANOVA) 1(1IJJSSISSFIWBIJJSSSIJJSSEIWpIW12221)()(212) 1()(IJSSEIiiiB构造F统计量0:210IH),1(10IJJIFFHI成立时Pooled sample variance 6.2 多重比较多重比较(Multiple Comparisons) 6.2 多重比较多重比较(1 LSD Method)LSDYYii|21若 Fisher提出的最小显著差异(Least Significance Difference)方法，简记为LSD则认为i1水平与i2水平有显著差异053. 0102)025. 0(,0606

7、. 063ppStS 6.2 多重比较多重比较(1 LSD Method)M ultiple Com pari sonsM ultiple Com pari sonsDependent Variable: yLSD.06500*.02710.019.0108.1192.05900*.02710.033.0048.1132.14200*.02710.000.0878.1962.10500*.02710.000.0508.1592.10700*.02710.000.0528.1612.06400*.02710.021.0098.1182-.06500*.02710.019-.1192-.0108-

8、.00600.02710.826-.0602.0482.07700*.02710.006.0228.1312.04000.02710.145-.0142.0942.04200.02710.126-.0122.0962-.00100.02710.971-.0552.0532-.05900*.02710.033-.1132-.0048.00600.02710.826-.0482.0602.08300*.02710.003.0288.1372.04600.02710.095-.0082.1002.04800.02710.081-.0062.1022.00500.02710.854-.0492.059

9、2-.14200*.02710.000-.1962-.0878-.07700*.02710.006-.1312-.0228-.08300*.02710.003-.1372-.0288-.03700.02710.177-.0912.0172-.03500.02710.201-.0892.0192-.07800*.02710.005-.1322-.0238-.10500*.02710.000-.1592-.0508-.04000.02710.145-.0942.0142-.04600.02710.095-.1002.0082.03700.02710.177-.0172.0912.00200.027

10、10.941-.0522.0562-.04100.02710.135-.0952.0132-.10700*.02710.000-.1612-.0528-.04200.02710.126-.0962.0122-.04800.02710.081-.1022.0062.03500.02710.201-.0192.0892-.00200.02710.941-.0562.0522-.04300.02710.118-.0972.0112-.06400*.02710.021-.1182-.0098.00100.02710.971-.0532.0552-.00500.02710.854-.0592.0492.

11、07800*.02710.005.0238.1322.04100.02710.135-.0132.0952.04300.02710.118-.0112.0972(J) lab234567134567124567123567123467123457123456(I) lab1234567M eanDifference(I-J)Std. ErrorSig.Lower BoundUpper Bound95% Confidence IntervalThe m ean differ ence is signifi cant at the .05 level.*. 6.2 多重比较多重比较(2 Tukey

12、s Method)()1(,JIIqJSYYpiiiiii/)()(max221121,称服从参数为I和I(J-1)的学生化极差分布（Studentized range distribution）,其上侧100分位数记为JSqYYpJIIii)(|)1(,21若则认为i1水平与i2水平有显著差异 6.2 多重比较多重比较(2 Tukeys Method)082. 010061. 0)05. 0()05. 0()(60,763,7)1(,qJSqJSqppJII 6.2 多重比较多重比较(3 Bonferroni Method)2/)2(|)1(21JktSYYJIpii若两两比较共有则认为i1

13、水平与i2水平有显著差异个2) 1(2IICkI对显著性水平，取每个两两比较的显著性水平为/k，则k个两两比较合计犯弃真错误的概率不超过。 6.2 多重比较多重比较(3 Bonferroni Method)?16. 3)20/025. 0(39. 3)20/025. 0(40. 3)21/025. 0(,2127606063tttk085. 0102)20/025. 0(,0606. 060ppStS 6.2 多重比较多重比较(3 Bonferroni Method)Multiple ComparisonsMultiple ComparisonsDependent Variable: yBon

