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1、例说求函数的最大值和最小值的方法3例1.设x是正头数，求函数yxx的最小值。x解：先估计y的下界。21y(x22x1)3(x2)5x1(x1)23(.x)25x5又当x=1时，y=5,所以y的最小值为5。说明本题是利用“配方法”先求出y的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。例如，本题我们也可以这样估计：21y(x22x1)3(x-2)7x(x1)23(.x1)27一x7但y是取不到7的。即7不能彳为y的最小值。x22x3例2.求函数y的最大值和最小值。2x22x1解去分母、整理得：(2y1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0.1当y一时，这是
2、一个关于x的二次方程，因为x、y均为实数，所以2=2(y+1)24(2y1)(y+3)0,y2+3y-40,所以4y11又当x时，y=4；x=2时，y=1.所以ymin=4,ymax=1.3说明本题求是最值的方法叫做判别式法。解：设tt1,J2,贝Ux=t2iy=2(t21)+5t=2t2+5t+1一一，51933原函数当t=5,即x9时取最大值334168x13-例4求函数y,-X2的最小值和最大值X22x52一八1.解：令x1=t(t1)2tt242ymin=,ymax17例5.已知实数x,y满足1x2+y24,求f(x)=x2+xy+y2的最小值和最大值1cc解：:xy(x2y2)222
3、3,22、lf(x,y)xyxy(xy)62又当xy42时f(x,y)=6,故f(x,y)max=6又因为xy1(x2y2)2221,22、1f(x,y)xyxy二(xy)-22乂2时f(x,y)=，故f(x,y)min=222例6.求函数y22(x 1)的最大值和最小值解：原函数即1222(x1)x1令t(0t1)则y=5t2t+1x1当x=3时，函数有最小值19,当x=0时，函数取最大值520111例7.求函数f(x)|-|的最大值xx2解：设11n,1,则x2x211口n|2|由于01,故f(x)1,又当x=-2(k为整数)时f(x)=1,22k12，一1故f(x)max=2例8.求函数
4、yVx43x26x13x4x21的最大值解：原函数即f(x),(x3)2(x22)2.(x0)2(x21)2在直角坐标系中，设点P(x,x2),A(3,2),B(0,1),则f(x)=|PA|PB|AB|二10.371一又当x时，f(x)=V106故fmax(x)=-10例9.设a是实数，求二次函数y=x24ax+5a23a的最小值m,当0a24a210中变动时，求m的最大值解：y=x2 4ax+5a2 3a=(x2a)2+a2 3a由0 a2 4a 2 10解得:2 a 2 v6 或 2J6 a 6故当a=6时，m取最大值18例10.已知函数f(x)=log2(x+1),并且当点(x,y)在
5、y=f(x)的图象上运动时，点(-,)在y=g(x)32的图象上运动，求函数p(x尸g(x)f(x)的最大值。解因为点(x,y)在y=f(x)的图象上，所以y=log2(x+1)。点(二当在y=g(x)的图象上，所以32yg(x)故23，x、叼g(x)1./210g(x11),-log2(3x1)2P(x)1.g(x)f(x)10g2(3x1)10g2(x1)2110g223x1(x1)23x1(x3(x1)2(x1)2(x21)2；)2Umax1时3从而Pmax(x)210g9280例11.已知函数.2axbx6心一2的取小值是2,x22求实数a、b的值。解：将原函数去分母，并整理得(ay)
6、x2+bx+(62y)=0.若丫=2,即y是常数，就不可能有最小值2和最大值6了，所以ya。于是=b24(ay)(62y)0,所以y2(a+3)y+3ab-0.8由题设，y的最小值为2,最大值为6,所以(y2)(y-6)0,即y28y+120.a38由、(2)得b2解得：a5,b2而3a128例12.求函数f(x)8xx214xx248的最小值和最大值。.8xx0解先求7E义域。由最6x8.14xx2480f(x)8x(xx6)68x,x8x%x6当x6,8,且x增加时，xxJx6增大，而J8x减小，于是f(x)是随着x的增加而减小，即f(x)在区间6,8上是减函数。所以fmax(x)=f(8
7、)=0,fmin(x)=f(6)=023例13.设x,y,z是3个不全为零的实数，求”22yz2的最大值zyzk,使得 xy+2yz k(x2+y2+z2)分析：欲求2xy22yz2的最大值,只须找一个最小常数zyzx2+ y2 2 . xy (1)y2+z2 2 1 yzx2+y2+z2 2 . xy+2 . 1yz解：;1 5y2二 x又当 x=1,y= J5 ,，则=524 21 一 y.5xy 5z24 yz5.5( xy 2yz)z=2时，上面不等号成立，从而2xy 22yz 2的最大值为z y z当x是无理数时例14.设函数f:(0,1) R定义为f(x)当 x -,(p,q) 1
8、,0 q求f(x)在区间q7 8、_(一,一)上的取大值8 97 8、解：右x (_,_)且x是无理数，则8 98f(x)=x9(2)7 8(一,一)且x是有理数，设x8 9P ,其中(p,q)=1,0pq,由于 q8所以7q 8P9 9p 8q7q9P18P 7q 8P 8 贮 1 8q963q+964q8,.q178q11pp198q88816因此f(x)f()-一1617qqq9q99q17f(x)在区间(一，)上的最大值f()8917作业:1 .若3x2+2y2=2x,求x2+y2的最大值0求u=x+y的最/J、值2 .设x,y是实数，且x22xyy2J2xJ2y63 .已知x1,x2是方程x2(k2)x+k2+3k+5=0(kR)的两个实数根，求x12+x22的最大值和最小值4 .求函数y2x23x4xx22x的最小值
例说求函数的最大值和最小值的方法
