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1、辅助角公式在高考三角题中得应用对于形如y=asinx+bcosx的三角式，可变形如下:y=asinx=bcosxJa2b2(sinx-12a2.ab评注：将三角式化为 y=Asin( x)+k的形式，是求周期的主要途径上式中的与b的平方和为1,a2b2,a2b2故可记下号=cos0，尸=而.ab.abcosx sin )ya2b2(sinxcos2.2,absin(x)。由此我们得到结论：asinx+bcosx=va2b2sin(x),(*)其中。由来确定。通常称式子(*)为辅助角公式，它可以将ab一.cos,sin2.2122.abab多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(x)+k的形
2、式。下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。.求周期例1求函数y2cos(x)cos(x)3sin2x的最小正周期。斛：y2cos(x)sin(x)、3sin2x44sin(2x)3sin2xi-、3sin2xcos2x2sin(2x6)所以函数y的最小正周期T=兀。求最值例2.已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若x0,求f(x)的最大值和最2小值。丁2sin(2x ) o4解：f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x二j-3由00x0-2x-2444,即x=0时，sin(2x )最小值44
3、.2当2x，即x-时sin(2x)取最大值1。4284从而f(x)在0,金上的最大值是1,最小值是&三.求单调区间例3.已知向量(2cos,tan(),(V2sin(),tan(),令a224b2424f(x)-?一，求函数f(x)在0,九上的单调区间。ab解：f(x)7.一ab5先由0&x&x0o444一、一，5反再由一&x00&x&x&x&o44242444所以f(x)在0,一上单调递增，在一,上单调递减。44评注：以向量的形式给出条件或结论，是近两年来三角命题的新趋势，但最终仍要归结为三角式的变形问题。而化为y=Asin(oox+)+k的形式，是求单调区间的通法6k 1cos(2x) 2
4、.3sin( 2x)四.求值域例4.求函数f(x)cosp,12x)2x) 2、,3sin( 2x)(xR,kZ)的值域。f(x)cos(2k2x)cos(2k332cos(2x)2.3sin(2x)334sin(2x)coscos(2x)sin36364sin(2x)o所以函数f(x)的值域是-4,4o5 .图象对称问题例6.如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么a=()(A)2(B)72(C)1(D)-1解：可化为y1a2sin(2x)。知x时，y取得最值寸；1a2,即86 .图象变换例7已知函数y-cos2sinxcosx1,xR。该函数的图象可由ysinx(x
5、R)的图22象经过怎样的平移和伸缩变换得到？1.3解：y(1cos2x)sin2x144可将函数y=sinx的图象依次进行下述变换：(1)向左平移得到y=sin(x+%)的图象；（2）将（1）中所得图象上各点横坐标变为原来的的图象;（3）将（2）中所得图象上各点纵坐标变为原来的;倍，横坐标不变，得y= -sin(2x+ -)的图象; 26（4）将（3）中所得图象向上平移5个单位长度,得到ysin(2x+ )+勺的图象。264综上，依次经过四步变换，可得12y- - cos x2+ sinxcosx 21的图象。七.求值例 8.已知函数 f(x)=0,有sin(2x-),42贝|得2k%2xv2k5,444故k兀vxvk冗+3-(kZ)。4再由x0,2兀,可取k=0,1,得所求集合是x0x3-,或x二。44
三角函数中辅助角公式的应用