14、ferroni.06500.02710.408-.0208.1508.05900.02710.698-.0268.1448.14200*.02710.000.0562.2278.10500*.02710.005.0192.1908.10700*.02710.004.0212.1928.06400.02710.448-.0218.1498-.06500.02710.408-.1508.0208-.00600.027101.000-.0918.0798(J) lab23456713(I) lab12MeanDifference(I-J)Std. ErrorSig.Lower BoundUpper

15、Bound95% Confidence Interval 6.3 双因素方差分析双因素方差分析 (Two-Way ANOVA )6.3.1 无交互作用无交互作用6.3.2 有交互作用有交互作用 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.1 无交互作用无交互作用例例6.2 用用3种电烤箱烧烤种电烤箱烧烤3种菜肴，种菜肴， 考察用电量（千瓦小时）考察用电量（千瓦小时）Menu Day菜肴Range 1烤箱 1Range 2烤箱 2Range 3烤箱 31233.972.392.764.242.612.754.442.823.01 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.3 无交互作用无交互作

16、用ijjiijYIii10可加模型（无交互作用）：其中i是A因素第i个水平的效应，满足j是B因素第j个水平的效应，满足Jjj10 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.3 无交互作用无交互作用 IiJjjiijJjiIiiIiJjijYYYYYYIYYJYY1121212112)()()()(JjijiYJY11 IiJjijYIJY111EBATOTSSSSSSSS平方和分解式：其中：IjijjYIY11 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.1 无交互作用无交互作用)1)(1() 1(,)1)(1() 1(JISSJSSFJISSISSFEBBEAA) 1)(1() 1)(1(

17、)(222JISSSJISSEEpE212212) 1()(,) 1()(JISSEIJSSEJjiBIiiA构造F统计量Pooled sample variance 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.1 无交互作用无交互作用0:210IAH)1)(1(),1(0JIIFFHAA成立时0:210JBH)1)(1(),1(0JIJFFHB成立时 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.1 无交互作用无交互作用Tests of Between-Subjects EffectsTests of Between-Subjects EffectsDependent Variable: y4

18、.764a41.191192.795.00093.380193.38015115.469.000.2222.11118.002.0104.54222.271367.588.000.0254.00698.16994.7898SourceCorrected ModelInterceptABErrorTotalCorrected TotalType III Sumof SquaresdfMean SquareFSig.R Squared = .995 (Adjusted R Squared = .990)a. SPSS方差分析表 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.1 无交互作用无交互作用E

19、xcel方差分析表 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.2 有交互作用有交互作用 当两因素A与B间存在交互作用(interactions)时,为了考察交互作用就要做重复实验，如果每个处理的实验次数K都是相等的则称为平衡(balanced)实验. 6.3 双因素方差分析双因素方差分析 6.3.2 有有交互作用交互作用Fe3+Fe2+10.21.20.310.21.20.30.71 1.66 2.01 2.16 2.42 2.42 2.56 2.60 3.31 3.64 3.74 3.74 4.39 4.50 5.07 5.26 8.15 8.24 2.20 2.93 3.08 3.49

20、4.11 4.95 5.16 5.54 5.68 6.25 7.25 7.90 8.85 11.96 15.54 15.89 18.30 18.592.25 3.93 5.08 5.82 5.84 6.89 8.50 8.56 9.44 10.52 13.46 13.57 14.76 16.41 16.96 17.56 22.82 29.132.20 2.69 3.54 3.75 3.83 4.08 4.27 4.53 5.32 6.18 6.22 6.33 6.97 6.97 7.52 8.36 11.65 12.454.04 4.16 4.42 4.93 5.49 5.77 5.86 6.

