函数的单调性复习

《函数的单调性复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的单调性复习（6页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、函数的单调性复习例讨论下列函数的单调性：1. /(X)=(40且4W1)；2. f(x)=log(3x2+5x-2)(a0且aWl)：bx3. /(x)=(-1xl时，In40,，+T0,./(x)0.J函数/W在(-s,+s)上是增函数.当Ovavl时，hi0,/.fx)0.A函数/(X)在(s,+s)上是减函数.2 .函数的定义域是或x0,6x+50,(3x-l)(x+2)0,./(*)。，.函数/*)在(；,+oo)上是增函数:当XV2时，/(x)v0,.函数/a)在(8,2)上是减函数若0avl,则当时，fx)0,.函数/(八-)在(；，+s)上是减函数：当x0,，函数/(x)在(一2

2、)上是增函数3 .函数/(x)是奇函数，只需讨论函数在(0,1)上的单调性当Ovxvl时，/() = /(x2-l)-x(x2-l)r/2 八)(r-1厂b(x2+1)(厂一1)一若0,贝iJ/(x)vO,函数/(X)在(0,1)上是减函数;若b0,函数/(X)在(0,1)上是增函数.又函数/(x)是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性.因此当0时，函数/(x)在(一1,1)上是减函数，当0).x分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判定符号，以幸免不该显现的失误.解：1.函数制(x)的定义域为R,/f(x)=x4-4

3、x=4(x-lXx+lA令/(x)0,得IcxvO或xl.函数/3)的单调递增区间为(-1,0)和(1,+s)：令/(x)vO,得xvl或0xl,工函数f(x)的单调递减区间为(一8,-1)和(0,1).2.函数定义域为0x0,得x四或x-、15.函数/(X)的单调递增区间为孤)和(的,2)：令/(幻0,得一北xv、3且XW0,.函数/(A-)的单调递减区间是(一7瓦0)和(0,、万).讲明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，表达了形象思维的直观性和运动性,解决这类咨询题，假如利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准.学生易犯的错误是将两个以上各自独立单

4、调递增(或递减)区间写成并集的形式，如将例1函数/(x)的单调递增区间和递减区间分不写成(-l,O)U(l,+s)和(-3-1)11(0,1)的错误结果.那个地点我们能够看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用.求解析式并依照单调性确定参数例已知X)=犬+C,且/*)=Jx2+1).1 .设g(x)=/(x)，求g(x)的解析式；2 .设p(x)=g(x)/(x),试自询：是否存在实数九，使0。)在内为减函数，且在(一1,0)内是增函数.分析：依照题设条件能够求出夕(幻的表达式，关于探干脆咨询题，一样先对结论做确信存在的假设，然后由此确信的假设动身，结合已知条件

5、进行推理论证，由推证结果是否显现矛盾来作出判定.解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数9(x)是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数4的取值范畴，使咨询题获解.解：1.由题意得/(X)=/，+C)=，+C)2+C,/(/+1)=(x2+1)2+c.ff(x)=f(x2+1),(a2+c)2+C=(a2+1)2X2+C=X2+1,.,.(?=1./(x)=x2+1,g(x)=ff(x)=f(x2+l)=(x2+l)2+l.2.(px)=gx-Afx=x4+(2-2)x2+(2-2).若满足条件的几存在，则“(X)=41+2(2A)x.函数

6、9(x)在(s,-l)内是减函数，当xv-l时，(px)0,即4.?+2(2-Z)x4x,x1,4x-4,解得444.又函数夕。)在(一1,0)上是增函数，.当一IvxvO时，(x)0即4x3+2(2-2)x0关于xe(-1,0)恒成立，:.2(2-A)-4x2,v-1x0,/.-44x20.A2(2-2)-4,解得;IN4.故当=4时，夕(工)在(s,1)上是减函数，在(-L0)上是增函数，即满足条件的丸存在.讲明：函数思维实际上是辩证思维的一种专门表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依靠、相互制约的关系.因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过

7、程，学生专门大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成咨询题的解决.不善于应用f(x)a恒成立=Wlmax恒成立=/Wmin。，究其缘故是对函数的思想方法明白得不深.利用导数比较大小例已知mb为实数，且其中。为自然对数的底，求证：abb.分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法.依照题目自身的特点,适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判定导数都比较容易的函数,一样地，证明/(x)g(x),xe(/)，能够等价转化为证明力(1)=f(x)g(x)0,假如Fr(x)0,则函数尸(X)在3房)上是增函数，假如尸(之0,由

8、增函数的定义可知，当xe(a.b)时,有Fx)0,即f(x)g(x).解：证法一：ae，要证。，只要证In。aln。，设f(b)=bka-anb(be),则f(b)=na-.b9bae,/.Ina1,且“0.b：.函数/S)=Z?InqaIn在(e,+s)上是增函数.：f(b)f(a)=aInaaIn。=。，即InaaIn。，:.bhaaInh,：.ahba.证法二：要证只要证51n4ln0(evav)，即证位则，设小)=叱。)，则/a)=今。，abx尸.函数/*)在(e,+s)上是减函数.又.evaf(b)，即坦i，.二ahba.ab讲明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解

9、题的关键是：一要有明确的方向，即什么缘故目的而构造：二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合.解决这种咨询题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出fx)g(x)=f(x)g(x)的错误结论.判定函数在给定区间上的单调性例函数y=bg11+1在区间(0,+s)上是()-kX)A.增函数，且y0B.减函数，且y0C.增函数，且y0D.减函数，且yvO分析：此题要解决两个咨询题：一是要判定函数值y的大小：二是要判定此函数的单调性.解：解法一：令=1+,且工（0,+1,X则y=log1w1+12X/x（心）X（xe（0,+oc）,故y在（0,+s）上是增函数.由解法一知y0.因此选C.讲明：求函数的值域，是中学教学中的难关.一样能够通过图象观看或利用不等式性质求解，也能够用函数的单调性求出最大、最小值等（包括初等方法和导数法）.关于复合函数的单调性咨询题，简单的复合函数是能够利用复合函数的性质进行判定，然而利用导数法判定一些较复杂的复合函数依旧有专门大优势的.