21、28 6.97 7.06 7.78 9.23 9.34 9.91 13.46 18.40 23.89 26.392.71 5.43 6.38 6.38 8.32 9.04 9.56 10.01 10.08 10.62 13.80 15.99 17.90 18.25 19.32 19.87 21.60 22.25例6.2 考察两种铁 Fe3+和Fe2+ 在3种剂量（Dosage） 10.2、1.2、0.3 下的保存百分比。 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.2 有交互作用有交互作用对数变换 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.2 有交互作用有交互作用ijkijjiijkYIii

22、10有交互作用模型：其中i是A因素第i个水平的效应，满足j是B因素第j个水平的效应，满足Jjj10ij是A因素第i个水平与B因素第j个水平的交互效应，满足011JjijIiij 6.3 双因素方差分析双因素方差分析 6.3.2 有交互作用有交互作用 IiJjIiJjKkijkjiijkJjjIiiIiJjKkijkYYYYYYKYYIKYYJKYY111112212121112)()()()()( JjKkijiYJKY111 IiJjKkijYIJY1111EABBATOTSSSSSSSSSS平方和分解式：其中：IjKkijjYIKY111 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.2 有

23、交互作用有交互作用IiJjKkijjiijkYIJKl111222)(212)2log( 在正态假设下对参数做极大似然估计,对数似然函数为:得参数估计 YYYYYYYYYjiijijjjii 6.3 双因素方差分析双因素方差分析 6.3.2 有交互作用有交互作用)1() 1(KIJSSISSFEAA) 1)(1(,) 1)(1()(222JISSSJISSEEpEIiiAJKISSE122) 1()(构造F统计量JjiBIKJSSE122) 1()()1() 1(KIJSSJSSFEBB)1()1)(1(KIJSSJISSFEABABIiJjijABKJISSE1122) 1)(1()( 6.

24、3 双因素方差分析双因素方差分析 6.3.2 有交互作用有交互作用0:210IAH0:210JBH)1(),1(0KIJIFFHAA成立时JjIiHijAB, 1;, 1, 0:0)1(),1(0KIJJFFHB成立时)1(),1)(1(0KIJJIFFHAB成立时 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.2 有交互作用有交互作用Tests of Between-Subjects EffectsTests of Between-Subjects EffectsDependent Variable: y3.484a5.69710.677.000.34475.036175.0361149.68

25、2.000.919.3911.3915.993.016.0552.94021.47022.524.000.306.1532.0761.171.314.0226.657102.06585.17710810.141107SourceCorrected ModelInterceptABA * BErrorTotalCorrected TotalType III Sumof SquaresdfMean SquareFSig.Partial EtaSquaredR Squared = .344 (Adjusted R Squared = .311)a. 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.2 有

26、交互作用有交互作用Parameter EstimatesParameter EstimatesDependent Variable: y1.044.06017.334.000.9241.163.747-.054.085-.629.531-.223.115.0040a.-.314.085-3.689.000-.483-.145.118-.136.085-1.598.113-.305.033.0240a.-.172.120-1.427.157-.411.067.020-.028.120-.236.814-.267.210.0010a.0a.0a.0a.ParameterInterceptA=1A=

27、2B=1B=2B=3A=1 * B=1A=1 * B=2A=1 * B=3A=2 * B=1A=2 * B=2A=2 * B=3BStd. ErrortSig.Lower BoundUpper Bound95% Confidence IntervalPartial EtaSquaredThis parameter is set to zero because it is redundant.a. 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.2 有交互作用有交互作用1. A1. ADependent Variable: y.773.035.704.842.894.035.825.963A12Me

28、anStd. ErrorLower BoundUpper Bound95% Confidence Interval2. B2. BDependent Variable: y.617.043.532.701.867.043.782.9511.017.043.9331.101B123MeanStd. ErrorLower BoundUpper Bound95% Confidence Interval 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.2 有交互作用有交互作用3. A * B3. A * BDependent Variable: y.504.060.385.624.826.060.706.

29、945.990.060.8711.110.730.060.610.849.908.060.7881.0271.044.060.9241.163B123123A12MeanStd. ErrorLower BoundUpper Bound95% Confidence Interval 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.2 有交互作用有交互作用两条线段平行时无交互作用;两条线段不平行时有交互作用; 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.3 随机区组设计随机区组设计人为划分的时间、空间、设备等实验条件称为人为划分的时间、空间、设备等实验条件称为区组（区组（block）。）。 区组因素也

30、是影响实验指标的因素，但并不是实验者区组因素也是影响实验指标的因素，但并不是实验者所要考察的因素，也称为非处理因素。所要考察的因素，也称为非处理因素。 任何实验都是在一定的时间、空间范围内并使用一定任何实验都是在一定的时间、空间范围内并使用一定的设备进行的，把这些实验条件都保持一致是最理想的，的设备进行的，把这些实验条件都保持一致是最理想的，但是这在很多场合是办不到的。解决的办法是把这些区组但是这在很多场合是办不到的。解决的办法是把这些区组因素也纳入实验中，在对实验做设计和数据分析中也都作因素也纳入实验中，在对实验做设计和数据分析中也都作为实验因素。为实验因素。 6.3 双因素方差分析双因素方

31、差分析6.3.3 随机区组设计随机区组设计 随机化区组设计是指实验中含有一个实验因随机化区组设计是指实验中含有一个实验因素素A和一个区组因素和一个区组因素B，对，对A和和B的每一种水平搭配，的每一种水平搭配，以概率均等的原则，随机地选择实验单元。以概率均等的原则，随机地选择实验单元。 随机化区组设计可以是重复实验，也可以是随机化区组设计可以是重复实验，也可以是无重复实验。如果要考查实验因素和区组因素的交无重复实验。如果要考查实验因素和区组因素的交互作用就必须做重复实验。互作用就必须做重复实验。 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.3 随机区组设计随机区组设计 例例7.3 研究药物减轻皮

32、肤瘙痒的作用，实验研究药物减轻皮肤瘙痒的作用，实验因素因素A是药物种类，共有是药物种类，共有5种药物，同时还有不用种药物，同时还有不用药的空白水平（药的空白水平（No Drug），和使用安慰剂），和使用安慰剂（Placebo）的安慰对照水平，共）的安慰对照水平，共7个水平。区组个水平。区组因素因素B是受试个体。使用药物种类的顺序是随机的。是受试个体。使用药物种类的顺序是随机的。 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.3 随机区组设计随机区组设计 6.3 双因素方差分析双因素方差分析6.3.3 随机区组设计随机区组设计Tests of Between-Subjects EffectsTes

33、ts of Between-Subjects EffectsDependent Variable: Y156292.600a1510419.5073.367.0011889285.71411889285.714610.433.00053012.88668835.4812.855.017103279.714911475.5243.708.001167129.686543094.9942212708.00070323422.28669SourceCorrected ModelInterceptABErrorTotalCorrected TotalType III Sumof SquaresdfMe

34、an SquareFSig.R Squared = .483 (Adjusted R Squared = .340)a. 没有重复实验，把Interaction作为误差 6.4 非参数方法非参数方法 (Nonparametric Method)IJJN12111111 NRNRRJRIiJjijJjijiiii单因素方差分析 A Nonparametric Method- The Kruskal-Wallis TestRij是Yij的秩 IiiiRRJNNk12)() 1(12当H0成立时近似有 kc2(I-1) 6.4 非参数方法非参数方法 (Nonparametric Method)Ran

35、ksRanks1059.851039.601039.001015.501026.401026.551041.6070lab1234567TotalyNMean RankTest StatisticsTest Statisticsa,ba,b29.6066.000Chi-SquaredfAsymp. Sig.yKruskal Wallis Testa. Grouping Variable: labb. 6.4 非参数方法非参数方法 (Nonparametric Method)2111 IRRJRJjiji随机区组设计（双因素方差分析） A Nonparametric Method- Friedmans Test对第j个区组，Rij是I个Yij的秩 IiiRRIIJQ12)() 1(12当H0成立时近似有 Qc2(I-1)